对数第一课时

1、 1 尺 第 3 次，截取一半，还余 尺12( )3尺第 1 次，截取一半，还余 12第 2 次，截取一半，还余 尺12( )2第 4 次，截取一半，还余 尺12( )4第 x 次，截取一半，还余 尺12( )x?问题1庄子曰：一尺之棰，日取其半，万世不竭1取 5 次，还有多长？引入由1易知( )21x= 0.125.问题 1 庄子曰：一尺之棰，日取其半，万世不竭 2取多少次，还有 0.125 尺 ？ 引入细胞分裂问题一个细胞经过几次分裂后细胞的个数为 4 096 个 ？第 1 次221第 2 次422第 x 次2 x第 3 次823那么有 2x 4 096 问题 2 引入一般地，a b N

2、( a0 且 a 1 ) ，称幂指数 b 是以 a 为底 N 的对数记作 b log a N ( a0 且 a 1 )其中， a 叫做对数的底数，N 叫做真数注意 (1) 底数的限制: a0 且 a 1 ； (2) 对数的书写格式； (3) 对数的真数大于零一、对数的概念 新授二、对数式与指数式的互化a b N log a N b例如4216 log 4 16 2；32 9 log 3 9 2；102 0.01 log 10 0.01 2. 新授练习11将以下指数式写成对数式：12 2 4 ； 26 2 36；37.6 0 1 ；43 4 812. 将以下对数式写成指数式：1log 3 9 2

3、； 2log 4 16 2； 3log 5 125 3； 4log 7 49 2.练习12 1 2； 2a 1 a ； 36 0 1； 4a 0 1将以下指数式写成对数式其中 a 0 且 a 1 ：练习2新授三、对数的性质11 的对数等于零，即 log a 1 0；2底数的对数等于 1，即 log a a 1 ；30 和负数没有对数 新授解：1因为 2 1 2 ，所以 log 2 2 1； 2因为 2 0 1 ，所以 log 2 1 0 ； 3因为 2 4 16 ，所以 log 2 16 4 ； 例 1 求： log 2 2 ，log 2 1 ，log 2 16， log12 2 1 log1

4、2212（4）因为 2 -1 ，所以例题四、常用对数 例如 把 log 10 a 0.699 记作lg a 0.699 底是 10 的对数叫做常用对数为了简便， 把 log 10 N 记作 lg N 新授例 2 求： lg 10，lg 100 ，lg 0.01 解：1因为 10 110，所以 lg 10 1； 2因为 10 2100 ，所以 lg 100 2； 3因为 10 2，所以 lg 0.01 2 例题例 3 利用计算器求对数精确到 0.000 1 ： lg 2 001 ； lg 0.618 ； lg 0.004 ； lg 396.5 例题求以下各式的值：1lg 1 lg 10 lg 1

5、002lg0.1 lg 0.01 lg练习3练习2. 指数式与对数式的关系：1. 对数的概念.3. 常用对数 lg N. 底数底数指数对数真数幂归纳小结一般地，如果ax=N(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm)，记作： 其中a叫做对数的底数，N叫做真数。 ax=N logaN 式子 名 称 指数式 对数式 指数 真数 =N =b a b N logaN 对数式与指数式的比照:ax 底数 对数 幂值 底数 用连线表示下列两式中字母的对应关系：ab=N logaN=b 式子 取值范围 指数式 对数式 =N =b a b N bR logaN 为什么在对数中要规定a0，

6、且a1？ax a0，且 a1 N0 a0，且 a1 bR N0 通常我们将以10为底的对数叫做常用对数(common logarithm)，并把log10N记为: 在科学技术中常使用以无理数为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数(natural logarithm)，并且把logeN记为: lgN lnN 讨论：你能用对数表示2x=-3和2x=0吗？为什么？ (1) 负数和零没有对数；在中，必须logaN0，这是由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而ax=N中N总是正数。(2) 对任意的a0且a1，都有a0=1。 所以loga1=0(3) 对任意的a0且a1，都有a1=a。 所以lo

7、gaa=1 将以下指数式化为对数式 (1)54 = 625 (2)2-6 = 12m (3)164 = 5.73 log5625 = 4 log5 = -6 164 log 5.73 = m 12将以下对数式化为指数式10-2 = 0.01 (1)(2)lg0.01 = -2 (3)ln10 = 2.303 log 16 = -4 1212-4 = 16 e2.303 = 10 求以下各式中的x值(1)log648 = 23-(2)logx8 = 6 (3)lg100 = x (4)-lne2 = x 解：(1)因为log648 = 23-所以64 23-= (43)23-= 4-2116 =

8、(2)因为logx8 = 6, 所以x6 = 8，又x0 x = 8 16= (23)16= 212=2求以下各式中的x值(1)log648 = 23-(2)logx8 = 6 (3)lg100 = x (4)-lne2 = x 解：(3)因为lg100 = x，所以10 x = 100 10 x = 102， 于是x = 2 (4)因为-lne2 = x, 所以lne2 = -x，e2 = e-x， 于是x = -2 将以下指数式写成对数式(1) 23 = 8 (2)27 =13-13(3)10 x = 25解：(1)3 = log28 (3)x = log1025(2) = log27 1

9、313-指数式化为对数式：幂的底数变为对数函数的底数，指数变对数，幂值变真数。 将以下对数式写成指数式解：(1)5x = 2713(2)7x =(3)10 x (4)ex =3(1)x = log527 (2)x = log7 (3)x = lg0.3 (4)x = ln 313将以下指数式写成对数式解：(1)设x = log225， (1)log525 (3)ln(2)log2 116 e(4)lg0.001 (5)log1515 (6)log0.41 那么5x = 25 = 52所以x = 2 (2)设x = log2 116 ,则2x = 116 = 2-4所以x = -4 (3)设x

10、= ln e,则ex = e= e12所以x = 12将以下指数式写成对数式解：那么10 x = 0.001 = 10-3所以x = -3 (5)设x = log1515, 那么x = 1 (6)设x = log1, 那么x = 0(4)设，(1)log525 (3)ln(2)log2 116 e(4)lg0.001 (5)log1515 (6)log0.41 假设ax=N(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm)，记当x=logaN，当a=10时称作常用对数，而a=e时，那么称自然对数。 16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域(特别是天文学)的开展上经常遇

11、到大量精密而又庞大的数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而创造了对数。 1624年，英国的布里格斯创造了常用对数。 1619年，伦敦斯彼得所著的?新对数?使对 对数与自然对数更接近以e=2.71828.为 底。 对数的创造为当时社会的开展起了重要的影 响：伽利略说：给我时间，空间和对数，我 可以创造出一个宇宙。 数学家拉普拉斯说：对数用缩短计算的时间 来使天文学家的寿命加倍 。 课后作业必做题： 教材P108，练习 B 组第 1 题 ；选做题： 教材P108，练习 B 组第3 题 引入思考1. 假设24=M,那么M=( ) 假设2-2=N,那么N=( )思考2. 假设 2X=16,那么

12、 X= ( ) 假设 2X=1/4,那么 X= ( ) 假设 4X=8,那么 X=( ) 假设2X=3,那么X=( )164-248 23新授内容定义 一般地，如果a(a0,a1)的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b就叫做以a为底N的对数，记作 aN=b 其中a叫做底数，N叫做真数，式子aN叫做对数式。ab=N aN=b (a0,a1；N0；bR)就是说指数真数幂底数对数常用对数底数为10的对数叫做常用对数，常用对数10N简记作lgN. 例如 105简记作lg5 10简记作 不要忘记底数是10哦！对数恒等式我们知道，与指数式ab=N相对应的对数式为aN=b，如果把ab=N中b的写成ab，就有

13、 a logaN=N(a0,a1,N0) 这个式子叫做对数恒等式。 如 由24=16 ， 4=216 知 ： 2log216 =16 同理得：3log38=8 例题讲解：例1.把以下指数式写成对数式。 42=16 10-2 解： 416=2 100.01=lg0.01=-2例2.把以下对数式写成指数式。 21/16=-4 1=0 解： 2-4=1/16 0=1 总结：指对数互化的关键是抓住对数式 与指数式的关系，弄清楚各个量 在对应式子中扮演的角色。 例 3.当底是3时，求27的对数。 解法 ：设所求对数为x，那么 x=327 即3x=27 3x=33 x=3 解法：327=333=3总结：在解决对数式求值问题时，