有限元hansl第七章

1、第七章 四阶问题（板的弯曲）在对中厚板进行分析时，重点将介绍位移和转角各自独立插值的板单元，这种板单元考虑了板的剪切变形。而且，弯曲问题可以降阶为二阶问题来描述。（对插值函数要求CO连续）在常见的工程结构中，板或板梁结构较为普遍；有限元分析中板可分为薄板和中厚板；对薄板分析时采用了克希霍夫（Kirchhoff）假设： 板中面上任一点（x, y）允许有三个位移分量，其中面内位移u、v 构成一平面应力问题（二阶问题）。横向位移则构成一个四阶问题（弯曲问题）。对于线性问题（小挠度），这两个问题之间没有耦合。可以分别进行研究，再将结果迭加。7-1 薄板小挠度弯曲的基本方程x,uy,vz,w图z,wxy

2、图q(x,y)MxxyMxyMxyMy设板中面的横向位移（挠度）为w (x, y) 1. 几何关系中面法线绕 x, y 轴的转角(7-1-1)(7-1-2)曲率2. 弹性关系(7-1-3)(7-1-4) 3. 平衡方程板在单位面积上受到的横向载荷为q(x,y)， z,wxy图q(x,y)MxxyMxyMxyMy(7-1-5)以位移 w 为基本未知量的平衡方程 (7-1-6)四阶椭圆型方程双调和方程 椭圆型方程?双调和方程?调和方程?图ns4. 边界条件设边界的切线方向为 s 。外法线方向为 n 则可将边界条件分为四类:(1) 挠度 w 的边界条件(7-1-7)(2) 转角边界条件(7-1-8)

3、(7-1-9)(7-1-10)(3) 弯矩边界条件 (4) 剪力边界条件7- 2 有限元解法1. 广义解 在所有满足强制性边界条件(即关于w, 的边界条件)和协调条件（ 在上连续）的可能位移中使总势能泛函 取驻值的位移 w 称为板弯曲问题在 Ritz 意义下的广义解。 广义解的容许空间：H2()2. 收敛条件位移场应满足以下条件: （）在单元内连续；（）包括足够的刚体位移模式 （） 能够描述任何一种常曲率状态 nsoxy图（4） 协调条件 四阶问题要求穿过单元边界时 连续。但如果沿边界的局部坐标系 n s 考察。若穿过单元边界时 w 连续，则一定连续。故协调条件更恰当的提法应是：穿过单元边界时

4、w（位移）和（转角）连续。 上述四个条件为有限元解收敛到真实解的充分条件，其中条件（1）（3）为必要条件。不满足条件（）的单元，只有能够通过分片检验时才能保证收敛性。 为了同时保证位移和转角的协调性，一般采用Hermite型插值。这样至少可以保证节点处的协调性。既便如此。我们将会看到：实现协调性仍然是一件困难的事。 7- 3 十二自由度矩形元（元）nnnnyxo图节点: 取矩形的四个角点。1. 单元和节点参数单元： 边与 x、y 轴平行的矩形；节点参数：2. 单元位移场(7-3-1)其中（广义坐标）可由个节点参数唯一定出。12 对结点参数12 个代数方程12 个待定系数nnnnyxo图3. 收

5、敛性分析 位移场为 x、y 的四次多项式。完全到 x、y 的三次项。故收敛条件（1）（3）可以满足。下面分析协调性。以-边为例。 (7-3-1) （2）沿、边转角 是 y 的三次函数，不能仅由节点、处剩下的两个节点参数 所决定。故沿不协调。 沿 2-3 边的位移函数: （1） 沿-边：x = 常数。位移 w 是 y 的三次多项式。可以完全被节点、处的四个节点参数 所决定。故沿边位移 w 是协调的。 沿 2-3 边的转角函数: 在广义解 wH3() 的情况下可以在理论上证明有限元解的收敛性。23可以决定出沿边3线性变化的、协调的 ， 在节点处 为零，且仍然包括 y 的二次项和三次项，而其中的偶次

6、项对通过分片检验是不利的，但是由于单元是形状十分规则的矩形，仍然可以通过分片检验； 元是出现较早的一种单元，虽然它不满足转角协调条件，但可以保证收敛性，加上它的单元刚度矩阵的元素可以用精确的解析表达式求得。这种单元在自编程序中得到广泛应用。7- 4 十六自由度矩形单元（元）实现协调条件的一个办法是引入高阶导数做为节点参数 nnnnyxo图6节点: 取矩形的四个角点。单元： 边与 x、y 轴平行的矩形；节点参数：1. 单元和节点参数2. 单元位移场(7-4-1)其中（广义坐标）可由6个节点参数唯一定出。16 对结点参数16 个代数方程16 个待定系数 3. 收敛性分析nnnnyxo图6(7-4-

7、1) 位移场是 x、y 的六次多项式，完全到 x、y 的三次项。对于x 和 y 每一个变量而言，次数不超过三，这项刚好构成 x、y 的双三次多项式。显然，收敛条件所要求的（1）（3）得到满足。 （1）沿边 x 常数，w 是y 的三次函数； （2） 是 y 的三次函数； （3）沿边 w 和 都满足协调要求。 在节点处不能保证高阶导数连续（例如板的材料、厚度有突变）在强制边界条件的边界上与高阶导数有关的节点参数如何处理？不利因素：7- 5 常矩三角元(Morley元)nsoxy图节点: 、 位于三个角点 、 位于各边中点。 单元： 任意三角形；节点参数：1. 单元和节点参数2. 单元位移场(7-5

8、-1)在单元内曲率和扭率为常数，故称为常矩三角元。 由 定出6个待定系数。. 收敛性讨论nsoxy图对于Morley元仅在广义解的可微性比较好(wH4() )的情况下证明了它的收敛性，对单元的形状则不必加以限制。 （1）单元位移场 w 为 x、y 的完全二次多项式。收敛条件所要求的（1）（3）得满足。 （2）沿-边 w 是 s 的二次函数，不能仅由w1、w2 所决定；（3） 是 s 的一次函数，不能仅由 所决定。(7-5-1) 沿-边按线性变化，平均值为 ，它的不协调性不会成为通过分片检验的障碍。 w1、w2 可以决定沿边界线性变化的、协调的 ，在节点处为零， 仍然是 s 的二次函数，偶次项对

9、通过分片检验是不利的。7-6 九自由度三角元（ Zienkiewicz 三角元）nsoxy图 8(7-6-1)由 定出9个待定系数。节点: 、 位于三个角点单元： 任意三角形；节点参数：1. 单元和节点参数2. 单元位移场解决办法是：放弃上述限制，直接构造各节点参数的形函数。借助面积坐标 优点：是刚体位移和常应变条件可以明显地得到满足。缺陷： x2y 与 xy2 项系数相等的做法使单元的九个节点参数之间实际上是不独立的。Oxy图9M(x,y)（1）面积坐标和求导公式 设单元三个节点的序号为、为单元内一点。三角形的面积点的面积坐标 节点的面积坐标为：（，）节点的面积坐标为：（，）节点的面积坐标为

10、：（，）点的面积坐标（L1、L2、L3）和总体坐标（ x、y ）之间存在着线性关系（7-6-2）求导关系(7-6-3)(7-6-4)（2） 位移场和形函数结点参数： 其中：位移场：(7-6-5 )形函数的表达式为： 单元位移场 w 是x、y 的三次多项式 。 w 不可能是 x、y的完全三次多项式。 能否精确地表达任何一种按 x、y 二次多项式分布的位移场? 的系数3. 收敛性分析nsOxy图10( 只需要分析协调性 ) 以边为例，设此边与x轴夹角为，建立局部坐标系ns。 w 是 s 的三次函数 位移 w 协调 ;是 s 的二次函数 不协调。线性函数： 在节点、处为零，且是 s 的二次函数。偶次

11、项对通过分片检验是不利的。 图 只有当所划分的三角形单元的三条边与三个已知方向平行时才能通过“分片检验” (图)，在广义解 w H() 的情况下可以从理论上证明有限元解的收敛性。在一定的条件下可以保证有限元解的收敛性。 nsoxy图nsoxy图 8(Morley元)（Zienkiewicz 三角元）7-7 二十一自由度三角元（Argyris三角元）nsoxy图节点: 、 位于三个角点， 4 、5 、6 边中点。单元： 任意三角形；节点参数：1. 单元和节点参数2. 单元位移场（7-7-1）3. 协调性分析nsoxy图(边 )w 是 s 的五次函数 是 s 的四次函数 位移 w 和转角 都满足协

12、调性要求。 高阶导数做为节点参数也有其不利的一面 分析复杂结构时有可能导致未知数个数过多、计算量过大。7- 8 线性曲率协调三角元（单元） 这是一族单元，这族单元不引入高阶导数做为节点参数。而是在单元内再次利用“分片插值”的方法实现协调条件。 1. 基本单元 (LCCT-12)nsoxy图 13节点: 、 位于三个角点， 4 、5 、6 边中点。单元共有个自由度（外自由度）。称为LCCT12 oxy图14o在单元内再取一个内节点0 结点参数：将原三角形分成三个子三角形。 oo 每个三角形共有个节点参数，对于三角形 它们是： 在每个子三角形内可以假设位移w 是 x、y 的完全三次多项式； 这样的

13、位移场可以描述每个子三角形的任何一种刚体位移和常曲率状态； 整个单元的刚体位移和常曲率条件也可以得到满足。. 协调性分析o子三角形, 沿原单元的边 w 是 s 的三次函数 是 s 的二次函数 位移和转角都满足协调条件 。onsons边 w 是 s 的三次函数 是 s 的二次函数 无法确定一个二次函数。oooons 在单元内部（包括子三角形内部和子三角形之间）w 连续，沿单元的三条边 协调，但子三角形之间 还未满足协调要求。 4. 约束条件和内自由度凝聚设点、分别为、的中点。 (7-8-1)附加三个强制 条件：子三角形之间也协调。(7-8-1)消去内自由度，（静凝聚）子三角形之间协调。LCCT1

14、2单元的位移场的特征归纳如下：（iii）可以描述任何一种刚体位移和常曲率状态。（i）在每个子三角形内w 是 x、y 的三次多项式；（ii）单元之间以及子单元之间满足 w 和 的协调条件；有限元解的收敛。5. LCCT12族的其它单元图 LCCT-11 (a)LCCT-10 (b)LCCT-9 (c)LCCT1单元 LCCT10 单元 LCCT9 单元 LCCT单元比LCCT12单元多加了三个约束，刚度增加、因此精度低于LCCT12单元。 6. LCCT1单元图图静凝聚法消去个内自由度个外自由度进入总体平衡方程。个LCCT1单元组合成四边形单元。共有个自由度。 内自由度个; 外自由度个，称为单元。 协调单元，没有取高阶导数做为节点参数，精度也比较好。缺点是单元分析过程比较复杂，程序相当长，自编程序较为困难。 用个LCCT9单元拼成一个四边形单元（图）。这个单元也只有个外自由度，表面上与Q19单元十分类似，但精度较后者低，好处是仅需要凝聚个内自由度，化费机时比Q19少。 z,woy