§23曲面的第二基本形式

1、 2.3曲面的第二基本形式2.3.1第二基本形式前面我们引进出了曲面的笫某本形式人研究了曲面的些内编性质，即只依赖于曲面本身，而不依赖于曲面在空间中如何弯曲的儿何性质.在理论和实际应用中：必须考虑曲面在空间中的弯曲程度，为此，我们将引进曲面的另一个二次微分式.对正则Ck(k2)曲面S:r=r(u,v),单位法向量壮=耘亀作为参数卩的函数,其微分表示为dn=nudu+nvdv.由于0=d(n-n)=2ndn、所以dri是切平面中的向鼠令U=-dr-dn.称为曲面S的第二基本形式.下面我们首先计算第二基本形式的参数表示.由于dr=rndu+rvdv.所以II=drdn=(rudu+rvdv)+nv

2、dv)=Ldu2+2Mdudv+Ndv2其中L=-ru-nu,M=一(九nv+rvntt)/2,N=-rvnv.它们作为参数均的函数，称为曲面s的第二基本形式系数.由于心仇=仇=0,两式分别关于饥卩求偏导数，我们有uun+runu=0ruvn+runv=0:rvuri+rv比翘=0,rvvn+rvnv=0,T(旷”如鮎m)y/EG-F2，(uvy九，九)因此第二某本形式系数可以衣示为A/T*TlV饥7*“Tl壮VEG-F2wr(rVVtrUyrv)A=rvv-n=rvnv=.Veg-f2另外，因为心血=0,微分便得护r.n=-drdn,于是我们得到曲面的第二基本形式的以下三种等价的表示U=Ld

3、u2+2Mdudv+Ndv2=nd2r=drdn. 【例1】对平面，因法向量北为常向量：所以=一dnd旷三0.对中心径矢为,半径为a的球面，因其单位法矢量7i=(r-r0)或仇=令(旷0-)，于是=dndr=土訂.【例2求旋转曲iff!r(w,v)=f(v)cosu,f(v)sinu,g(v)的第二基本形式.【解】直接计算得到以下各量ruu=/cosu,/sinu,0,ruv=fsinu./zcosu.0,rvv=/,cos,/,sinw,y,=gfcosgfsinW+/2-n因此fg/严+LruunN=rn=【例3求曲面z=f(x,y)的第二基本形式.【解】我们知道：曲面z=/(崩)可以写成

4、向最形式直接计算得到以下各量ruruxrv=1,0/u：rV=0JJu】rUu=0,0,fuuyruv=0.0,/uv,rvv=0,0,屉,因此M=nN=nL=zi 曲面z=f(x,y)的第二基本形式是fuudu2+2fuvdudv+fvvdv2.2.3.2第二基本形式的几何意义对曲面S:r=r(u,)上的给定点P(w,v)及其邻近点Q(u+du,v+clv),令d=PQn,即位移向量局在点P处单位法向量n方向上的投影|d|即从Q点到P点切平面的垂直距离，而d的止负号依赖于Q点是位于P点切平面的侧或另侧，换句话说，d的止负号反映曲面S在P点处的弯曲方向.利用向量形式的Tavloy展开式及事实n

5、ru=0,n=0,有d=PQn=(r(u+如v+dv)r(u.v)n=dr+cl2r+o(du2+dv2)n=drn-rd2rn+o(du2+dv2)厶=*+o(d“2+dv2)由此可见，代表起点在P的位移向量兄在法向量上投彩的主要部分的二倍，它描述了Q点在法方向上相对于P的改变，即描述了曲面在Po点附近弯曲的状况.【例4】容易验证平面r(u,v)=u,v,0与圆柱|frir(u.v)=cosu,sinu.v具有相同的第基本形式dudv但平面的第二基本形式三0,而圆柱面的笫二基本形式=-du这表明它们在空间中的形状完全不同(事实正是如此).与第一某本形式/不同，曲面的第二基本形式作为(如血)的

6、二次型，当LN-M20时是正定或负定；当LN-M2V0时是不定的；而当LN-M2=0时是退化的.下面定理表明，笫二基本形式在一点的值与这点邻近曲面形状的关系.定理3.1曲面上，使第二基本形式正定或负定的点邻近，曲面的形状是凸的(或凹的，由法向选取决定)；在第二基本形式不定的点邻近，曲面是马鞍型的.证明设a)(uo,vo)是曲面S:r=r(u,v)的任一取定点，我们考察到D点切平面的高度函数f(u,v)=(r(u.v)-r(no,vo)n(u(),v().由于九=九n(uo,3),fv=rvn(uo,vo)j所以fu(uo.vo)=fv(uo,vo),即(020)是f的临界点.在这一点，高度函数

7、f的二阶导数方阵(Hessian矩阵)为fuufvufuvfuv(0N0)=(o2o)I大1此，当第二基本形式在点包020)止定或负定吋，/包0卩0)=0是最大值或最小值，这说明ffllfris的形状是凸或凹的(如图2(1).而当第二基本形式在点(020)既非止定也非负定时，/(uo,fo)=0既不是最大值也不是最小值，因而曲面S在这点附近是马鞍型(如图2(2).根据上述定理，我们对曲面上的点进行如下分类：椭圆点一使LN-M20的点.在椭圆点处，第二基本形式沿任何方向都不变号，而且曲面在椭圆点邻近总位于切平面的一侧(如图2(1).双曲点一使LN-M20的点.在双曲点的切平面上，有通过该点的两条

8、直线将切平面分成四部分，第二基本形式在这四部分或为正，或为负：而沿这两条直线，第二基本形式为零曲面在双曲点邻近位于切平面的两侧(如图2(2).抛物点一使LN-M2=0,且厶2+m2+N2鼻0的点.在抛物点的切平面上，有通过该点的惟一条直线，沿这条直线：笫二基本形式为零；而沿其它任何方向笫二基本形式都不变号(如图2(3).平点一使厶=M=N=0的点.【例5对环面(0,0)=(6+osin(I)cos(6+asinj)sin0,acos,其中ab是正常数，参数02tt.直接计算知L=ruun=(6+asin0)sin0,JW=VuyM=0,N=rvv7i=a,而且LNM2=a(b+asin0)si

9、n,注意到笫二基本形式系数只依赖于参数0,即沿参数曲线0=00,笫二基本形式系数为常数.又因为0a0,所以厶N-M2与si】0同号.最后我们得到环面上点的如下分类(如图3):参数0满足007T的点是椭圆点(对应环面的外侧点)；参数0满足7T02兀的点是双曲点(对应环面的内侧点)；参数0=0及0=7T的点是抛物点(对应环面的内外侧交界点).2.3.3第二基本形式的性质定理3.2在容许相差一个正负号的意义下，第二基本形式与曲面S上止则参数包卩)的选取无关.证明设=r(w,r)和r=r(u,v)是曲friS的两个不同参数表示，相应的单位法向量分别为n和斤.利用下面两组等式(股=鴛血+霍仇dv=雳血+黑如及(九=九貉篇容易验证，dr=dC(或者直接利用一阶微分形式的不变性)，同理有de=Jn(iE负号依赖于参数变换(2)T伍,刁)是同向或反向参数变换).因此drdn=drrfn,即在同向参数变换下：笫二基本形式不变，而在反向参数变换下，笫二某本形式改变符号.定理3.3曲面的笫二基本形式在R3的刚性运动下不变；而在R3的反刚性运动下改变符号.证明设f:/(P)=P-T+P是皿的任-刚性或反刚性变换，曲面S:r=r(w,勺)在f下的像为S*:r*(u,v)=for(w,v)