【学习课件】第9单元第54讲空间距离及其计算、折叠问题

1、第54讲 空间距离及计算、折叠问题1.了解空间各种距离的概念，掌握求空间距离的一般方法.2.能熟练地将直线与平面之间的距离，两平行平面之间的距离转化为点到平面的距离.3.了解折叠问题的基本内涵，掌握分析求解折叠问题的基本原则.1.在长方体ABCDA1B1C1D1中，若AB=BC=a,AA1=2a,则点A到直线A1C的距离为( )CA. a B. aC. a D. a解析：如图，点A到直线A1C的距离，即为RtA1AC斜边上的高AE.由AB=BC=a,得AC= a.又AA1=2a,所以A1C= a,所以AE= = a.2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，则点A到平面A1

2、BC的距离为( )BA. B. C. D.解析：取BC的中点M，连接AM、A1M，可证平面A1AM平面A1BC.作AHA1M，垂足为H,则AH平面A1BC.在RtA1AM中，AA1=1，AM= ，A1M=2,故AH= .3.如图，四边形ABCD中，ADBC，AD=AB，BCD=45，BAD=90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成几何体ABCD，则在几何体ABCD中，下列命题中正确的是( )DA.平面ABD平面ABCB.平面ADC平面BCDC.平面ABC平面BCDD.平面ADC平面ABC解析：由已知BAAD,CDBD，又平面ABD平面BCD,所以CD平面ABD.从而CDAB,又B

3、AAD,故AB平面ADC.又AB平面ABC,所以平面ABC平面ADC.4.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a, E、F分别是B1C1、BB1的中点，则： (1)直线EF与平面D1AC1的距离是 ; (2)平面AB1D1与平面C1BD间的距离是 . 解析：(1)易知EF平面D1AC1.过E作EHBC1H.因为D1C1平面BB1C1C，所以D1C1EH,故EH平面D1AC1，从而EF与平面D1AC1的距离为EH= a. (2)因为平面AB1D1平面C1BD,连接A1C,设A1C分别与平面AB1D1和平面C1BD交于O1、O2,则 为所求距离,且O1O2= A1C= a. 一、空间距离 1.两

4、点间的距离:连接两点的 的长度. 2.点到直线的距离：从直线外一点向直线引垂线， 的长度. 3.点到平面的距离：自点向平面引垂线， 的长度. 4.平行直线间的距离：从两条平行线中的一条上任意取一点向另一条直线引垂线, . 的长度.线段点到垂足之间线段点到垂足间线段点到垂足间线段5.异面直线间的距离:两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的 的长度.6.直线与平面间的距离:如果一条直线和一个平面平行,从这条直线上任意一点向平面引垂线, 的长度.7.两平行平面间的距离：夹在两平行平面之间的 的长度.线段这点到垂足间线段公垂线段二、求距离的一般方法与步骤（一）传统方法1.两点间距离、点到直线的距离

5、和两平行线间的距离其实是平面几何中的问题，可用 求解.2.平行直线与平面间的距离、平行平面间的距离可归结为求 的距离.3.求距离的基本步骤是：()找出或作出有关距离的图形；()证明它符合定义；()在平面图形内计算.平面几何方法点面间三、折叠问题1.概念：将平面图形沿某直线翻折成立体图形，再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某几何量进行论证和计算，就是折叠问题.2.折叠问题分析求解原则：(1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；(2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持 .不变题型一 用基本法求空间距离 评析：点到平面的距离是有关距离的重点，它主要由两种方法求得：(1)用定义直

6、接作出这段距离，经论证再计算，即“找(作)证算”；(2)等积法：转化为锥体的高，用锥体的体积公式求解题型二 用向量法求空间距离则 评析：由上可知，用向量求立体几何中有关距离的问题，不但可以减少一些辅助线的添加，而且求解简捷利用向量法求点到平面的距离的步骤如下： (1)求出该平面的一个法向量n；(2)找出以该点及平面内的某点为端点的线段对应的向量a；(3)利用公式d= 求距离 题型三 折叠问题 例3 在直角梯形ABCD中，D=BAD=90，AD=DC= AB=a(如图），将ADC沿AC折起，使D到D，记平面ACD为，平面ABC为，平面BCD为（如图）.（1）若二面角-AC-为直二面角，求二面角-

7、BC-的大小；（2）若二面角-AC-为60，求三棱锥D-ABC的体积.解析： (1)在直角梯形ABCD中，由已知DAC为等腰直角三角形，所以AC= a, CAB=45.过点C作CHAB,由AB=2a，可推得AC=BC= a，所以ACBC.取AC的中点E，连接DE，则DEAC.又二面角-AC-为直二面角,所以DE.又因为BC平面，所以BCDE，所以BC.而DC ，所以BCDC，所以DCA为二面角-BC-的平面角.由于DCA=45，所以二面角-BC-的大小为45.(2)取AC的中点E，连接DE，再过点D作DO，垂足为O，连接OE.因为ACDE，所以ACOE，所以DEO是二面角-AC-的平面角，所以

8、DEO=60.在RtDOE中，DE= AC= a，DO=sin60DE= a，所VD-ABC= SABCDO= ACBCDO, = a a a= a3. 评析 分析求解折叠问题的关键是分辨折叠前后的不变量和不变关系，在求解过程中充分利用不变量和不变关系.素材3 如图，已知四边形ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形（如图）.将它沿对称轴OO1折成直二面角(如图). (1)证明：ACBO1； (2)求二面角OACO1的正弦值. 解析：（方法1）（1）证明：由题设知，OAOO1，OBOO1, 所以AOB 是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 从而AO平面OBCO1. OC是AC在

9、面OBCO1内的射影.因为tanOO1B= = , tanO1OC= = ,所以OO1B=60，O1OC=30,从而OCBO1，由线面垂直得ACBO1.(2)由(1)知,ACBO1,OCBO1,知BO1平面AOC.设OCO1B=E,过点E作EFAC于F,连接O1F,则EF是O1F在平面AOC内的射影.由线面垂直得ACO1F，所以O1FE是二面角O-AC-O1的平面角.由已知，OA=3，OO1= ，O1C=1，所以O1A= =2 ,AC= = ，从而O1F= = .又O1E=OO1sin30= ,所以sinO1FE= = .(方法2)(1)证明:由题设知OAOO1,OBOO1.所以AOB是所折成

10、的直二面角的平面角，即OAOB.故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如右图.则相关各点的坐标是(2)因为 =-3+ =0,所以BO1OC.由(1)知ACBO1，ACOC=C，所以BO1平面OAC，所以 是平面OAC的一个法向量.设n=(x,y,z)是平面O1AC的一个法向量， n =0 -3x+y+ z=0 n =0 y=0，由，得取z= ,得n=(1,0, ).设二面角OACO1的大小为，由n、 的方向可知=n, ，所以cos=cosn， = = = ，则sin= .即二面角OACO1的正弦值为 .n1.对于空间中的距离，我们主要研究点到平面的距离、直线和平面的距离及两个平行平面之间的距离，其重点是点到直线、点到平面的距离.点到平面的距离要注意其作法，一般要利用面面垂直的性质来做.求点到平面的距离也可以用等体积法.2.求距离传统的方法和步骤是“一作、二证、三计算”，即先作出表示距离的线段，再证明它是所求的距离，然后再计算.其中第二步证明易被忽略，应当引起重视.3.用向量法求距离，方便快捷，应注意掌握一般转化为点面距离后，按如下步骤操作： (1)求出平面的法向量n； (2)找出以该点及面内某点为端点的线段对应的向量a； (3)代入