2020届全国大联考高三2月联考数学(文)试题(解析版)

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业2020届全国大联考高三2月联考数学（文）试题一、单选题1设集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】将集合,化简，利用交集的定义域，即可得到答案【详解】因为，或，所以或故选：C【点睛】本题主要考查集合的交集运算，同时考查一元二次不等式的解法及绝对值不等式的解法，属于基础题2已知为虚数单位，复数满足，则（ ）A2BCD【答案】B【解析】将化为，再利用复数的代数形式的乘除法运算化简，即可得到答案【详解】因为，所以故选：B【点睛】本题主要考查复数的除法运算，属于基础题3自改革

2、开放以来，我国综合国力显著提升，人民生活水平有了极大提高，也在不断追求美好生活某研究所统计了自2013年至2019年来空气净化器的销量情况，绘制了如图的统计图观察统计图，下列说法中不正确的是（ ）A2013年2019年空气净化器的销售量逐年在增加B2017年销售量的同比增长率最低C与2018年相比，2019年空气净化器的销售量几乎没有增长D有连续三年的销售增长率超过【答案】C【解析】根据统计图的空气净化器的销量的条形图和同比增长率的折线图，分别判断个选项的正误，即可得到答案【详解】对A，根据空气净化器的销量的条形图可以发现：2013年到2019年空气净化器的销售量逐年在增加，故A正确；对B，根

3、据同比增长率的折线图可以发现：2017年销售量的同比增长率最低，故B正确；对C，根据空气净化器的销量的条形图可以发现：与2018年相比，2019年空气净化器的销售量增长明显，只是同比增长率较2018年略有下降，故C错误；对D，根据同比增长率的折线图可以发现：2014年、2015年、2016年连续三年的销售增长率超过，故D正确故选：C【点睛】本题主要考查条形统计图和折线统计图，同时考查数据处理和分析能力，属于基础题4“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】首先将化简可得，然后根据充分条件和必要条件即可得到答案【详解】由得，因为在上单调递

4、增，所以，而，所以，故充分性成立；而当时，且，故必要性不成立故选：A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，属于基础题5某公司的班车分别在8：00，8：30时刻发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过15分钟的概率是（ ）ABCD【答案】D【解析】先求出小明等车时间不超过15分钟的时间长度，然后根据几何概型的概率计算公式即可求得答案【详解】根据已知条件可知，小明在7:50到8:00之间和8:15到8:30之间到达车站，等车时间不超过15分钟，时间总长度为，故他等车时间不超过15分钟的概率故选：D【点睛】本题主要考查几何概型的概率

5、计算对于实际生活中有关几何概型的问题，解题的关键是找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域，把问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解6下列函数中，其图象与函数的图象关于对称的是（ ）ABCD【答案】D【解析】设为所以求函数图象上的任意一点，利用其关于点对称点在函数的图象上，即可求出结果【详解】设为所以求函数图象上的任意一点，则其关于点对称点在函数的图象上，所以，即故选：D【点睛】本题主要考查相关点法求函数的解析式，抓住对称点之间的中心对称关系，利用中点坐标公式求出对称点，寻求两相关点之间的函数等量关系是解决问题的关键7我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑在一座宫殿

6、中，有一件特别的“柱脚”的三视图如图所示，则其体积为（ ） ABCD【答案】C【解析】根据“柱脚”的三视图可知，该“柱脚”是由半圆柱和一个三棱柱组合而成，结合三视图求出相应的长度，利用柱体和椎体的体积公式，即可得到答案【详解】根据“柱脚”的三视图可知，该“柱脚”是由半圆柱和一个三棱柱组合而成，半圆柱的底面半圆的直径为，高为，故半圆柱的体积为，三棱柱的底面三角形的一边长为，该边上的高为，该三棱柱的高为，故该三棱柱体积为，所以该“柱脚”的体积为故选：C【点睛】本题主要考查对三视图所表达的空间几何体的识别及几何体体积的计算由三视图还原几何体，要弄清楚几何体的特征，把三视图中的数据、图形特点准确地转化

7、为对应几何体中的线段长度、图形特点，再进行计算8将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象经过点，则的最小值为（ ）ABCD【答案】D【解析】先逆用两角和的正弦公式化简可得，再根据的图象变换规律，可得变换后的解析式为，将点代入解方程并结合，即可求出的最小值【详解】所以将函数的图象向右平移个单位，得到的函数图象对应的函数解析式为，再向上平移1个单位，得到的函数图象对应的函数解析式为，因为所得图象经过点，所以，所以，所以，所以，又，所以当时，取得最小值故选：D【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式的逆用，三角函数图象的平移变换及三角方程的解法9已知双曲线的在、右焦点分别，过作的切线，交

8、双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（ ）A2B3CD【答案】D【解析】设切线与圆切于点，连结，则，过作，垂足为，又为的中点，所以为的中位线，结合图形可求得，再由双曲线的定义列出方程，即可求出双曲线的离心率【详解】设切线与圆切于点，连结，则，过作，垂足为，因为，所以，又为的中点，所以为的中位线，又，所以，在中，所以，在中，所以，所以，所以，由双曲线的定义可得，即，所以，所以，所以故选：D【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质中的离心率的求解，关键是利用平面几何的知识求出，再利用双曲线的定义找到问题解决的切入点10有一个长方形木块，三个侧面积分别为8，12，24，现将其削成一个正四面体模型，则该

9、正四面体模型棱长的最大值为（ ）A2BC4D【答案】B【解析】先求长方体从同一顶点出发的三条棱的长度，从而可得正四面体模型棱长的最大值.【详解】设长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为，则，故，若能从该长方体削得一个棱长最长的正四面体模型，则该四面体的顶点必在长方体的面内，过正四面体的顶点作垂直于长方体的棱的垂面切割长方体，含正四面体的几何体必为正方体， 故正四面体的棱长为正方体的面对角线的长，而从长方体切割出一个正方体，使得面对角线的长最大，需以最小棱长为切割后的正方体的棱长切割才可，故所求的正四面体模型棱长的最大值.故选：B.【点睛】本题考查正四面体的外接，注意根据外接的要求确定出顶点在长

10、方体的侧面内，从而得到正四面体的各顶点为某个正方体的顶点，从而得到切割的方法，本题属于中档题.11已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，若平面内点满足，则的最大值为（ ）A7B6C5D4【答案】C【解析】设，根据可得，再根据可得点的轨迹，它一个圆，从而可求的最大值.【详解】设，故，.由可得，故，因为，故，整理得到，故点的轨迹为圆，其圆心为，半径为2，故的最大值为，故选：C.【点睛】本题考查坐标平面中动点的轨迹以及圆中与距离有关的最值问题，一般地，求轨迹方程，可以动点转移法，也可以用几何法，而圆外定点与圆上动点的连线段长的最值问题，常转化为定点到圆心的距离与半径的和或差，本题属于中档题.12已知函

11、数存在两个极值点，则的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】求出函数的定义域为及，根据函数存在两个极值点，可将问题转化为方程，即在上有两个不等实根，列出约束条件并求出的范围，进而可求出的取值范围，令，只需求出在上的最小值即可【详解】由已知可得函数的定义域为，且，因为函数存在两个极值点，所以方程，即在上有两个不等实根，所以，解得，且，所以，所以，令，所以，所以，令，解得，极小值由表可知，当时，取得极小值，也是最小值，所以故选：B【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最小值，同时考查一元二次方程根的分布问题处理方法及转化与化归思想二、填空题13已知函数则_.【答案】2【解析】直接利用分段函数的解析

12、式一步一步的求值.【详解】由题得.故答案为：2【点睛】本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.14已知向量的夹角为，若，则_【答案】【解析】根据向量数量积运算公式可知，只需根据已知求出，即可求出的值【详解】因为，所以，又向量的夹角为，所以，所以故答案为：【点睛】本题主要考查向量模的求法，属于基础题15设满足约束条件且的最大值为7，则_【答案】【解析】对的取值进行分类讨论并分别作出可行域，将目标函数可化为，结合图形用平移直线法，可求出目标函数的最大值，然后由的最大值为7，即可求出的值【详解】当时，目标函数可化为，作出可行域如图：由图可知，当在轴上的截距无最大值

13、当时，显然不满足题意当时，目标函数可化为，作出可行域如图：由图可知，当在轴上的截距无最大值当时，目标函数可化为，作出可行域如图：由图可知，当经过点时，截距最大，即取得最大值，所以，即，解得或(舍去)，综上满足条件的的值为故答案为：【点睛】本题主要考查简单线性规划已知线性目标函数在线性约束条件下的最值，求有关参数的值，体现了数形结合和化归思想的应用，属于中档题16已知的内角所对边分别为，且，则的最大值为_【答案】【解析】利用正弦定理将化为，然后利用三角形内角和定理将用代换，再利用两角和的正弦公式展开整理可得，再由同角三角函数关系可得，将其代入展开式消去，结合基本不等式即可求出的最大值【详解】因为

14、，由正弦定理得，又，所以，即，所以，所以，当或时，等式不成立，所以，所以，所以又，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理，两角差的正切公式及基本不等式的应用，需要注意的是在利用基本不等式时，要根据条件确定三、解答题17设等比数列的公比为，是的前项和，已知，成等差数列，且，(1)求的通项公式；(2)记数列的前项和为，若成立，求【答案】(1)；(2)1【解析】(1)根据已知条件列出方程，将用表示，再将用表示，解出即可得出答案；(2) 由(1)知，利用错位相减法求出，再利用等比数列求和公式求出，代入，即可解出的值【详解】因为，成等差数列，所以，即，

15、由可得，即，联立及解得，所以(2)由(1)知，所以，两式相减得所以，所以又因为，所以可化为，即，可变形为，整理得，解得【点睛】本题主要考查等比数列通项公式，等比数列求和求和公式及错位相减法求和.18第十三届全国人大第二次会议于2019年3月5日在北京开幕为广泛了解民意，某人大代表利用网站进行民意调查数据调查显示，民生问题是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占现从参与调查者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示(1)求；(2)现在要从年龄较小的第1组和第2组中用分层抽样的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2

16、人接受现场访谈，求这两人恰好属于不同组别的概率；(3)把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，问是否有的把握认为是否关注民生与年龄有关？附：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，【答案】（1）；（2）；（3）没有99%的把握认为是否关注民生与年龄有关【解析】(1)根据频率分布直方图，由频率分布直方图各小长方形的面积之和为1，即可计算出频率分布直方图中的值；(2)根据分层抽样的公式计算出第1组和第2组中

17、的人数，列出从这5人中随机抽取2人的所有基本事件及两人恰好属于不同组别的事件并求出相应的种数，再根据古典概型计算公式，即可求出这两人恰好属于不同组别的概率；(3)根据已知可求出200人中不关注民生问题的青少年有30人，然后列出列联表，根据公式求，即可得出结论【详解】(1)因为，解得(2)由题意可知从第1组选取的人数为人，设为，从第2组选取的人数为人，设为，从这5人中随机抽取2人的所有情况有：，共10种这两人恰好属于不同组别有，共6种所以所求的概率为(3)选出的200人中，各组的人数分别为：第1组：人，第2组：人，第3组：人，第4组：人，第5组：人，所以青少年组有人，中老年组有人，因为参与调查者

18、中关注此问题的约占，即有人不关心民生问题，所以选出的200人中不关注民生问题的青少年有30人于是得列联表：关注民生问题不关注民生问题合计青少年9030120中老年701080合计16040200所以，所以没有的把握认为是否关注民生与年龄有关【点睛】本题主要考查频率分布直方图，古典概型概率的计算及独立性检验，同时考查基本计算和数据处理能力19已知椭圆的离心率为，左右端点为,其中的横坐标为2. 过点的直线交椭圆于两点,在的左侧，且，点关于轴的对称点为，射线与交于点.（1）求椭圆的方程；（2）求证: 点在直线上.【答案】（1） ； （2）见解析.【解析】（1）由椭圆的基本量运算可得解；（2）设，由直

19、线与椭圆联立可得，写出直线和直线的方程，联立解交点横坐标，再利用韦达定理代入可得定值.【详解】（1）因为离心率为，所以因为的横坐标为2，所以因此椭圆的方程为；（2）设由与联立，得所以直线:，直线:，联立解出.【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.20如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,平面底面,为的中点,是棱的的中点.（1）求证：平面平面；（2）求四面体的体积.【答案】（1

20、）详见解析（2）【解析】试题分析：（1）证明面面垂直，一般利用线面垂直进行论证，而线面垂直的证明，往往利用线面垂直的判定与性质定理，经多次转化得到，其中需结合平面几何知识寻找线线垂直，如本题利用平行得，再根据面面垂直性质定理，得平面（2）求四面体的体积，关键找高，即面的垂线：先由等腰三角形性质得，再根据面面垂直性质定理得平面，因此可求，又根据等体积得试题解析：解：（1）证明：为中点，四边形为平行四边形,即.又平面平面，且平面平面，平面，平面，平面，平面平面（2）解：，且，由（1）可知：四边形为矩形，,为的中点，平面平面，且平面平面，平面，在,.【考点】面面垂直性质定理，四面体体积【思想点睛】垂

21、直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.21已知函数在定义域上满足恒成立(1)求实数的值；(2)令在上的最小值为，求证：【答案】(1)；(2)见解析【解析】(1) 若在上恒成立，则只需函数即可，对进行分类讨论可确定函数的单调性，可得当时函数有最大值，利用导数法可判断，又，从而可求得的值；(2)由(1)知，可得，令，可证，使得，从而可确定在上单调递减，在上单调递增，进而可得，即，即可证出【详解】(1)的定义域为，且，当时，故在上单调递增，由于，所以当时，不合题意当时，所以当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减，即所以要使在时恒成立，则只需，亦即令，则，所以当时，；当时，即在上单调递减，在上单调递增又，所以满足条件的只有2，即(2)由(1)知，所以，于是令，则，由于，所以，即在上单调递增；又，所以，使得，即，且当时，；当时，即在上单调递减；在上单调递增所以，即，所以，所以【点睛】本题主要考查利用导数法求函数的最值及恒成立问题处理方法，第(2)问通过最值问题深化对函数的单调性的考查，同时