连续周期信号Fourier级数

1、第二章 连续时间信号 2.1 连续周期信号的 Fourier 级数 2.2 连续非周期信号的 Fourier 变换 2.1 连续周期信号的 Fourier 级数 一、问题的提出 二、Fourier 级数的三角形式 三、Fourier 级数的指数形式 五、有限区间上连续信号的Fourier级数 四、连续周期信号的离散频谱 一、问题的提出 由基频 可以得到如下一系列的简谐波： 基本周期为 的连续周期信号。 对象 称 为基本频率(简称基频)。 定义 生成周期为 的复杂波。 显然，由这些简谐波通过加权叠加(即线性组合)可以 这些简谐波都是以 为周期的，即它们均满足： 一、问题的提出 ?( Fourie

2、r级数的历史回顾) 对于任何一个周期为 的(复杂)信号 ， 问题 能否： 历史 1. 正交函数系 函数系 二、Fourier 级数的三角形式 1. 正交函数系 二、Fourier 级数的三角形式 特点 (1) 周期性 (2) 正交性 2. Dirichlet 定理 (1) 连续或只有有限个第一类间断点； (2) 只有有限个极值点 . 二、Fourier 级数的三角形式 设 是以 为周期的实值信号，在区间 上 满足如下条件(称为 Dirichlet 条件)： 定理 则在 的连续点处有 在 的间断处，上式左端为 (A) 其中 (1) 称 (A) 式为 Fourier 级数的三角形式。 定义 2.

3、Dirichlet 定理 定理 二、Fourier 级数的三角形式 (2) 称 和 为 Euler - Fourier 系数。 (利用正交性) 3. Fourier 级数的物理含义 改写 二、Fourier 级数的三角形式 令 则 (A) 式变为 O(A) 3. Fourier 级数的物理含义 二、Fourier 级数的三角形式 这些简谐波的频率分别为一个基频 的倍数。 这是连续周期信号的一个非常重要的特点。 连续周期信号可以分解为一系列固定频率的简谐波之和 , 表明 的频率成份，其频率是以基频 为间隔离散取值的。 认为 “ 一个周期为 的连续周期信号 并不包含所有 意义 ” 3. Fouri

4、er 级数的物理含义二、Fourier 级数的三角形式 这两个指标完全定量地刻画了信号的频率特性。 反映了频率为 的简谐波在信号 中振幅 所占有的份额；相位 反映了在信号 中频率为 的简谐波沿时间轴移动的大小。三、Fourier 级数的指数形式 代入 (A) 式并整理得 由 Euler 公式有 推导 (A) 已知 1. 公式推导 三、Fourier 级数的指数形式 1. 公式推导 则有 令 其中 (B) 称 (B) 式为 Fourier 级数的指数形式。 定义 推导 (1) 分解式具有惟一性。 说明 (3) 在不考虑具体的物理意义(即纯粹进行数学变换) 的时候，分解式与系数中指数的正负号可互换

5、。 三、Fourier 级数的指数形式 2. 几点说明 (2) 计算系数 时, 其中的积分可以在任意一个长度 为 的区间上进行。 (4) 采用周期延拓技术，可以将结论应用到仅仅定义 在某个有限区间上的信号。 四、连续周期信号的离散频谱 1. 离散频谱 得 O分析 由 即 的模与辐角正好是振幅和相位。 (2) 称 为(离散)频谱。 (1) 称 为振幅谱， 称 为相位谱； 定义 四、连续周期信号的离散频谱 2. 离散频谱图 将振幅 、相位 与频率 的关系画成图形。 OO四、连续周期信号的离散频谱 小结 频率成份，其频率是以基频 为间隔离散取值的。 (1) 一个周期为 的连续周期信号 并不包含所有的

6、 占有的份额，因此通常记为 (2) 系数 反映了频率为 的简谐波在信号 中所 Fourier 第 一 对 傅 氏 变 换 周期 连续 离散 非周期 (1) 当 n = 0 时， 在 上 设信号 以 为周期， 求它的例 离散频谱及其 Fourier 级数的 指数形式 O解 首先求基频 (2) 当 时， 解 在 上 设信号 以 为周期， 求它的例 离散频谱及其 Fourier 级数的 指数形式 O解 (3) 的 Fourier 级数为 (4) 振幅谱为 相位谱为 在 上 设信号 以 为周期， 求它的例 离散频谱及其 Fourier 级数的 指数形式 O解 (5) 频谱图如下图所示。 2- 44-

7、2O 2- 44- 2O 在 上 设信号 以 为周期， 求它的例 离散频谱及其 Fourier 级数的 指数形式 O五、有限区间上连续信号的Fourier级数 仅仅定义在有限区间 上的信号 对象 周期延拓， (1) 将信号 进行周期延拓，得到一个基本周期为 分析 的周期信号 ， 即 五、有限区间上连续信号的Fourier级数 分析 (2) 对信号 进行 Fourier 级数展开， 仅仅定义在有限区间 上的信号 对象 即得 五、有限区间上连续信号的Fourier级数 定义在区间长度为 的有限区间上的连续信号，其频谱 结论 也是以基频 为间隔离散取值的。 Fourier第 二 对 傅 氏 变 换有

8、限 连续 离散 非周期 仅仅定义在有限区间 上的信号 对象 休息一下历史回顾 Fourier级数 附： 1807 年 12 月 12 日，在法国科学院举行的一次会议上，Fourier 宣读了他的一篇关于热传导的论文，宣称：在有限区间上由任意图形定义的任何函数都可以表示为单纯的正弦与余弦函数之和。经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德三人(号称 3L)审阅后，认为其推导极不严密，被拒(锯)收。 1811 年，Fourier 将修改好的论文：提交给法国科学院。关于热传导问题的研究其新颖、实用，从而于 1812 年获得法国科学院颁发的大奖，但仍以其不严密性被论文汇编拒(锯)收。经过评审小组( 3L )审阅后，

9、认为历史回顾 Fourier级数 附： 1822 年，Fourier 经过十年的努力，终于出版了专著：热的解析理论这部经典著作将欧拉、伯努利等人在一些特殊情形下使用的三角级数方法，发展成内容丰富的一般理论，特别是在工程应用方面显示出巨大的价值。历史回顾 Fourier级数 附： 1829 年，德国数学家 Dirichlet 终于对一类条件较“宽”的函数给出了严格的证明。时年 24 岁。 1830年 5 月 16 日，Fourier 在巴黎去世。启示：(1) 有价值的东西一定是真的；真的东西一定是美的。(2) 坚持不懈的努力就一定会有收获。历史回顾 Fourier级数 附： 解析数论的创始人之一

10、。 对数论、数学分析和数学物理有突出贡献。 对德国数学发展产生巨大影响。德国数学家(18051859)狄利克雷Dirichlet，Peter Gustav Lejeune人物介绍 狄利克雷附： 1859年5月5日卒于格丁根。 1839年任柏林大学教授。 1855年接任 C. F. 高斯在哥廷根大学的教授职位。 1805年2月13日生于迪伦。 18221826年在巴黎求学。中学时曾受教于物理学家 G. S. 欧姆。回国后先后在布雷斯劳大学和柏林军事学院任教。人物介绍 狄利克雷附：附：人物介绍 傅立叶 傅立叶级数、傅立叶分析等理论的始创人。 1822年出版经典著作热的解析理论。“深入研究自然是数学发现最丰富的源泉。” J. Fourier法国数学家、物理学家(17681830)傅立叶Fourier，Jean Baptiste Joseph 1801年回国后被任命为格伦诺布尔省省长