数学物理方法课件：第十九章 原子物理

1、19-1 量子力学对氢原子的描述 提纲 电子的几率分布 第十九章 原子物理 能量、角动量模方及角动量在Z轴 上分量的本征值及其量子数。 氢原子的定态薛定谔方程作业：19-1、2、3第十九章 原子物理1914年，夫兰克（J.Franck)和赫兹（G.Hertz) 用电子与稀薄气体原子碰撞的方法，测量原子 的激发电势和电离电势，揭示出原子有不连续 的能级存在。1922年，史特恩（O.Stern) 和盖拉赫 （W.Gerlach)的实验又揭示了角动量 取向的量子化。量子力学能够给出原子系统中电子状态 的描述并且自然地得出量子化的结果。 本章以氢原子为例说明之。其定态薛定谔方程为：19-1 量子力学对

2、氢原子的描述 氢原子的定态薛定谔方程氢原子中电子绕原子核的运动化为一个以折合 质量 运动的单体问题。 分别是核及电 子的质量。哈密顿算符：在球坐标系下：球坐标拉普拉斯算符为定态薛定谔方程：在有心场中运动的粒子其能量、角动量的 平方均为守恒量，因此选取（H，L2，Lz) 为体系守恒量的完全集。径向动能离心势能库仑势能用分离变量求解：代入薛定谔方程得出它们应满足的本征值方程：是连带的勒让德函数根据波函数应满足标准化条件得出：是角动量沿Z轴分量的本征值； 是角动量模方 的本征值， 角量子数。球谐函数 是 的共同本征函数 它仅是 的函数。由束缚态的边值条件得出径向方程的本征值：为主量子数或称能量量子数

3、。对于给定的 ， ， 取 个量子化值。称 为拉盖尔函数， 当 时趋于零。 可查阅数学手册，例如：满足标准条件（有限）的径向波函数为：第一玻尔轨道半径。对于给定的 ， ， 取 个量子化值。因此，氢原子的能级是简并的，简并度为：对应主量子数 ，的能级 可有 个本 征态与之对应。是算符的共同本征函数，它们都有确定的本征值。 这些力学量都是守恒量。这组本征函数构成 完全集。 能量、角动量模方及角动量在Z轴上 分量的本征方程、本征值及其量子数。对于给定的 ， ，在原子 物理中用英文字母s,p,d,f,g,代表其值。径向几率幅； 横向几率幅 方向的几率幅126534赖曼系巴耳末系帕邢系布喇开系氢原子能级图

4、简并度 = n216 4s 4p 4d 4f9 3s 3p 3d4 2s 2p1 1s25 5s 5p 5d 5f 5g-13.6eV-3.39eV-1.81eV-0.85eVEnl主量子数 n 电子的几率分布 代表电子在 体积元 内出现的几率。归一化条件：因此上式中径向积分等于1，同时角部分 的积分也必须归一。在半径 r 到 r+dr 的球壳内找到电子的几率径向几率密度为：计算表明径向波函数 的节点数 通常把节点数为零（ ）的“态”，称为 圆轨道，例如：1s,2p,3d,，它们极大值的位 置： ，其中 是第一玻尔轨道半径。驻波称 为最概然半径。r1s2s3s4sr2p3p4pr3d4d电子的径向几率分布电子的几率密度随角度的变化电子在 附近的立体角 内的几率：zyzyzy驻波讨论 方向的几率幅共有(2l+1 ) 个m值，m是沿方向驻波的节点数显然满足周期性条件m决定了 的本征值，可等价地看成角动量 在空间对于Z轴以 方向驻波的节点数来选 取空间的稳定方向，称为空间方向量子化。Zm21012角动量空间的方向氢原子的状态必须用四个量子数 才能完全确定。主量子数 决定电子的能量。角量子数