沪教版数学八年级上册

1、九 年 义 tt R U *八年级第一学期（试用本） 上海教育出版社上海市教育委员会版权所有第十六章二次根式第一节二次根式的概念和性质 HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 16.1 二次根式216.2最简二次根式和同类二次根式 6二次根式的运算1016.3二次根式的运算10本章小结20探究活动一组二次根式问题的探索21第二节第十七章一元二次方程-元二次方程的概念17一元二次方程的概念.一元二次方程的解法一元二次方程的解法.一元二次方程根的判别式一元二次方程的应用一元二次方程的应用.本章小结阅读材料关于一元二次方程的求根公式探究活动解-个特殊的方程

2、第一节第二节第三节242427II上海市教育委员会版权所有代教式是用运算符号和括号把數或表示教的字母连接而成的式子其实，就是运用符号构成的数学语言.例如：代数式(a+6)(i-6),表示两个数的和与这两个数的差的积;代數式0,得.所以，当时，忌二I有意义.由 2-x0.得 zM2.所以，当z2时.7F石有意义.由丄工0以及rHO,可知j与1同号.得x0.JT所以当王AU时、圧有意文.金餐U)因为不论才足什么实数，都有骏1鷄淳0.所 以，当；r是任何实数时、/FF7都有意义.巒誌2 第十六章二次根式系得到了下列等式.现在把这两个等式作为二次根式的性质:上海市教育委员会版权所有a310SV根攥填表

3、的结果，你认 为N与|a有什么样 的关承？问厕1当a为实数时与|有什么关系？试填写下表：一般来说，由小=|“2,得 Q=VW，其中|a|0.利用二 次根式的性质1.可知jCT=|a|,所以ia (a0),v;，ai = a = 0 (a = 0).a (a/3 1)=用+1. 所以当工=一扭时.原二次根式的值是v/34-l.一节二次根式的様念和性质练习 16. 1( 1)上海市教育委员会版权所有題i 潢足什么条件时* F列各式有恿义?-2r；2.求下列二次根式的值:(1)it角形三边的氏，化简：皿一厶我们把以前实数运算中已经得出的两个等式也作为二次根式 的性质：性质 3 Jab=Ji Jb (

4、a O.dO).(a0,fr0).-敷来说.知呆二次抿 式工秋开方敘是儿个 因式的耒积.其中有的 因式是丸仝平才式.邢 么这样杓因式可用它 的非負平方爪代挣后 移列根号外6./II与3施相等吗？为什么将18分解索因数，得18 = 2X3?.利用二次根式的性质3和性 质1 可知它们相等./18= J2X3； =QX 您=3 J2.一般地设a0,A0.那么上海市教育委员会版权所有、乜円丁相養鑿勃什么？P 3X2y/676數是分式（交分數几那V 8 V8X2 _ Jal _ ,而使分母变为丸全平方V 式再将分册用它的正把二次根式里被开方数所含的完全q卩方因式移到根号外或平方根代督后移到根号 外面作新

5、的分母.斤化2：被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式”.二次根式中破开方辭I】分数的基本性质以及：次根式的性质4和性质1,町知它通常把形如m y/aa X 0）的式子也叫做二次根式.如3 72, y3,2aTT等也是二次根式.化简：次根式:J0).本索给出的二;/:粮式 （或其他代釵式中幷 含字琴的取值都能境 保二次抿式（或其他代 敘式 有盘艾.6 /90.町知a(=石b: _ II） ax7/ a b Ja ,矿E =济7（60）主的戕练习H乩上海市教育委员会版权所有1.下列馨封需成暫吗？如要戒立,需要添加什么錨件？Jin * 五t彩化简下列二次根式：frn _ V,H n 厶1) 73

6、2；(3) 丿243.化简下列二次根式:最简二次根式和同类二次根式1.最简二次根式q观察观察下列二次根式及其化简所得结果比较毎组两个二次根 式里的被开方数前后发生了什么变化./18 3V2披疗方數中的国丸是 A分解和欢珂數 分解焙的W式和因戟./I (60)7 9a可以看到化简后的二次根式里被开方数中各因式的指数都为h被开方数不含分母.被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做量简二次根式.如二次根式75亦、+、丿乔匸F万d等都是最简二次根式.例题1判断下列二次根式是不是最简二次根式：修 (1)厲強4 ；(4) J3)(心一1.上海市教育委员会版权所有根式.上海市教育委员会版权所有次根式.舔

7、因咎萝雒方数含因式2、” .它们的指数不为J.所以 蘇需二次根式将被开方数分解因式：3(a24-2a4-l) = 3(a4-l)其中因式(a+1)的指数为2 所以不是最简二次 根式.如果一个二次帳K不 是最简二次根贞.那么 可以利用上一节化简 次银式的方法.把它 化成最简二次报犬.想一想例题1(1)、(3)、(4)中的二次根式能化成最简二次根式吗?例题2将下列二次根式化成啟简二次根式：VyT (0)；v(a )(u 十 b亍(abO)；zOX /w + n z .、,、人(加并0. w w解(1由已知二次根式中y0,可知工鼻0/ 4工$=十 6)(“一方)3 + “)= /(a4-6p(a 6

8、) = (“ + ) J a b (a$6N0).练习 16.2(1)判断F列二次抿式中.哪些是最简二次根式：&號T日 乜瞻dab、2 /2 I . t-z ub、2 fab (a0)Jab (m0) 、匕/赧 把二次根式化成最简二次根式，得IT 3 J? / _ = /_ s=zJ： 7 27 7 99当u V 0 0时.2 yfijC b 与一y/ub1 是同 峯二次桩貞则。-Z、 (J .我们対道.在多项式中遇到同类项就可以合并.类似地，同上海市教育委员会版权所有创題：成够緇各式中的同类：次根武土+惡+届參皆(2) 3 +力 s/xya练习 16. 2(2)I.下列各组二次根式中，属同类

9、次根式的是(B)(A) 2再与荷(I)/i匸与庾.(C) 与 /亍y Z/7少2-在瓦笃上、一须中，与血是同类二次根式的是判断卜列各组中的二次根式是不是同类二次根式.合并下列各式中的同类二次根式:根式的播念和性质9Ercigenshi De Yunsuan上海市教育委员会版权所有16.3二次根式的运算I.二次根式的加法和减法整式的加减归结为合并同类项 减类似.归结为合并同类二次根式:次根式的加减同幣式的加分析观察算式中的四个二次根式它们不都址最简二次根 式.它们之中有没有同类二次根式要化成赧简二次根式后才能 判断.根播算式中所舍二次 牴式可知a0由&应=2&伍、砾阪七上二送，可知这 个二次根式

10、是同类二次根式可以将它们合井原式= 2/、/五十5a/i v乔是同粧二次根式的 惟式不施合并.保留在 站果中.a* 十5a * ) /2a + 2 Ja,由此J见二次根式相加诚的一般过程是：先把各个二次根式化成最简二次根式再把同类二次帳式分 别合并./4 Q(1) 3 7754-(2) I /0. 5 2t . V48解3厢+七一上海市教育委员会版权所有2 (!)彳爲+冷6和 y /36j + 6 2x 1 :Z7 4 V jt(3丿50( p g) + /-.7 P_q解(1) y/9/n + yTfiw=彳 X 3 sfm + X 4 J m=2丿加+3、/刃=5 v(2)根式中工0.+

11、vz+6 匡-2e 匡2 yV 45/x=3 転+3 后一2 /r =4 Zr.根式中”一g0/50( pq) + /7 P_q= J2(p-q卄启乎孕 V I p q)“=5时乔吕2(p=卩+总M(p-g亍55-.yP_q例腳解不等式：加+腭4拝.解由 2r+Jf4z-J|上海市教育委员会版权所有上海市教育委员会版权所有不辛式两边同（* 以一牛區41,不#号要 故变方向.12 所以，原不等式的解集是练习 16.3(1)二次根式的乘法和除法丄问题2如图16-1.将一牛正方形分割成面积分别为$（平方单位）和 2,（平方单位）的两个小正方形和两个长方形求图中每个长方形 的面积.分析 图中每个长方形

12、的相邻两边的长分别足面积为5和2$ 的两个小正方形的边长即厶和v.H-中$o.由此知巻妙 方形的询积是0屁小绘由二次根式的性质3,可得JS -/ 6S 7、 S 7 S V *-上海市教育委员会版权所有二次根式的性质3也就是二次根式相乘的法则.即上海市教育委员会版权所有解 /12X 732= 712X32 = 5/X3 XF=vT23） X2X3=23X 2X3 = 8血（2）由根式何可知 /46=-Jab *46= -/a 2，庐=2b 石.（3 ）由根式bc 可知必二0,再由根式4abc可知r 0. s/abc 2 /abc2=2 y/abc abc2 = 2 /0):)Ja+blabQ)

13、. 0./2a3/?=* 3b = Jab = y 3A(3h)2 36(2)由除式JIU?石中v0,可知“0, a/6u2 4- vTOtPv=/ZL= /3X5 V7 5uu V (5uv)!如呆二次抿式相除的 址采是根式.瑯么必须 化成最筒抿式.4矽上海市教育委员会版权所有上海市教育委员会版权所有练习 16.3(2)1.计算：_范Tx范莎庾一J晋；(3)质乂倉十占.计算：754.(x0),一阿+冈V 5x(3)/-7- 1- (xy0).探索：如果圆的面积与正方形的面积相等那么圆的周氏与正方形周氏之比的比值 是多少？两个根式相除如例题5(1)屁*悩,可以写为；转化为 屈后再化去根式吐被开

14、方数的分母，所得结果是v,1把，么中的横釵称作 y/3b“分敏线”.横战下的代 敏式你作分母”这是 浴用分數和分丸中的 说決.族法的件质以把代數式務和野中分数圾下的式子看作分母，前一个分母 是根式，后一个分母是整式这两个分母之间有什么关系？怎样把 分母中的化为36?吧妲的分数线上、下两式荷作阿个敎般熠及根式乘法的法则可得上海市教育委员会版权所有-.， _ _ 、 S，-上海市教育委员会版权所有把分PIOJ根卑去,叫做分母有理化（rationalizing denonu na,tlrsk分些#辔爲方法一般是把分产和仆母祁乘以同一个适 芳的代数菽囁加规不含根号.计亀挖十应；（2）a 4- y/a-

15、bi（3）Zazb -r y/2a+2b （a60）.一个二次A 式）险以一个二次根 K 可写成分式的母 K 通过分母有殁化进 行达算解（1） 72-712(3)由已知 a50.得 “60.a r J a + 厶a = _ _ d + bda 十bJa 4A Jah=J4vcT+6.十 v五+_ 7出一& _ y/ab /abJUa+b) J2 _ v u b v2/2(ab)J2.J2 = T例题7如图16-2.在面积为2a的正方形A BCD中，截得直 角三角形ABE的而积为%，求BE的长.解 因为止方形A BCD的血积为2a.所以它的边长为忌设 BE=；r.根据题意.得所以*晋“竽=2矗Q

16、 = 2昭u j/乙-器r上海市教育委员会版权所有= JQq上海市教育委员会版权所有BE=3例题8解下列方程和不等式y3 26x 2j2;3行乂十6再岳工解(1)由昶_2届x=_2罷、2s/6x= 2/273.A者由用=/3v5x.不等式两边同除以2扬、632 75/155所以.原不等式的解集为工 一练习 16.3(3)实数的运算律、运算性质以及运算顺序规定，在二次根式运算中都适用.忌问*3(冷+舟)(金知)=?利用平方差公式.得(vCF+jy) (vCr 心、=工丿观察上面这个等式.左边是两个含有二次根式的代数式相乘， 右边不含二次根式.两个含有二次根式的非零代数式相乘.如果它们的积不含有

17、二次根式.找们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理*_个*舍不化因式.如、G+jy与后互为右理化因式.石与庙也互为有 代救天* 理化因式.是一的家想一想a +b Vv的有理化因式是什么？.越矽把下列各式分母有理化:(1)73 + 15 .;上海市教育委员会版权所有上海市教育委员会版权所有（4 /；48-18（加刀）（3）已知式中mn,所以U（3还可以这样解$m ?!(心 _5丫例题1Q计算:此时可以相等.(1)1075才+ V 1 + JT*-10旖一14 (质十1)10 75(a/54-I)題（2）也可以襄似分式中的通分来解这样更为 Nittt(卄/pppr)(工VH?)(x VI +

18、x)(工+ J1+F)-vT+7- ,二（1+莎工一（1+占例题11已知上=二丄二.求6;+2的Q-4-9 /9工3上海市教育委员会版权所有nA 2 T93 9 /9.C 21*.-L tf 亠 W中再址行计算.这是基 本才決.而把(x-3) 作酸体，用一2吃代入 再计算，比较向便.2 72/9例题12解不等式:吃；r3V5x. 解 由 72x-373x.得(y3)j：3(吃+石)(/273) (/2+y3)工一3找一 3尽所以.原不等式的解集是x-3 72-3A练习 16.3(4)1.写出下列各式的有理化因式：2.将下列各式分母有理化:节二次根式的运尊1916上海市教育委员会版权所有飭在数的

19、学习中我们从整数到分数（小数几再到无理数，逐步扩大r对于数的认 识：从数的加减到乘除再到乘方和开方，逐步完善了对于数的購本运算的认识我们 又运用字母表吓数的思想.把对于数及其运算的研究.匕升到关于式及其运算的研充层面.更深入地探索数及其运算的性质和规律数是研究式的墓础式是数的低念和运算的发展学习了实数及其运尊以,ci特別 是掌握了数的开方运算我们对干式的学习，自然地就从整式 分式进入到根式本临 学习的内容是二次根式主要是二次根式的性质及钛加 减、乘、除运算涉及別垠简二 次根式.同类二次根式、有理化因式的概念其中掌握二次根式的运算是匝点珅解次根式的性质卮关縫.把二次根式化为最简二次根式不仅是简明

20、丧达的需要而11是研究那些表示形 式不同但实质_样的二次根式的需要明确了同类二次根式和有理化因式的意严，那 么.实施二次根式的加减运算归结为合并同类二次根式；实施二次根式的除法运算: 归结为分母有理化从二次根式运算的全过程来行就是按照一定的法则把二次根式 的运算转化为类似于整式 分式的运算体现化1的数学思想.本車的知识结构框图如卜-：一一!有郎化因式和分母科理化I1_城筒二次帳武同类二次粮式1疝式的加减 一1混合运X jiI二次痕式的乘除I：16上海市教育委员会版权所有1y/2 1-桎一 e 11+2一1(1+“2) (7J 1) -._ 1挖一打2-1 1173-72_ 俗,1 +施72+7

21、32-1-3-2 71 十v 3 v2 一v3 一 111一 1十1_V2-1 , 73-72,A731+蠢2+73 73+A2-1 卜 3-24一3=血一i+再一血+yj11I1 1 1 11一z口十一-1+72何丄/T厂JZ 十 J3y/71+ / ” + 15足止施取（2）观察并填空:1拆一1佰一173-11+73(1 +53 (/3 1)312 *1173 1 ./5_/3 _1 | /5 /3阳11+73#+753-1532 2 2 1十1十1-_用一1.11+73站+松75+#3-1 +5-3 +F=T73-1 , 75-73 , /7-T5 77-12 2 2 2=5是正整数).

22、(3)根据(1),(2)的归纳.写出下式的计算结果再验算: 1,1. 1 . 1-I , I” ”i 一 ”，1+V8 78+/15- /15-f-y/22 怂+ 何验算:上海市教育委员会版权所有上海市教育委员会版权所有J vn + 扭 m_/2 加一1 +通过一元一次方程（组）的学习，我们体会到，列方程、解方程，是寻找e 知由与未知量间寻量关系并探求.未知董的重要方法.看下面这幅群假対戏图：一群猴子在林中欢阉, 不疲倦 不烦_戏5.有数壁为总数N分乏一再平方的 在树枝上不停地蹦跳；还有12只猴子摘 一边啼叫一边乱抛.树枝揺果適地，林中猴子共多少？这是古印度的一道有趣的數学题炸采用X勢薛中擔子

23、的总 委员会版权所有 8 /題归结为解这个方程，本章 就来探腹这一类方程的解 法.，你能求出猴子的总数吗？Yiyuonercifan gchengDe Gainian-元二次方程的概念上海市教育委员会版权所有17.1 一元二次方程的概念我们知道“含有未知数的等式”叫做方程运用等式性质和数 的运算性质町以得到_元_次方程的解法任此庭础上可以解 有关次方:程组的问题以及一些实际问题但是由实际何题列出 的方程不一定是-元一次方程 问題1一块长方形缘地的面积为1 200平方米并且长比宽多10那么长和寅:各为务少米？分析设这块长方形绿地的宽为7米.可知它的长就是10)米.闪为绿地面积为1 200平方米.

24、所以 不(丁 + 10= 1 200.去括号得F十10才=1 200观察上面的毎式，其中有一个用字母T表示的未知数，可知它 是_个_元方程；方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程 是_个整式方程.任这个整式方程中，未知数的最高次数是求 出这个方程中的未知数X的值就可以求得长方形绿地的宽.现在.我们来研究这-类型的方程只含有一个未知数且未知数的最髙次数是2的整式方程叫做 元二次方程(quadratic equation with one unknown).例如，x2 - 16 = 0. 2$ + 3y + 1 二 0, 3F _ 2工=0,亠4#=32.-.r； 2 = 5才等都是一元二次方

25、程 方程z： + 10_r=l 200,经过移项可以化成1-lOx1 200 = 0.元二次方程鄙可以化成卜处+卞=0任何-个关于的形项皿数项和这种闿式简称-元二次方程的一般式癌癒曾叫做二次 堆：次顶系数*上叫做-次项*好堀决騷系数叫做常上海市教育委员会版权所有fiHLli把卜列兀二次方程化成般式并写出方程中的各上海市教育委员会版权所有丨： / rr$址鄱翁V 解料Wfe括号.得2卡一 2工=3工一耳, 化简得 2jt2 5工 + 4=0.參修可知方程中的二次项是2p.二次项的系数是2； 次项是 5.r 次项的系数足一5;常数项是I.睿培？，耳“養弼EI2 + 3H+n-丄2於圭肚0？胃.第二

26、节一元二次方程的解法上海市教育委员会版权所有未知It为JT的一元二 次方後的两个根通常 ffl 4 表示.所以原方程的根是上海市教育委员会版权所有修您2 无二次方程的解法特殊的一元二次方程的解法我们从特殊形式的一元二次方程着手.讨论解一元二次方程 的问题.F问通1怎样解方程疋=4?分析 川=4是一元二次方程，它表达的竽凰关系是未知数丄 的平方等于4.根据平方根的意义.可知.r是4的平方根.所以.解 方程+ = 4就是求4的平方根.由此可见，这个方程有两个实 数根.方程P=4的解迭如下：因为I的平方根是2,所以方程土 = 4的根是像这样解一元二次方程的方法叫做开平方法.对于_元二次方程工:d.如

27、果那么就可以用开平方 法求它的根.当d0时.方程冇两个不相等的根：口=屈.孔= 一宙;当d = 0时得j-2=0.这时就说方程有两个相等的根，记作： 门=#2=0例题用开平方法解下列方程:9才2 4=0；2.r+ = 0. 解(1)移项.得 两边同除以9.得利用开平方法.得(2)移项，得 2, = 5.上海市教育委员会版权所有 -唸惣因为任何一个实数的平方不可能是负数，所以原方程没有实数根：二次方程.其-般来说.解形如a.r?+c = O(其中aHO)的一 步骤是：(1)通过移项、两边同除以宀把原方程变形为X a(2)根据平方根的盘义可知当“、c异号时.-0,方程的根是 当心同号时.-J (x

28、1)(2x4-5) =0. 解(1)原方程可变形为把上面方程的左边分解因式，方程化为 (乂一5)(工+1) =0. 得X5=0 或 z+l = o.解得工=5或x= 1.所以，原方程的根是巧=5,工2 = 】. = 0, (2jt+5)(x4-1)=0.2z+5 = 0或 x+l = 0.解得_ _ 52或-r= 1.先将这个方程变形.化 成右边为0的形式I再 看左边.可用十字楓栗 法分解因式.现察这牛才程.它的右 边为o,左边可用提取 公因式法令解因式.0所以，原方程的根是4 -练习 17.2(2)1)( jt+ 15)=0;上海市教育委员会版权所有 l. t口答)说彗圖方程的椒：(14 )

29、 012)=0(xaXx+AJO；(5) 12F+8_r=(h用因式分解法解下列方程:P-x-2 = 0jr28t+12 = 0;(3) jz + 2 = 3xt用因式分解法解下列方程：(1) 13= + 36!(3) 3j(2x 5) 4(5 2x)=0；下列方程的解法对不对？为什么？(1) x(3x+2)-6(3x+2)=0.解：(3x+2Xx-6)=0.3x+2=0 或 x6=0.(4)(2) (xF3)(jr10) 解：z+3= 1 或 JT- 解得x=-2或；)=()10=1IL解得工工二所以才】=所以Xi2. 一般的一元二次方程的解法在上一节的例題4(1)中，采用因式分解法解方程土

30、+8工=0是 比较简便的.试冋：能用开平方法解这个方程吗？分析观察方程的左边”+8工,它与(工+仍？的展开式相差一 个常数16.如果在方程的两边同加上6,那么方程卡+8工=0可化 成(x+4)I = 16.再利用开平方法，得工+4 = 4或工+4 = _4.所以原方程的根是x,=0,xt = 一&在上面解方程的过程中，利用了两数和(差)的平方公式把工+& 配成(x+4)1时.实际上就楚在方程两边同加上“一次项系数一響辭 方”.像这样通过添项(或拆项)配完全平方式的过程简称翳越-般来说方程F + pz = 0的两边同姒) = (的形式，这时方程左边辱爭工的完全平方式，右上海市教育委员会版权所有例

31、题7解尸列方程：上海市教育委员会版权所有Q竈巒两边同加卜-“一次项系数一半的平方”，即（2）4j 4 1 2.t?t7 = o解14方程廣 0 皆利用开平方法，協工一=码 或 X1 = 75. 解得x=l+7S 或 x=l75.所以原方程的根是4 = 1+岛,耳=1 一岳（2）原方程可变形为4T2 +12工=7.两边同除以4,得再在购边同加上“_次项系数一半的平方”，即（多），方程町 化为（工+汀=4.利用开平方法，得jr-4= 22或.3 十=解得1T* =2或7工=2*所以原方程的根足4 =1石57像上面这样解一元二次方程的方法叫做配方法.对于_般的一 元二次方程，都可以用配方法来解.解方

32、程aj* 4-6x+c=O（a?tO）的一般步骤足：（1）通过移项、两边同除以二次项的系数，将原方程变形为 ：/+虹+=03 E+Pz=q（P、q是已知数）的形式.0）,把c移到寻式右边.（2通过方程两边同加上*一次项系数_半的平方”，将方程 再两边同陽以s得 P + r=g的左边配成一个关于才的完全平方式，方程化为”+乂=_子（+）r纤护够（3）当（壬）+gA时，再利用开平方法解方程；当（2）Z+?巒恋时，原方程无实数根.rn pi1 fi /上海市教育委员会版权两边同除以2.得两边同加上利用开平方法，得_0.（1）当夕一心豪0时，与半鼻0.4a/沪一4如,y/ff 4ac当 a0 时 4a

33、f = 2a |当 a V 0 时，yia1 =利用开平方法，得1 b. /ft2 4ac七-士则=诰士异,（想一想，为什么?）因此总有Ilf 4ac 土 Qwi_4ac士一nn6 士 4ar即工2Z（2）当l/-4ac0时?21C 0.这时，在实数范围内取 任何值都不能使方程+纤=订件左右两边的值相等，所以 原方程没有实数根.由上述讨论可以得到：兀二次方程 aF + &r+c=O（aHO），当 4ac0 时. 它有两个实数根：_ 一6+ y/b2 4acb jD 4dc2a2a*在求根公式中，如果，_4ac = 0,那么4 =上海市教育委员会版权所有-i儿丨巧丨肓Tn：1.在解-元二次方程时

34、，只要把方程化为一般式 aF+hr+c=O (aO) 如果护一4心),杷a、6、c的值代入求根公式就可以求得孕程的 实数根：如果b2-4ac0.那么原方程无实数根这种解一元二次 方程的方法称为公式法例题9用公式法解下列方程:5x2+6t+1=0；解(1)原方程中，a = 5,6=6,c=l.6* 4ac= 6 4X5X1 = 16.6 /16_ 64工=2X510*即x=-| 或 z=_l.所以，原方程的根是xl = -y.xJ = -l.方ft时.虫帳携方程的 一般丸乱a、b、c的 ci2所以原方程的根是.门=血+25=短一2.用公式法解下列方程:/2(x2 1)=工(工一2)十 1(1)把

35、原方程化成一般式得工22 75工+5 = 0其中,a = 1.6= 2 /5 tc5庐上海市教育委员会版权所有所以，原方程的根是4上海市教育委员会版权所有（钓 12+2 工一刚T=0. _J2孔_ -S+1-l)(V2 + l)= -(72+1)*= -3-2 雄其中虑一1.窃帝昭-4处=2好4（雄-W+l）= 8.z = 一2士再=-22j2_ 一1 士施2（72-1） 2（72-1） *工=1 或工=3 2网所以原方程的根是工L1 工2=3 2吃练习 17.2(4)求下列方程中，一4ar的值:(2) 3x2 + fcr = 11吃”=屁+2忆(2) F 2 站才一4 =0$(42F+3工+

36、10 = 8工一1.(2) 9P 12乂+4 = 0：4) y-A=-lP5丁+2 = 0：6r 5 = 3x?用公式法解F列方程：2xz+x-6 = o；jx2 x=6用公式法解下列方程：(1)X24-2 = 2,/2j-jx(x5) = (2x3)1 6解一元二次方程，公式法是通用的方法，它是利用配方法总结 出来的.有一些特殊的一元二次方程，采用开平方法或因式分解法 显得比较简便.例题们用适当的方法解下列方程:(1) x2 4-(v3+l)x=0；（攵 + 3）（工一5） = 1 ；工（工一6） = 2（工一8）；（r+3）2 = 1.4（1把原方程的左边分解因式方程化为得上海市教育委员会

37、版权所有 丸分解进鸟紙所以，原方程的根是劝=0,比=一丁3(2)原方程可变形为x1 一2x16 = 0.方程的右边是1而不是 本.先折方程螯理!后再 观察，可JL不宜用因式 分解法，所以逸择公式 法.其中,0=1,6=2,c= 16.624ac=( 2)1 4X( 16) = 4 + 64 = 68.午呼吟J士皿才=1+丿17 或 x=i-/n. 所以，原方程的根是Tl = l+/17.x2 = l-vT7. (3)原方程可变形为解一元二次方1时.如 能注老方法的逸择.解 题过程可銘金简便些.所以，原方程的根是q=4 = 4.(4)= 1.4方法一(用开平方法)：原方程可变形为 (工+3严=4

38、.利用开平方法得工+3=2或z+3=_2. 解得x=l或工=一5.所以，原方程的根是工1 = 一1，工2 = 一5. 方法二(用因式分解法)： 原方程可变形为(x+3)x 4 = 0.把方程左边分解因式方程化为(工 + 3)十2(工+3) 2 = 0,得工+5=0 或 J： 4-1=0.解得工=一5或工=_1.所以，原方程的根是4 = 一5,孔=一1.例题12解下列方程：(1) x(x4)=2(t_ 4) t解(1)由一x(x4)=2(x4) 整理.得2(z4)+jt(z4)把方程左边分解因式方程化为2(j上海市教育委员会版权所有參紐得b1 4a其中，“ = 2.6= 3 c= 4.4X2X(

39、-3土屈一 3士局1X24“吐妙或午屮所以，原方程的根是,ri = 3t/4T-Tn例题用计算器求2工_1=0的近似根(楷确到o. 1). 解原方程中,tl = l,6=-2,c=-l.A用适当的方法解下列方程:(1)y(xH-2), = 4j(3) (2x3)2 =xz j (1)求当工为何值时,二次式3x2 6的值等于21；求当x为何值时.二次式3x2-6的值与x-2的值相等. 用计算器求下列方程的近似根(精确到o. 1):4a0,由求根公式.得_2 /4 4X1X( 1JX 2X1用计算器计算.得原方程的根是练习 17.2(5)17. 3 元二次方程根的判别式上海市教育委员会版权所有总当

40、-4ac0时方程的根是镑W-b+J护一总2a当&2-4ac=0时，方程的根是4=丁：当疗_仏的 根的判别式通常用符号“”(读作/delta/)来表示记作卜 4ac.利用根的判别式，不必解方程，就可以判断一个一兀二次方程 是否有实数根以及有实数根时两根是否相等一元二次方程 aF+bz+c=O (aMO),当A = -4ac0时.方程有两个不相等的实数根；当=F 4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当=F4acV0时.方程没有实数根.匕述判断反过来说，也是止确的即当方程有两个不相等的实数根时A。； 当方程有两个相等的实数根时仏二。； 当方程没有实数根时0例题1不解方程，判别下列方程的根的情况:(

41、1) 4x!-5.r-3 = 0i2工+ = 2辰鈕矽解冈为=(-5)*-IX 4X03)=发鬱隊 所以此方程有两个不相等的实数根密恋因为 ii = 4s-4X2X3-8上海市教育委员会版权所有（3）把原方程变形为MR 关于J的方程才+（加一,“=0（其中m是实数） 实数根吗？为什么？解 =（ 1 ）3 4 1 （ m）=皿+ 21 + 1 =（加 + 1？.因为m是实数.所以（加+ l）2o.即AN0.所以此方程一定有实数根.练习 17.3(1)1不解方程判斯下列方程的根的情况:了F 3才+9=0(3) 0 2F+0 6工+0 05 =0$5) 9工2 = 4(3工一1)；2.关于的方程-1

42、-（ w+1 ）x4-1 =0（其中刃H0一定有实数根吗？为什么？例题3当力取何值时，关于工的方程有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？解 =（丹一2）z_4（扌肿_）=_4加+&（1当一4加+80,即m2时，方程有两个不相等的实数根.（2）当一4加+ 8 = 0.即加=2时方程有两个相等的实数根.3）当一4力+82时，方程没有实数根.例题4当怡为何值时.关于z的方程X1 4 化r+ (2A 1 尸=解 = ( _4上)2 _4(2/r1)上海市教育委员会版权所有当16/?4彳0,即AN ；时方程有实数根这时方程的根是4上士 /16点一4工=2，劝=2A+ Jhk_

43、 19工2 = 2k _ /IA _ 1.例题5已知关于丄的方程4F （& + 2）z + A=l有两个相等 的实数根求点的值及这时方程的根解把原方程变形为心一（斤+ 2）工+怡一1=0. =（A4-2）24 4 Ct1）=&2+4怡+4 16人十16 =/一12 卄 20.因为方程有两个相等的实数根所以由疋_12&+20=0,得（&一 2）（怡一10）=0.解得k=2或K10.把k = 2代入原方程得4工一4工+1=0即（2工一1 ）2 =0 这时原方程的根是4 =业=把4 = 10代入原方程得4F 12+9 = 0即（2 工一3）2=0.这时原方程的根是工|=竝=豆练习 17.3（2）pr

44、*当k取何值时，关于X的方程J 虹z+1+h = 0有两个相等的实数根？已知关于H的方程 + 2+（-2）2=.当点取何值时此方程參修(3)有两个不相等的实数根？ 有两个相等的实数根？ 没有实数根？第三节一元二次方程的应用上海市教育委员会版权所有-元二次方程的应用二次三项式的因式分解我们曾经在有理数范围内讨论过多项式的因式分解问题例 如下列二次多项式的因式分解：F-4 = (z+2)(（2）+4工一12 = （工+6）（才一2）；（3）2F十4工一6 = 2（工2 + 2-3=2（工+3）（乂一1）.但是对于有些二次多项式，如x2 -3这样简单的二次二项 式在有理数范围内却不能分解因式.而在实

45、数范围内.这个二次二项式可以分解因式：当加、刃为正敏时.M.T rr= （+ 庙H 7务工一3 =云-（箱）?=（上+松）（一血）.又如9#一5 = （3工）2 （岛卩=（3乂+站”3才一阿）. 现在我们在实数范围内讨论二次三项式的因式分解. 在上面（2）、（3两例中，可以看出卫+ 4x 12 = 0的两根是 町=一6.匕=2；2云+4工_6=0的两根是百=_3,总=1.在二次三頊式的分解 式中两个一次式（一 次項廉救为1）的常釵 项分别是这小二次三 項式相应方程的实4t 根的相反敏般来说.如果二次三项式ax2 4-6x + c（a#0）通过因式分 解.得ax2+6x+c=a（jxi）（xx2

46、）那么虫才+力厂+c = 0,工：+6工2+e = 0所以，工=工】，工=工？都是 一兀二次方程aj2 +.”+ = 0的根.思考对二次三项式aF+6z+r（aH0）进行因式分解.是否可以通 过求一元二次方程a.rJ4-6x+c=0的两个实数根来解决？如果一元二次方程ajr2 +6；r + c=0有两个实数根:2a那么写出代数式a（xaxX）（x工2）门）（.一）得=aF （.口 + 工2）r+因为乂上海市教育委员会版权所有L.UT 厂=_6+ yTr -上海市教育委员会版权所有上述等式逆过来就是把aF+bz+c分解因式.因此，把二次三项式a.T: +处+&工0）分解因式时.如果夕_4“二（）

47、，那么先用公式医求出方程a”+/u + c = o （aHO）的两个实数根心、卫.再写出分解式“厂+方丁+c=a（H才】）（才_包）$如果/-4c0,那么方程a+bx-hc = OaQ）没有实数 根,ajc1+bx+c在实数范围内不能分解因式.例题1分解因式：（1）2疋一9z+7；- = 0看柞咲于工越鞫匕二次方稗*上海市教育委员会版权所有*y 丿 v 口jmi头釵TK足1-想一想如果把2a2-3xy-y看作关于y的二次二项式那么分解因 式的结果是什么？练习 17.4(1)在实数范围内分解因式:(1) *一8 =4X2 7 =分+彳工一28=x2-llx-F30 =在实数范围内分解因式:(1)

48、 x*+4z+l；(3) 3jtj 6丁+1；在实数范国内分解因式:(1) X2 2axu2;(2) 2x2 +3r一11(4) 3.(2) 2F 8zy+5y.2.实际问题现在我们来解决17. 1节开头提出的问题：一块长方形绿地的面积为1 200平方米，并且长比宽多10米,那么长和宽各为多少米？解：设这块长方形绿地的宽为米，根据题意得方程x(x+10) = 1 200.整理.得 即F + lOz-l 200 = 0.(j30)(x+40=0.x =30皿=40 解得负数根不符合实际意义应舍去所以工+10=40答僅地的怏和宽分别是40米W 30.上海市教育委员会版权所有上海市教育委员会版权所有

49、籟栅栏国一个所占地面为长方形的临时仓库，铁栅栏只围二边按下列要求分別求长方形的两条邻边的长长方形的面积是】152平方米；长方形的面积是1 800平方米；长方形的面积是2000平方米 分析先看第(1)题根据题意町以得到等式长方形面积=1 152二_,|一！ ：I1 一边长|X|另一边长|知数丄:1202第(2),(3)题类似.鶴 设长方形的一条边长为J米，则另_条边氏为(120_2云米.根据题意,得方程(120 2工)工=1 152.整理得F 60工+576 = 0.解得4 = 12,帀= 48.经检验.xi .X：都符合实际意义当工=12 时,1202x=96,当 j=48 时.1202x=2

50、4.答：长方形相邻两边的氏分別是96米和12米.或24米和 48米.根据题意.得方程(120 2乂)工=1 800.整理.得X860 x+900 = 0.解得J：i=J：2 = 3O.经检验.#=30符合实际意义当 x=30 时,1202x=60.答；长方形相邻购边的氏分别是30米和60米根据题意.得方程 (1202j).t = 2 000.樂理*得H一GtXr+l 000=0* 晶因为A= 400 数开平方也可以实施.这样，不仅给出了现在所见的关于一元二次方程口+方丫丁锯辭工 0）的求根公式，而且在数的范围扩大以后.无论$（）还是A0,方程总是右撫.鄙5阅读材料49禅磊动解-个特殊的方程解方

51、程：，一2岳12+2工一渥+1=0.分析：这是_个一元三次方程我们没有学过它的解法注意到这个方程的系数中的住 如果用y代换挖.那么原方程变成x32刃*2 +旷一y+1 =0如果把y看作“未知数把丿看作“已知数”那么上述方程就是一个关于$的一元二次 方程，即jry2 （2xz + 1 ）y + （.r3 + 1） = 0.尝试：（1）解关于y的方程工y （2? + 1），+（工“ + 1） = 0（方程的根用含r的式十表 示）（2）由（1）中关于y的方程的根的表达式还$的本来面目，即用施桥换y就得到两个 关于工的方程，再幣所得的这两个方程（3）写出原方程的根（即上述两个关于工的方程的根）反思：对

52、同一事物从不同的角度进行观察和分析.往往会有不同的认识.解尊卿労 程的过程，给予我们有益的启示你在本題的活动经历中，有什么体会？ 启狐Q一譌J的多个数量.而且这些数量之间相互联系、相互影响.例如在汽车匀速行驶过程中，如果车速”不变，那么行驶的路程S随着行车时间/的变化而变化，关系 式$=M反映了路程随时间变化而变化的规律.又如空中一定范围内的气温随 着距地面高度的増加而逹渐降低，而且也有一定的规律.这样的爭例有很多.世界上的事物是处在运动变化之中的.对数量问題的研究，也要用运动、变化的观点，从把握相关数童之间的关系及算变化发展过程着眼进行探索.正是基于这样的认识，形成了最初的函数概念及其思想方

53、法.徴甩噩变化过程中的员会版权所有正比例函数上海市教育委员会版权所有g分变曼与常f要结 舍实际冋题进行具体 分析.问划I中的d.r 4 t 量g是常童2打是常 ft.18. 1函数的概念变与函数人们在认识和描述某一事物时，经常会用“量”来具体表达事 物的某些特征（属性，同时用“数”来表明量的大小数与度量单位 合在一起就是“数ht”.例如我们居住的地球町以用下列数凰来描述它的一些 特征：平均半径丧面积体积质貳地心最高温度自转一周所需的时间6 371.22 T米 510X10平方千米1 083X109立方千米598X10吨5 000 C23时56分4. 1秒29.77千米/秒绕太阳运行的平均速度

54、这里所涉及的Ift 有长度、而积、体积、质讯、温度、时间、速度等 ?问地球上的赤道是一个大圆半径长r 6. 378X 10气耒）.设想 有一个飞行器环绕赤道飞行一周.其轨道是与赤道在同一平面且 同圆心的圓E.如杲圆E的周长比赤道的周长多a米.那么圆E的 半径卡是多少来？在这个问题中相关的就都是长度其中赤道的半径长f米的 数值保持不变圆E的周长比赤道的周氏多d米，即两圆周氏的差 为a米，圆E的半径长为r米.a与r可以取不同的数值在问题研究过程中可以取不同数值的駄叫做变（ varia- ble）s保持数值不变的就叫做常（ constant X或常数）.在问题1中由2nr2rr0 : a （米），得

55、r： r, + %（花召鬱可以看到.圆E的半轻r崎两圆周氏的差龜相”联系 的.由“ r = ”.十#”町知r随a的变化I醪離.而M当变尿*取 上海市教育委员会版权所有a之间存生确定的依赖关系.-；问题上海市教育委员会版权所有道上，汽车油錨里原有汽油120什.每疔駛L辆汽车行戈10千皋耗蟲飆.汽车行驶的路程100千米150千東200千来250千来油箱里创余的油量02）在汽车行驶过程中.汽车行驶的路程与油箱里剁余的油 量祁是变量吗？（3）设汽车行驶的路程为.r千米，油箱里剌余的油量为，升. 那么y与才之间是否存在确定的依莉关系？在这个问题中.汽车行驶的路程r（千米）与油箱电剩余的油 扯丁（升）都是

56、变址随着汽车行驶路程的堆加.油箱业剩余的油吊 在减少.即变蜃y随着变球.r的变化而变化；乂在填衣时可知，y = 120-.r,即y=120-0. 2z,当才取一个确定的数值时，y的值也 随之确定，所以y与/之间存在着确定的依赖关系.当然本题中路程工的取值不是任意的.根据题意.易知.r 0;又当汽车行驶600千米后油箱里就没油了.所以.r只能在一定 的范閔内取值.即0MzV600.Fl 1中 St量r是交 量a的矗4t.a是自变解析式.在某个变化过程中有两个变址.设为和y,如果在变斤t r的 允许収值范围内，变帚y随看.r的变化而变化.它们之间存在确定 的依赖关系那么变处y叫做变量z的S ft

57、（function）, .r叫做 自变（independent variable）.在问题2中.变量，是变htr的函数是自变赧其中，随 Wx变化而变化的依轍关系.是由M.y= 120-0. 2”表达出来的.这 种表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式.例题1气温的摄氏度数上与华氏度数y之间可以进行如下 转化华氏度数y是不足摄氏度数工的瓯数？为什么？市教育委员会版权所有解 在把摄氏度转化为华氏度的过程中华氏度y随衿摄氏上海市教育委员会版权所有摄氏度数c)100100华氏度数.y(下)113295312可见变ht y与之间存在确定的依赖关系是的函数32所痕达的两个变 之间妁依H关系完仝

58、-样.卜32是这个函数的解析式.年份200020012002200320042005忑绿化面駅不一.4 n7.09. 4lkG例题2 下列各变化过程中，两个变ht之间是否存在确定的依 赖关系？其中-个变職是另-个变屉的函数吗？菜气象站测得当地某一天的气温变化悄况如 图181所示.一I中的/轴上找出I 所对应的点Ai I it点 儿作4- t轴的K 妣与图中为线相交于 点再H. iX A作垦直 于T轴的直线企足为 点时霹么.虽S对A 的黄就是时剣/i的温 如这天14时的气 温为51?凌晨3时的 吒温为 3?图 18-1近年来上海市区的环境绿化不断得到改善下表是上海 市区人均绿化面积变化的一些统计

59、数据：解(1)两个变蜀是时间t和温度T.可以看到.当时间时? 变化时，相应的气温T( C )也随之变化；由曲线上-点的坐紮觀 可知时刻t的气温是匚由此町见这脚个变kt之间存杵鬱歸依赖 关系(这种关系是用曲线来表达的几所以丁是r懸羅 两个变址是年份利人均绿化fi!腿叙喘知倔着所列年变量之间也存在确定的依赖关系（通过列表来表达）.所以人均绿上海市教育委员会版权所有$议-慾鏗个值，可以求出这个代数式的 + 2也是-个变僦.试问：变弟数式”卩+ 2 给定f的. 為够轿如果.r是牛变蚩.那么.r 霍+2是不是变肚才的函数？练习 18. 1（1）1-某校学生总人数I 200人，某天实际到校的学生人数与学生

60、的出勤率p是变曲. 试说明P是的函数并写出这个冈数的解析式.举一个含有悶个相关变lit的实例.指出其中_个变駅是否是另_个变績的函数.如 果是，请把它们之间的依倾关系表达出来.（1）如果速度不变，那么这个式子里哪两个屋是变蚩？这两个变駅中哪一个是自已知物体匀速运动中，路程$、速度s时间/之间有关系式.、=“/.变最？哪一个是自变fit的函数？如果时间不变呢？（2）如果路程不变.试写出速度关于时间的丙数解析式.如图，线段AB=a.在垂宜于AB的射线DE上冇一个动点C（C 与垂足D不重合八分别联结A、CB.得到厶ABC.（1）指出ffeAABC的而积的变化过程中.线段AB、CD的长 哪一个是常战？