2012中考数学有关抛物线压轴题(有答案)

1、2012中考数学有关抛物线压轴题（有答案）1.如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点. （1） 求抛物线的解析式. （2）已知AD = AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值； （3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。（注：抛物线的对称轴为）解：设抛物线的解析式为，依题意得：c=4且 解得 所以 所求的抛物线的解析式为（2）连接DQ，在RtAOB中

2、，所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD =7 5 = 2因为BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQBD，所以PDB=QDB因为AD=AB，所以ABD=ADB，ABD=QDB，所以DQAB所以CQD=CBA。CDQ=CAB，所以CDQ CAB 即所以AP=AD DP = AD DQ=5 = ， 所以t的值是（3）答对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小理由：因为抛物线的对称轴为所以A（- 3，0），C（4，0）两点关于直线对称连接AQ交直线于点M，则MQ+MC的值最小过点Q作QEx轴，于E，所以QED=BOA=90 DQAB， BAO=QDE，

3、DQE ABO 即 所以QE=，DE=，所以OE = OD + DE=2+=，所以Q（，）设直线AQ的解析式为则 由此得 所以直线AQ的解析式为 联立由此得 所以M则：在对称轴上存在点M，使MQ+MC的值最小。2.如图9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OBOC ，tanACO（1）求这个二次函数的表达式（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图10，若点G（2

4、，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，APG的面积最大？求出此时P点的坐标和APG的最大面积.（1）由已知得：C（0，3），A（1，0） 1分将A、B、C三点的坐标代入得 2分解得： 3分所以这个二次函数的表达式为： 3分（2）存在，F点的坐标为（2，3） 4分理由：易得D（1，4），所以直线CD的解析式为：E点的坐标为（3，0） 4分由A、C、E、F四点的坐标得：AECF2，AECF以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形存在点F，坐标为（2，3） 5分（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，易得G（2，3），直线AG为8分设P（x，），则Q

5、（x，x1），PQ 9分当时，APG的面积最大此时P点的坐标为， 10分3.如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。求抛物线的解析式；设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由;若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。抛物线与y轴交于点C（0，3），设抛物线解析式为1分根据题意，得，解得抛物线的解析式为2分存在。3分由得，D点坐标为（1，4），对称轴为x1。4分若以CD为底边，则PDPC，设P点坐标为(x,y)，根

6、据勾股定理，得，即y4x。5分又P点(x,y)在抛物线上，即6分解得，应舍去。7分，即点P坐标为。8分若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x1对称，此时点P坐标为（2，3）。符合条件的点P坐标为或（2，3）。9分由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理,得CB,CD,BD,10分,BCD90,11分设对称轴交x轴于点E，过C作CMDE，交抛物线于点M，垂足为F，在RtDCF中，CFDF1,CDF45,由抛物线对称性可知，CDM24590,点坐标M为（2，3），DMBC,四边形BCDM为直角梯形, 12分由BCD90及题意可知，以B

7、C为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）。13分4.已知：抛物线yax2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OBOC）是方程x210 x160的两个根，且抛物线的对称轴是直线x2（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）求ABC的面积；（4）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EFAC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，CEF的面积为S，求S与m之间

8、的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（5）在（4）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时BCE的形状；若不存在，请说明理由 解：（1）解方程x210 x160得x12，x28点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OBOC点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）又抛物线yax2bxc的对称轴是直线x2由抛物线的对称性可得点A的坐标为（6，0）A、B、C三点的坐标分别是A（6，0）、B（2，0）、C（0，8）（2）点C（0，8）在抛物线yax2bxc的图象上c8，将A（6，0）、B（2，0）代入表达式yax2bx8，得eq blc

9、rc (avs4alco1(036a6b8,04a2b8)解得eq blcrc (avs4alco1(af(2,3),bf(8,3)所求抛物线的表达式为yeq f(2,3)x2eq f(8,3)x8（3）AB8，OC8SABC eq f(1,2)88=32（4）依题意，AEm，则BE8m，OA6，OC8， AC10EFAC BEFBACeq f(EF,AC)eq f(BE,AB)即eq f(EF,10)eq f(8m,8) EFeq f(405m,4)过点F作FGAB，垂足为G，则sinFEGsinCABeq f(4,5)eq f(FG,EF)eq f(4,5) FGeq f(4,5)eq f

10、(405m,4)8mSSBCESBFEeq f(1,2)（8m）8eq f(1,2)（8m）（8m）eq f(1,2)（8m）（88m）eq f(1,2)（8m）meq f(1,2)m24m自变量m的取值范围是0m8（5）存在 理由：Seq f(1,2)m24meq f(1,2)（m4）28且eq f(1,2)0，当m4时，S有最大值，S最大值8m4，点E的坐标为（2，0）BCE为等腰三角形5.已知抛物线与轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点B的坐标；当点C在以AB为直径的P上时，求抛物线的解析式；坐标平面内是否存在点，使得以点M

11、和中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由解：对称轴是直线：，点B的坐标是(3,0) 2分说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分如图，连接PC，点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B (3,0)，AB4在RtPOC中，OPPAOA211，b 3分当时， 4分 5分存在6分理由：如图，连接AC、BC设点M的坐标为当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CMAB，且CMAB由知，AB4，|x|4，x4点M的坐标为9分说明：少求一个点的坐标扣1分当以AB为对角线时，点M在x轴下方过M作MNAB于N，则MNBAOC90四边形AMB

12、C是平行四边形，ACMB，且ACMBCAOMBNAOCBNMBNAO1，MNCOOB3，0N312点M的坐标为 12分说明：求点M的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式，然后求交点M的坐标的方法均可，请参照给分综上所述，坐标平面内存在点，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形其坐标为6. 已知抛物线：点F(1，1) () 求抛物线的顶点坐标； () 若抛物线与轴的交点为A连接AF，并延长交抛物线于点B，求证： 抛物线上任意一点P（）)（）连接PF并延长交抛物线于点Q（），试判断是否成立？请说明理由； () 将抛物线作适当的平移得抛物线：，若时恒成立，求m的最大值【答案】解：

13、 (I)，抛物线的顶点坐标为()(II)根据题意，可得点A(0，1)，F(1，1)AB轴得AF=BF=1，成立理由如下：如图，过点P作PMAB于点M，则 FM=，PM=（）。RtPMF中，有勾股定理，得又点P（）在抛物线上，得，即，即。过点Q（）作QNAB，与AB的延长线交于点N， 同理可得PMF=QNF=90，MFP=NFQ，PMFQNF。 ，这里，。 ，即。 () 令，设其图象与抛物线交点的横坐标为，且， 抛物线可以看作是抛物线左右平移得到的， 观察图象随着抛物线向右不断平移，的值不断增大， 当满足，恒成立时，m的最大值在处取得。 当时所对应的即为m的最大值。 将带入，得。解得或（舍去）。

14、此时，得。解得，。m的最大值为8。【考点】二次函数综合题，抛物线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，图象平移，解一元二次方程。【分析】(I) 只要把二次函数变形为的形式即可。 (II) 求出AF和BF即可证明。应用勾股定理和相似三角形的判定和性质求出PF和QF即可。() 应用图象平移和抛物线的性质可以证明。如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒（t0），抛物线经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为 A （1，0），B （1，5），D （4，0）（1）求， （用含t的代数式表示）：（2）当4t5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N在

15、点P的运动过程中，你认为AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出AMP的值；求MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，；（3）在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围【答案】解：（1）把=0，=0代入，得=0。把=t，=0代入，得t2+t=0，t0，=t。（2）不变如图，当=1时，=1t，故M（1，1t），tanAMP=1，AMP=45。S=S四边形AMNPSPAM=SDPN+S梯形NDAMSPAM= QUOTE 12 （t4）（4t16）+ QUOTE 12 （4t16）+（t1）3 QUOTE 12 （t1）（t1）= QUOTE 32 t2 QUOTE 152 t+6。解 QUOTE 32 t2 QUOTE 152 t+6=，得：t1= QUOTE 12 ，t2= QUOTE 92 。4t5，t1= QUOTE 12 舍去。t= QUOTE 92 。（3） QUOTE 72 t。【考点】二次函数综合题。【分析】（1）由抛物线经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得，。（2）当=1时，=1t，求得M的坐标，则可求得AMP的度数。由S=S四边形AMNPSPAM=SDPN+S梯形NDAMSP