2022年五级奥数.行程.环形跑道.教师版

1、环形跑道知识框架本讲中的行程问题是特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。一、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：路程和 =相遇时间 速度和路程差 =追及时间 速度差二、解环形跑道问题的一般方法：环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。环线型同向：路程差同一出发点直径两端nS nS+0.5 S 相对 ( 反向 ) ：路程和nS nS-0.5 S 例题

2、精讲【例 1 】一个圆形操场跑道的周长是 500 米，两个学生同时同地背向而行黄莺每分钟走 66 米，麻雀每分钟走 59 米经过几分钟才能相遇 ? 【考点】行程问题之环形跑道【难度】【题型】解答【解析】 黄莺和麻雀每分钟共行 66 59 125（千米），那么周长跑道里有几个 125米，就需要几分钟，即500 (66 59) 500 125 4 （分钟）MSDC 模块化分级讲义体系 五年级奥数 .行程 .环形跑道（ A 级） .教师版 Page 1 of 11【答案】 4分钟【巩固】 周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走55 米，周老师每分钟走65 米。已知林荫道周长是480

3、米，他们从同一地点同时背向而行。在他们第10 次相遇后，王老师再走米就回到出发点。【考点】行程问题之环形跑道【难度】【题型】填空【解析】 几分钟相遇一次：480 （55 65 ）=4 （分钟）10 次相遇共用： 4 10=40 （分钟）王老师 40 分钟行了： 55 40=2200（米）2200 480=4 （圈） 280 （米）所以正好走了4 圈还多 280 米， 480 280=200（米）答：再走 200 米回到出发点。【答案】 200 米【例 2 】上海小学有一长300 米长的环形跑道，小亚和小胖同时从起跑线起跑，小亚每秒钟跑6 米，小胖每秒钟跑 4米， (1)小亚第一次追上小胖时两人

4、各跑了多少米？(2) 小亚第二次追上小胖两人各跑了多少圈？【考点】行程问题之环形跑道【难度】【题型】解答【解析】 第一次追上时，小亚多跑了一圈，所以需要 300 (6 4) 150 秒，小亚跑了 6 150 900 （米）。小胖跑了 4 150 600（米）；第一次追上时， 小胖跑了 2 圈，小亚跑了 3圈，所以第二次追上时，小胖跑 4圈，小亚跑 6 圈。【答案】小胖跑4 圈，小亚跑 6 圈500 米的环形跑道上跑步小王的速度是200 米/ 分小张【巩固】 小张和小王各以一定速度，在周长为和小王同时从同一地点出发，反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/ 分？小张和小王同时从同一

5、点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？【考点】行程问题之环形跑道【难度】1200【题型】解答【解析】 两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程小张的速度是500300 （米 / 分）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间MSDC 模块化分级讲义体系五年级奥数 .行程 .环形跑道（ A 级） .教师版Page 2 of 11是： 500(300200)5 （分） 30055003（圈）210 米，一圈跑道长800 米，【答案】 300 米/ 分 3圈250 米，正南每分钟跑【例 3 】小新和正南在操场上比赛跑步，小新每分钟跑他们同时从

6、起跑点出发，那么小新第三次超过正南需要多少分钟？【考点】行程问题之环形跑道【难度】【题型】解答【解析】 小新第一次超过正南是比正南多跑了一圈，根据 S 差 v t 差，可知小新第一次超过正南需要：800（250 210）20 (分钟 )，第三次超过正南是比正南多跑了三圈，需要 800 3（250 210）60(分钟 )【答案】 60 分钟【巩固】 幸福村小学有一条200 米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6 米，晶晶每秒钟跑4 米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第2 次追上晶晶时两人各跑了多少圈？【考点】行程问题之环形跑道【难度】【题型】解答【解析】 这是一道封

7、闭路线上的追及问题，冬冬与晶晶两人同时同地起跑，方向一致因此，当冬冬第一次追上晶晶时，他比晶晶多跑的路程恰是环形跑道的一个周长(200 米)，又知道了冬冬和晶晶的速度，于是，根据追及问题的基本关系就可求出追及时间以及他们各自所走的路程冬冬第一次追上晶晶所需要的时间：200（6 4）100 (秒 ) 冬冬第一次追上晶晶时他所跑的路程应为：6 100 600 (米) 晶晶第一次被追上时所跑的路程：4 100 400 (米) 冬冬第二次追上晶晶时所跑的圈数：（600 2）200 6 (圈 ) 晶晶第 2 次被追上时所跑的圈数：（400 2）200 4 (圈 ) 【答案】 4圈【例 4 】两名运动员在

8、湖的周围环形道上练习长跑甲每分钟跑250 米，乙每分钟跑200 米，两人同时同地同向出发，经过 45 分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？MSDC 模块化分级讲义体系 五年级奥数 .行程 .环形跑道（ A 级） .教师版 Page 3 of 11【考点】行程问题之环形跑道【难度】【题型】解答【解析】 在封闭的环形道上同向运动属追及问题，反向运动属相遇问题同地出发，其实追及路程或相隔距离就是环形道一周的长这道题的解题关键就是先求出环形道一周的长度环形道一周的长度可根据两人同向出发，45 分钟后甲追上乙， 由追及问题， 两人速度差为： 250 200 50 (米/ 分)，

9、所以路程差为：50 45 2250 (米 )，即环形道一圈的长度为 2250 米所以反向出发的相遇时间为： 2250（250 200）5 (分钟 )【答案】 5 分钟【巩固】 两人在环形跑道上跑步，两人从同一地点出发，小明每秒跑3 米，小雅每秒跑4 米，反向而行，45 秒后两人相遇。如果同向而行，几秒后两人再次相遇【考点】行程问题之环形跑道【难度】315 （4-3 ）=315【题型】解答【解析】 （4+3 ） 45=315米环形跑道的长（相遇问题求解）秒（追及问题求解）【答案】 315 秒【例 5 】在 300 米的环形跑道上，田奇和王强同学同时同地起跑，如果同向而跑 2 分 30 秒相遇，如

10、果背向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？【考点】行程问题之环形跑道【难度】【题型】解答【解析】 同向而跑，这实质是快追慢起跑后，由于两人速度的差异，造成两人路程上的差异，随着时间的增长，两人间的距离不断拉大，到两人相距环形跑道的半圈时，相距最大接着，两人的距离又逐渐缩小，直到快的追上慢的，此时快的比慢的多跑了一圈背向而跑即所谓的相遇问题，数量关系为：路程和 速度和 相遇时间同向而行 2 分 30 秒相遇， 2 分 30 秒 150 秒，两个人的速度和为：300 150=2 （米 / 秒），背向而跑则半分钟即 30 秒相遇，所以两个人的速度差为：300 30=10 （米 / 秒） .两人的

11、速度分别为：（10 2）2 4 (米/ 秒)， 10 4 6 (米/ 秒 ) 【答案】 6 米/ 秒【巩固】 在 400 米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行 3 分 20 秒相遇，如果背向而行 40 秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度各是多少？MSDC 模块化分级讲义体系五年级奥数 .行程 .环形跑道（ A 级） .教师版Page 4 of 11【考点】行程问题之环形跑道【难度】200【题型】解答【解析】 甲乙的速度和为：4004010 (米/ 秒)，甲乙的速度差为：4002 (米/ 秒)，甲的速度为：（102）26(米 / 秒)，乙的速度为：（102）24(米/ 秒)【答

12、案】 4米/ 秒【例 6 】周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走 55 米，周老师每分钟走 65 米。已知林荫道周长是 480 米，他们从同一地点同时背向而行。在他们第 10 次相遇后，王老师再走 米就回到出发点。【考点】行程问题之环形跑道【难度】【题型】解答【解析】 两人每共走 1 圈相遇 1 次，用时 480 (55+60)=4( 分 )，到第 10 次相遇共用 40 分钟，王老师共走了。 55 40=2200（米），要走到出发点还需走，480 5-2200=200（米）【答案】 200 米【巩固】 在周长为 200 米的圆形跑道条直径的两端，甲、乙两人分别以 6 米/

13、秒， 5 米/ 秒的骑车速度同时同向出发，沿跑道行驶。问：16 分钟内，甲追上乙多少次? 【题型】解答【考点】行程问题之环形跑道【难度】【解析】 甲、乙二人第一次相遇时，一共走过的路程是200100( 米)所需要的时间是100 11(秒)以后，2两人每隔200 2(秒)相遇一次因为1601610053.3 ，112001116 分钟内二人相遇 53 次 . 【答案】 53 次【例 7 】甲、乙二人在操场的400 米跑道上练习竞走，两人同时出发，出发时甲在乙后面，出发后6 分甲第一次超过乙， 22 分时甲第二次超过乙。假设两人的速度保持不变，问：出发时甲在乙后面多少米？【考点】行程问题之环形跑道

14、【难度】【题型】解答【解析】 150 米。提示：甲超过乙一圈（【答案】 16 分400 米）需 22 616 （分）。MSDC 模块化分级讲义体系五年级奥数 .行程 .环形跑道（ A 级） .教师版Page 5 of 11【巩固】 在 400 米的环行跑道上，A，B 两点相距 100 米。甲、乙两人分别从 A ，B 两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 4 米，每人每跑 100 米，都要停 10 秒钟。那么甲追上乙需要时间是多少秒？【考点】行程问题之环形跑道【难度】【题型】解答【解析】 甲实际跑 100/（5-4 ）=100（秒）时追上乙，甲跑 100/5=20 （秒）

15、，休息 10 秒； 乙跑 100/4=25（秒），休息 10 秒，甲实际跑 100 秒时， 已经休息 4 次，刚跑完第 5 次，共用 140 秒； 这时乙实际跑了 100 秒，第 4 次休息结束。正好追上。【答案】 140 秒【例 8 】有甲、乙、丙3 人, 甲每分钟行走120 米, 乙每分钟行走100 米, 丙每分钟行走70 米. 如果 3 个人同时同向 , 从同地出发 , 沿周长是 300 米的圆形跑道行走, 那么多少分钟之后,3 人又可以相聚在跑道上同一处 ? 【考点】行程问题之环形跑道【难度】【题型】解答【解析】 由题意知道：甲走完一周需要时间为 300 120= 5（分）；乙走完一周

16、需要时间为 300 100=32（分）丙走完一周需要时间为 300 700= 30，那么三个人想再次相聚在跑道同一处需要时间为：75 30 5,30,3 30, ,3 30 分2 7 2,7,1 1【答案】 30 分【巩固】 如下图所示的三条圆形跑道，每条跑道的长都是0.5 千米， A、B、C 三位运动员同时从交点O出发，分别沿三条跑道跑步，他们的速度分别是每小时4 千米，每小时 8 千米，每小时 6 千米。问：从出发到三人第一次相遇，他们共跑了多少千米？CMSDC 模块化分级讲义体系BAPage 6 of 11O五年级奥数 .行程 .环形跑道（ A 级） .教师版【考点】行程问题之环形跑道【

17、解析】 三个运动员走完一圈的时间分别为【难度】【题型】解答1118 小时、16 小时、12 小时，他们三人相遇地点只能是O 点，所以三人相遇时间是1小时、1小时、1小时的公倍数，即1小时，分别跑了2 圈、 4 圈、 3816124圈，共计 4.5 千米。【答案】 4.5 千米【例 9 】林琳在 450 米长的环形跑道上跑一圈，已知她前一半时间每秒跑5 米，后一半时间每秒跑4 米，那么她的后一半路程跑了多少秒？【考点】行程问题之环形跑道【难度】X/2 【题型】解答【解析】 设总时间为 X，则前一半的时间为X/2 ，后一半时间同样为X/2*5+X/2*4=450 X=100 总共跑了 100 秒前

18、 50 秒每秒跑 5 米，跑了 250 米后 50 秒每秒跑 4 米，跑了 200 米后一半的路程为 450 2=225 米后一半的路程用的时间为（250-225 ） 5+50=55 秒【答案】 55 秒【巩固】 某人在 360 米的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑5 米，后一半时间每秒跑4 米，则他后一半路程跑了多少秒？【考点】行程问题之环形跑道【难度】【题型】解答【解析】 44 【答案】 44 【例 10 】甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当MSDC 模块化分级讲义体系五年级奥数 .行程 .环形跑道（ A 级） .教师版Page 7

19、 of 11乙走了 100 米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前 周长？60 米处又第二次相遇。求此圆形场地的【考点】行程问题之环形跑道【难度】【题型】解答【解析】 注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完 1 圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙2共走完 1+ 13 圈的路程所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为 1：3，因而第二次相2 2遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的 3 倍，即 100 3=300 米有甲、 乙第二次相遇时，共行走 (1 圈 60)+300 ，为3 圈，所以此圆形场地的周长为 480 米2【答案】 480 米【巩固】 如图，A、B 是圆的直径的两

20、端，小张在A 点，小王在 B 点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇， C离 A 点 80 米；在 D点第二次相遇，D点离 B 点 6O米. 求这个圆的周长 . 【考点】行程问题之环形跑道【难度】【题型】解答【解析】 第一次相遇， 两人合起来走了半个周长；第二次相遇， 两个人合起来又走了一圈从出发开始算，两个人合起来走了一周半因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3 倍，那么从 A 到 D 的距离， 应该是从 A 到 C 距离的 3 倍，即 A 到 D 是 803n240(米) 24060180 (米 ) 1802360 (米)【答案】 360 米课堂检测【随

21、练 1】小明和小刚清晨来到学校操场练习跑步，学校操场是400 米的环形跑道，小刚对小明说：“ 咱MSDC 模块化分级讲义体系五年级奥数 .行程 .环形跑道（ A 级） .教师版Page 8 of 11们比比看谁跑的快” ，于是两人同时同向起跑，结果10 分钟后小明第一次从背后追上小刚，同学们一定知道谁跑得快了，小明的速度是每分钟跑140 米，那么如果小明第3 次从背后追上小刚时，小刚一共跑了米【题型】填空【考点】行程问题之环形跑道【难度】【解析】 140 104001000 米， 100033000 米。【答案】 3000 米【随练 2】在环形跑道上，两人在一处背靠背站好，然后开始跑，每隔4

22、分钟相遇一次；如果两人从同处同向同时跑，每隔20 分钟相遇一次，已知环形跑道的长度是1600 米，那么两人的速度分别是多少？【考点】行程问题之环形跑道【难度】【题型】解答【解析】 两人反向沿环形跑道跑步时，每隔 4 分钟相遇一次，即两人 4 分钟共跑完一圈；当两人同向跑步时，每 20 分钟相遇一次，即其中的一人比另一人多跑一圈需要 20 分钟两人速度和为：1600 4 400 ( 米 / 分 ) ， 两 人 速 度 差 为 ： 1600 20 80 ( 米 / 分 ) ， 所 以 两 人 速 度 分 别 为 ：（400 80）2 240 (米/ 分 )， 400 240 160 (米/ 分)

23、【答案】 160 米/分【随练 3】甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行 . 现在已知甲走一圈的时间是 70分钟，如果在出发后 45 分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟 ? 【考点】行程问题之环形跑道【难度】【题型】解答【解析】 甲行走 45 分钟，再行走 70 45=25 分钟即可走完一圈 .而甲行走 45 分钟，乙行走 45 分钟也能走完一圈 .所以甲行走 25 分钟的路程相当于乙行走 45 分钟的路程 甲行走一圈需 70 分钟， 所以乙需 70 25 45=126 分钟即乙走一圈的时间是 126 分钟【答案】 126 分钟【随练 4】A、B 是圆的直径的

24、两端，甲在A 点，乙在B 点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇已知C离 A 有 75 米， D离 B有 55 米，求这个圆的周长是多少米？【考点】行程问题之环形跑道【难度】【题型】解答【解析】 340 【答案】 340 MSDC 模块化分级讲义体系五年级奥数 .行程 .环形跑道（ A 级） .教师版Page 9 of 11家庭作业【作业 1】一条环形跑道长400 米，甲骑自行车每分钟骑450 米，乙跑步每分钟250 米，两人同时从同地同向出发，经过多少分钟两人相遇？【考点】行程问题之环形跑道2(分钟 )【难度】【题型】解答【解析】 400（450250）【答案】 2分钟【作业 2】如图 1，有一条长方形跑道，甲从 A 点出发，乙从 C点同时出发，都按顺时针方向奔跑，甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 4.5 米。当甲第一次追上乙时，甲跑了 圈。【考点】行程问题之环形跑道【难度】【题型】填空【解析】 (10+6) (5-4.5)=32秒，甲跑了5 32 32=5圈【答案】 5 圈【作业 3】一条环形跑道长400 米，小青每分钟跑260 米，小兰每分钟跑210 米，两人同时出发，经过多少分钟两人相遇【考点】行程问题之环形跑道【难度