必考题型高考数学：数列求和问题大全

1、第26练数列求和问题大全题型一分组转化法求和例1等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足：bnan(1)nln an，求数列bn的前n项和Sn.破题切入点(1)可以通过逐个验证来确定数列的前三项，进而求得an；(2)可以分组求和：将bn前n项和转化为数列an和数列(1)nln an前n项的和解(1)当a13时，不合题意；当a12时，当且仅当a26，a318时，符合题意；当a110时，不合题意因此a12，a26

2、，a318.所以公比q3.故an23n1 (nN*)(2)因为bnan(1)nln an23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln 2(n1)ln 323n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.所以当n为偶数时，Sn2eq f(13n,13)eq f(n,2)ln 33neq f(n,2)ln 31；当n为奇数时，Sn2eq f(13n,13)(ln 2ln 3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(n1,2)n)ln 33neq f(n1,2)ln 3ln 21.综上所述，Sne

3、q blcrc (avs4alco1(3nf(n,2)ln 31，n为偶数，,3nf(n1,2)ln 3ln 21， n为奇数.)题型二错位相减法求和例2已知：数列an的前n项和为Sn，且满足Sn2ann(nN*)(1)求a1，a2的值；(2)求数列an的通项公式；(3)若数列bn的前n项和为Tn，且满足bnnan(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.破题切入点(1)代入求解即可(2)由Sn2ann得Sn12an1(n1)，n2，两式相减构造数列求通项公式(3)错位相减求和解(1)Sn2ann.令n1，解得a11；令n2，解得a23.(2)Sn2ann，所以Sn12an1(n1)(n2，nN*

4、)，两式相减得an2an11，所以an12(an11)(n2，nN*)，又因为a112，所以数列an1是首项为2，公比为2的等比数列所以an12n，即通项公式an2n1(nN*)(3)bnnan，所以bnn(2n1)n2nn，所以Tn(1211)(2222)(3233)(n2nn)，Tn(121222323n2n)(123n)令Sn121222323n2n，2Sn122223324n2n1，得Sn2122232nn2n1，Sneq f(212n,12)n2n1，Sn2(12n)n2n12(n1)2n1，所以Tn2(n1)2n1eq f(nn1,2)(nN*)题型三倒序相加法求和例3已知函数f(

5、x)eq f(1,4x2)(xR)(1)证明：f(x)f(1x)eq f(1,2)；(2)若数列an的通项公式为anf(eq f(n,m)(mN*，n1,2，m)，求数列an的前m项和Sm；(3)设数列bn满足b1eq f(1,3)，bn1beq oal(2,n)bn，Tneq f(1,b11)eq f(1,b21)eq f(1,bn1)，若(2)中的Sm满足对不小于2的任意正整数m，Sm0，则eq f(1,bn1)eq f(1,bnbn1)eq f(1,bn)eq f(1,bn1)，即eq f(1,bn1)eq f(1,bn)eq f(1,bn1)，所以Tn(eq f(1,b1)eq f(1

6、,b2)(eq f(1,b2)eq f(1,b3)(eq f(1,bn)eq f(1,bn1)eq f(1,b1)eq f(1,bn1)3eq f(1,bn1).因为bn1bnbeq oal(2,n)0，所以bn1bn，即数列bn是单调递增数列所以Tn关于n递增，所以当nN*时，TnT1.因为b1eq f(1,3)，b2(eq f(1,3)2eq f(1,3)eq f(4,9)，所以TnT13eq f(1,b2)eq f(3,4).由题意，知Smeq f(3,4)，即eq f(m,4)eq f(1,12)eq f(3,4)，解得meq f(10,3)，所以正整数m的最大值为3.题型四裂项相消法

7、求和例4在公差不为0的等差数列an中，a1，a4，a8成等比数列(1)已知数列an的前10项和为45，求数列an的通项公式；(2)若bneq f(1,anan1)，且数列bn的前n项和为Tn，若Tneq f(1,9)eq f(1,n9)，求数列an的公差破题切入点(1)列方程组(两个条件)确定an.(2)可以采用裂项相消法求得含有公差的表达式，再和已知Tneq f(1,9)eq f(1,n9)对比求得公差解设数列an的公差为d，由a1，a4，a8成等比数列可得aeq oal(2,4)a1a8，即(a13d)2a1(a17d)，aeq oal(2,1)6a1d9d2aeq oal(2,1)7a1

8、d，而d0，a19d.(1)由数列an的前10项和为45可得S1010a1eq f(109,2)d45，即90d45d45，故deq f(1,3)，a13，故数列an的通项公式为an3(n1)eq f(1,3)eq f(1,3)(n8)(2)bneq f(1,anan1)eq f(1,d)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,an)f(1,an1)，则数列bn的前n项和为Tneq f(1,d)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a1)f(1,a2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a2)f(1,a3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a

9、n)f(1,an1)eq f(1,d)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a1)f(1,an1)eq f(1,d)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,9d)f(1,9dnd)eq f(1,d2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,9)f(1,n9)eq f(1,9)eq f(1,n9).所以eq f(1,d2)1，d1.故数列an的公差d1或1.总结提高数列求和的主要方法：(1)分组求和法：一个数列既不是等差数列也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，即能分别求和，然后再合并，或对字母n分类讨论后再求和(2)错位相减

10、法：这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，主要用于求anbn的前n项和，其中an和bn分别是等差数列和等比数列(3)倒序相加法： 这是推导等差数列前n项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和(4)裂项相消法：把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，适用于求通项为eq f(1,anan1)的前n项和，其中an若为等差数列，则eq f(1,anan1)eq f(1,d)(eq f(1,an)eq f(1,an1)其余还有公式法求和等1若数列an的通项公式为aneq f(2,nn2)，则其

11、前n项和Sn为()A1eq f(1,n2) B.eq f(3,2)eq f(1,n)eq f(1,n1)C.eq f(3,2)eq f(1,n)eq f(1,n2) D.eq f(3,2)eq f(1,n1)eq f(1,n2)答案D解析方法一因为aneq f(2,nn2)eq f(1,n)eq f(1,n2)，所以Sna1a2an1eq f(1,3)eq f(1,2)eq f(1,4)eq f(1,3)eq f(1,5)eq f(1,n1)eq f(1,n1)eq f(1,n)eq f(1,n2)1eq f(1,2)eq f(1,n1)eq f(1,n2)eq f(3,2)eq f(1,n1

12、)eq f(1,n2).故选D.方法二因为a1eq f(2,3)，a2eq f(1,4)，所以S1a1eq f(2,3).令n1，选项B中，eq f(3,2)1eq f(1,2)0，选项C中，eq f(3,2)1eq f(1,3)eq f(1,6)，故排除B，C.又S2eq f(2,3)eq f(1,4)eq f(11,12)，选项A中，令n2，则1eq f(1,4)eq f(3,4)，故排除A，应选D.2已知数列1eq f(1,2)，3eq f(1,4)，5eq f(1,8)，7eq f(1,16)，则其前n项和Sn为()An21eq f(1,2n) Bn22eq f(1,2n)Cn21eq

13、 f(1,2n1) Dn22eq f(1,2n1)答案A解析因为an2n1eq f(1,2n)，则Sneq f(12n1,2)neq f(blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2n)f(1,2),1f(1,2)n21eq f(1,2n).3(2013课标全国)设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则m等于()A3 B4C5 D6答案C解析am2，am13，故d1，因为Sm0，故ma1eq f(mm1,2)d0，故a1eq f(m1,2)，因为amam15，故amam12a1(2m1)d(m1)2m15，即m5.4在数列an中，若存在一个确定的正整数T，对任意nN*

14、满足anTan，则称an是周期数列，T叫作它的周期已知数列xn满足x11，x2a(a1)，xn2|xn1xn|，当数列xn的周期为3时，则xn的前2 013项和S2 013等于()A1 340 B1 342C1 344 D1 346答案B解析由xn2|xn1xn|，得x3|x2x1|a1|1a，x4|x3x2|12a|，因为数列xn的周期为3，所以x4x1，即|12a|1，解得a0或a1.当a0时，数列xn为1,0,1,1,0,1，所以S2 01326711 342.当a1时，数列xn为1,1,0,1,1,0，所以S2 01326711 342.综上，S2 0131 342.5已知数列2 00

15、8,2 009,1，2 008，2 009，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 014项之和S2 014等于()A2 008 B2 010 C1 D0答案B解析由已知得anan1an1(n2)，an1anan1.故数列的前8项依次为2 008,2 009,1，2 008，2 009，1,2 008,2 009.由此可知数列为周期数列，周期为6，且S60.2 01463354，S2 014S42 0082 0091(2 008)2 010.6数列an满足an1(1)nan2n1，则an的前60项和为_答案1 830解析an1(1)nan2n1，a21a1，

16、a32a1，a47a1，a5a1，a69a1，a72a1，a815a1，a9a1，a1017a1，a112a1，a1223a1，a57a1，a58113a1，a592a1，a60119a1，a1a2a60(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a57a58a59a60)102642234eq f(1510234,2)1 830.7在等比数列an中，a13，a481，若数列bn满足bnlog3an，则数列eq blcrc(avs4alco1(f(1,bnbn1)的前n项和Sn_.答案eq f(n,n1)解析设等比数列an的公比为q，则eq f(a4,a1)q327，解得q3.所以ana1qn1

17、33n13n，故bnlog3ann，所以eq f(1,bnbn1)eq f(1,nn1)eq f(1,n)eq f(1,n1).则数列eq blcrc(avs4alco1(f(1,bnbn1)的前n项和为1eq f(1,2)eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,n)eq f(1,n1)1eq f(1,n1)eq f(n,n1).8对于数列an，定义数列an1an为数列an的“差数列”，若a11.an的“差数列”的通项公式为an1an2n，则数列an的前n项和Sn_.答案2n1n2解析因为an1an2n，应用累加法可得an2n1，所以Sna1a2a3an222232nneq f(21

18、2n,12)n2n1n2.9定义：若数列An满足An1Aeq oal(2,n)，则称数列An为“平方递推数列”已知数列an中，a12，点(an，an1)在函数f(x)2x22x的图象上，其中n为正整数(1)证明：数列2an1是“平方递推数列”，且数列lg(2an1)为等比数列；(2)设(1)中“平方递推数列”的前n项之积为Tn，即Tn(2a11)(2a21)(2an1)，求数列an的通项公式及Tn关于n的表达式(1)证明由题意得an12aeq oal(2,n)2an，得2an114aeq oal(2,n)4an1(2an1)2.所以数列2an1是“平方递推数列”令cn2an1，所以lg cn1

19、2lg cn.因为lg(2a11)lg 50，所以eq f(lg2an11,lg2an1)2.所以数列lg(2an1)为等比数列(2)解因为lg(2a11)lg 5，所以lg(2an1)2n1lg 5，所以2an152n1，即aneq f(1,2)(52n11)因为lg Tnlg(2a11)lg(2a21)lg(2an1)eq f(lg 512n,12)(2n1)lg 5.所以Tn52n1.10(2014湖南)已知数列an的前n项和Sneq f(n2n,2)，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an(1)nan，求数列bn的前2n项和解(1)当n1时，a1S11；当n2时，anS

20、nSn1eq f(n2n,2)eq f(n12n1,2)n.故数列an的通项公式为ann.(2)由(1)知ann，故bn2n(1)nn.记数列bn的前2n项和为T2n，则T2n(212222n)(12342n)记A212222n，B12342n，则Aeq f(2122n,12)22n12.B(12)(34)(2n1)2nn，故数列bn的前2n项和T2nAB22n1n2.11(2014课标全国)已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明aneq f(1,2)是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明eq f(1,a1)eq f(1,a2)eq f(1,an)eq f(3,2).证明(1)由an13an1得an1eq f(1,2)3(aneq f(1,2)又a1eq f(1,2)eq f(3,2)，所以aneq f(1,2)是首项为eq f(3,2)，公比为3的等比数列aneq f(1,2)eq f(3n,2)，因此an的通项公式为aneq f(3n1,2).(2)由(1)知eq f(1,an)eq f(2,3n1).因为当n1时，3n123n1，所以eq f(1,3n1)eq f(1,2