大学物理课件动量与角动量

1、第三章 动量(dngling)与角动量(dngling) 3.1 冲量(chngling)与动量定理3.2 质点系的动量3.3 动量守恒定理3.4 火箭飞行原理（介绍）3.6 质心运动定理（介绍）3.8 角动量守恒定律3.7 质点的角动量3.5 质心（介绍）共七十五页车辆超载容易(rngy)引发交通事故车辆(chling)超速容易引发交通事故3-1 动量共七十五页运动质点的质量与速度(sd)的乘积.单位(dnwi)：kgms-1由n个质点所构成的质点系的动量： 一、动量 瞬时性（状态量）、相对性（与参照系有关）、矢量性（与速度方向一致）结论： 物体的运动状态不仅取决于速度，而且与物体的质量有关

2、。共七十五页 1. 常力的冲量(chngling)=FtI 2. 变力的冲量(chngling)=Ftii+FFFttt12n12n=IFtiiFtnnFt22Ft11I注意：冲量 FI的方向不同!的方向和瞬时力 二、冲量 共七十五页当力连续(linx)变化时tF0 xtFx冲量的几何意义：冲量图线与坐标轴所围的面积。在数值上等于xIIF=dttt12xxIF=dttt12yyIF=dttt12tt12+共七十五页平均(pngjn)冲力 ：用平均冲力表示(biosh)的动量定理为：tt()21Fx=mvmv12xx=mvmv12yytt()21FyFxttt12F0 xtt()21FxxFdt

3、tt12=(中学知识）共七十五页Fmmvdtd=dvdt()此式为动量定理(dn lin dn l)的微分形式。两边积分后得到动量定理(dn lin dn l)的积分形式： 三、动量定理(dn lin dn l)F=dtdmv()=dPmvmv12=PP2-1=PP2x-1x-=PP2y1yF=dtdmv()vvtt1212=txFdtt12=mvmv12xxyFdttt12=mvmv12yy共七十五页例：逆风行舟龙骨Vvv mvupfpi pf|ff好船家(chunji)会使八面风共七十五页解：对碰撞过程应用(yngyng)动量定理 例1 质量为一吨的蒸汽锤自1.5m高的地方落下，且不反弹。

4、它与工件(gngjin)的碰撞时间=0.01s,求：打击的平均冲力。=61.66101+1 1030()N=02ghvh0mmv工件Nmgm=2ghNmgm+)(0m0v=Nmg)(共七十五页解：1. m为对象(duxing)2.分析受力。3.初末态例2、m=1kg静止在水平桌面上，现受一力F=1.12t作用， 求t=3s时物体的速度。 m先求开始(kish)运动时刻3秒时物是否被拉起？所以3秒时物未被拉起。共七十五页Nx=0NNNxymg= 2.0 + 0.02 ( N )Nmgcosty=+2mvamv()cosay=Nmgt()mvcosavvYXaamvmvsinsinaa=Ntx 略

5、 例3 一小球与地面碰撞 3-1m=210kgvv=600,=5.0ms.碰撞时求:平均冲力。0.05st=a间共七十五页，FFF123外力，FFF，122113.内力应用(yngyng)动量定理的微分形式：)+vv331122mmv+)(d=FFFmtd3+21(m )iiv=F(dtdiFF22FFF32332313FFFF13112121F1 22对1的作用)=11mvF1)(ddtF12+F1332=33)mvF3()(dtdF+F31+222=2321v)mF)(dtdF+F+3.2 质点系的动量(dngling)共七十五页m v=Fiiid()dt此式的意义(yy)是：作用在系统上

6、外力的矢量和等于系统的总动量随时间的变化率。称为质点系的动量定理。m )iiv=F(dtdi共七十五页例1：煤车以 v =3m/s从煤斗下通过(tnggu)，每秒落入车厢煤 m=5000kg ，若使车速不变，牵引力F为多大？F解：设煤车质量(zhling)为M，t 时刻落入煤车内煤的质量为 m(t)问题：若 V(t)常如何求 F ？共七十五页3.3 动量(dngling)守恒定律质点系所受合外力(wil)为零，总动量不随Fi= 0时间改变，即1. 合外力为零，或外力与内力相比小很多； 2. 合外力沿某一方向为零； 3. 只适用于惯性系； 4. 比牛顿定律更普遍的最基本的定律。 共七十五页解：水

7、平方向系统不受力，该方向动量(dngling)守恒。XY例1：光滑轨道上有一长为 L，质量为 M的板车，车上有一质量为 m的人，若人从车的一端走到另一端，则人和车对地各走多远 ？122共七十五页解：mhMmgTm=02ghv问题：由Mm、统动量是否守恒？所组成的系M=0vTMt()g=Tmt()gmvmv()0MMMmmmtmv+=g0vMMgTvv0v 例2 已知 M，m，ht。求：绳子拉紧后，M 与 m 的共同速度。子与m ,M 之间的相互作用时间为绳子拉紧瞬间绳共七十五页 例3炮车以仰角 q 发射一炮弹，炮车和炮弹的质量分别为M和m，炮弹的出口速度的大小为v，不计炮车与地面之间的摩擦(m

8、c)。 试求：炮车的反冲速度V及炮弹出口后其速度与水平面的夹角。qv解：设车相对地面(dmin)的反冲速度为V，方向水平向左炮弹相对地面的速度水平分量为水平方向动量守恒炮弹相对地面的速度竖直分量为Va共七十五页3.4 火箭(hujin)飞行原理（略）3.5 质心 (物体的质量中心 center of mass)N个粒子系统，可定义质量(zhling)中心同理对 y 和 z 分量rcrixyzmio共七十五页对连续分布的物质(wzh)，可以将其分为N个小质元质心(zh xn)坐标:例1：任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。xyo（x1，y1）x2共七十五页例2：半径为 R的均匀半圆形铁丝(t

9、i s)的质心ddL=RdRyxy=2Rp解：取质量元共七十五页3.6 质心(zh xn)运动定理rizxyrcrixyzmiO将此式求导:即质点系的总动量(dngling)等于它的总质量与它的质心的运动速度的乘积左式表明:一个质点系的质心的运动,就如同这样一个质点的运动了,该质点质量等于整个质点系的质量集中在质心,而此质点所受的力是质点系所受的所有外力之和 . 质心运动定理共七十五页3.7 质点(zhdin)的角动量角动量方向：右手螺旋(luxun)法则确定（见下图）一、角动量（描述质点定点转动状态）avrm定义：角动量大小 aod特点：瞬时性、矢量性、相对性。单位:共七十五页三、角动量定理

10、(dngl)ao(力矩(l j)角动量定理：二、力对质点的力矩提问:力矩为0的情况?定义:单位:矢量性:力矩力动量矩动量作用在质点上的合力矩等于质点角动量对时间的变化率.共七十五页3.8 角动量守恒定律当由上式可知质点在合外力矩为0或有心力作用下角动量守恒 m 例如：开普勒第二定律行星对太阳的矢径在相等时间(shjin)内扫过相同的面积共七十五页mv1r1mv2r2=2.931041.5210111.4710113.03104 mv2=1.9310-7 1/s1v1r12.931041.521011=2.0610-7 1/s=2v2r2=3.031041.471011解：由角动量守恒(shu

11、hn)v1r1v2r2=例1 当地球处于远日点时，到太阳的距离为1.521011m，轨道速度(sd)为2.93104m/s，半年后，地球处于近日点，到太阳的距离为1.471011m。求： （1）地球在近日点时的轨道速度； （2）两种情况下，地球的角速度。 共七十五页例2 在光滑的水平铁轨上,一辆质量为 的无动力检修车正以 的速度前进,车上站立一质量为 50 的人,此人向着与一铁轨成 角的侧前方以相对于车的速度 跳下,求跳下车后,检修车的速度和跳车过程中铁轨受到的侧向冲量.解画示意图:设检修(jinxi)车的速度,方向人对地的速度(sd)在y轴上动量守恒解之,得铁轨对人和车的冲量铁轨受到的冲量u

12、共七十五页aM例3：各面间光滑(gung hu)，求am和四个未知数四个方程式联立可解.解：设相对M的加速度为 方向如图又设M相对地的加速度为 方向如图则m相对地的加速度为 方向如图共七十五页 3-1 一小船质量为100kg，船头到船尾共长3.6m。现有一质量为50kg的人从船尾走到船头时，船头将移动多少距离？假定(jidng)水的阻力不计。 =MVmvtdVtdvMm=v0=tdst0=tdVsttdvMm0tMm=ssMm=ss+=lMm=s+ssms+=lMmms+=ssl=501003.650+=1.2m=0MVmv解：由动量守恒vVl共七十五页 3-2 如图，一浮吊，质量M =20t

13、，由岸上吊起m =2t的重物后，再将吊杆0A与竖直方向间的夹角由600转到300。设杆长l =OA =8m，水的阻力与杆重忽略(hl)不汁，求浮吊在水平方向移动的距离，并指明朝那边移动。共七十五页解：由动量(dngling)守恒=()u0MVmvMm+=Vmu=3060 xl20sin=0sin()2.93mt=x2ux1=Vt=Mm+mux2u=Mm+mx2=2.932202+=0.267mx2300600共七十五页 3-3 一炮弹，竖直向上发射，初速度为v0，在发射后经 t s在空中自动爆炸，假定分成质量相同的 A、B、C 三块碎片(su pin)。其中 A块的速度为零；B、C 二块的速度

14、大小相同，且B 块速度方向与水平成角，求B、C两碎块的速度（大小和方向）。ABCa共七十五页vvBvC=0aqcosmv=cosmv3sin=mvtyaqmvmvsin+aqcoscos=aq=v3vty2sina=gtv0vty=v32sina()gtv0解：设碎片(su pin)C与水平方向成角爆炸前后系统的动量(dngling)守恒，得：代入上式，得：解得：ABCaqxyvv共七十五页10mv212=11mv21212mv2122+=10v21v222v2()v2= 4.69107m/s2m1=m2解：(1)由机械能守恒： 3-4 质量为 7.2010-23 kg、速度(sd)为6.01

15、07m/s的粒子A，与另一个质量为其一半而静止的粒子B相碰，假定这碰撞是弹性碰憧，碰撞后粒子A的速率为5107m/s，求： （1）粒于B的速率及偏转角； （2）粒子A的偏转角）。共七十五页()acosmv10mv12111acosmv221=+2=a1cosa1sin12=a2cosa2sin1+10v44210v1v22v21v8=a1cos(2)系统动量(dngling)守恒sin()amv2111amv221=sin0mv11mv2210mv1a1a2yxo2=+av112av22coscos10v得：(1)av11sinv2sina2=(2)代入(1)(2)得：共七十五页21v2v=a

16、2sina1sin0.925=4(6.0107)2+4(5107)2-22101486.01075107=22020=a15404=a2=251074.691070.8094=+10v44210v1v22v21v8=a1cos共七十五页 3-6 地面上竖直(sh zh)安放着一个劲度系数为k 的弹簧，其顶端连接一静止的质量 M。有个质量为m 的物体，从距离顶端为A 处自由落下，与M 作完全非弹性碰撞。求证弹簧对地面的最大压为：Mmh共七十五页2ghv10=Mgk=x 0Mgk=x 0212221=+()Mmv0kx 0+()Mmgx 0221kx+()Mmgx解：选O点为零势能(shnng)点

17、v0=m+Mm2gh在完全非弹性碰撞后x 0设平衡位置时的位移为：ABMmox 0 x h 从平衡位置A 到最大位移(wiy)B 过程中机械能守恒，得：共七十五页m21+()Mm+()Mm222ghk21+kMg22+()MmMg2=221kx+()Mmgx2+()Mm2kx+()Mmgx+m22gh+k+m222ghm2gMk=0=k+()Mmkxmg+()Mmg2+gh1解得：弹簧(tnhung)对地面的最大正压力N 为：fmax=k+()Mmkxmg+()Mmg2+gh1N=共七十五页 3-7 一个球从h高处自由(zyu)落下，掉在地板上。设球与地板碰撞的恢复系数为e 。试证： （1）该

18、球停止回跳需经过的时间为: （2）在上述时间内，球经过(jnggu)的路程是:+=1gte2h1esh2+=1e1e2共七十五页()ev2=v1v10v20v102gh=g2ht0v20=()0v2=2v1=gh1e2gh2=gh12eh=h1设第一次反弹(fn dn)的高度为h1设来回(lihu)一次的时间为:=g2ht1221=e2ghv10v1h 1hv10v2=ev20v1解:(1)共七十五页4eh=h2=g2ht2222=2e2g2h设第二次反弹(fn dn)的高度为h2 ,同理有:e2gh2=gh21依次(yc)类推=tt2t1t022+.=teg2he21+.2e()+g2h共七

19、十五页=teg2he21+.2e()+g2h+=()1aq2aqa+.n-1aqn=1=qa=teg2he21()+g2h1+=teg2he21()1+=1ge2h1e共七十五页=h2+.2eh24eh.=h2+2eh6e2e+()12e=h2+2eh(11)2e=h+(11)22eh2+=1e1e2s0=2h,s1=h 12s2=h 2,.,(2)=s0s1s2+.hh 1h 222+.=s共七十五页hgt212=xtv0=6.4mxh+=+tv0gt212=6.4m+1.5t9.821t26.4=hgt212=9.82114.9m=解:当球与底版(dbn)碰撞时t=1s6.4xhv0 3-

20、8 一电梯以1.5ms匀速上升，一静止于地上的观察者自某点将球自由释放(shfng)。释放(shfng)处比电梯的底板高 6.4m。球和地板间的恢复系数为 0.5。问球第一次回跳的最高点离释放处有多少距离？共七十五页0.52gh1=2gh1.5()+1.5+9.84.920.5=(1.5)+1.5+7.15=h1=(7.15)229.8=2.6mh1=sh=4.9-2.6 = 2.3m()e1.52gh1=2gh1.5v10v2=v20v1()ev2=v20=1.5m/s2gh=v10=2gh2v1()e1.52gh1=2gh1.5共七十五页 3-9 如图是一种测定子弹速度的方法。子弹说平地射

21、入(sh r)一端固定在弹簧上的木快内，由弹簧压缩的距离求出子弹的速度。已知子弹质量是0.02kg木块质量是8.98kg。弹簧的劲度系数是100N/m，子弹射人木块后，弹簧被压缩10cm。设木块与平面间的动摩擦系数为0.2，求子弹的速度。Mmk共七十五页mvv0Mm+()=Mmk已知：m =0.02kgM =8.98kgk = 100N/m= 0.2x =10cm解:由系统(xtng)动量守恒得：mvv0Mm+=xk212弹簧压缩后的弹性势能:v212Mm+()碰撞后系统的动能:g=xMm+()mAf压缩过程摩擦力的功:共七十五页=2gxMm+()mx21Mm+()k212mv0Mm+()v0

22、=2gxMm+()mx21+k212mMm+()22=10.18104v0=319m/s由功能(gngnng)原理:共七十五页 3-10 一质量为 m的铁块静止在质量为M的劈尖上 ，劈尖本身又静止在水平桌面上 。设所有接触都是光滑的。当铁块位于(wiy)高出桌面h 处时，这个铁块-劈尖系统由静止开始运动。当铁块落到桌面上时，劈尖的速度有多大？劈尖与地面的夹角为。 hmaM共七十五页(=)h2singmmv212acosvv+a2Mv2120M=amvcosvv()hmaMvvva解：设铁块相对劈尖的 滑行(huxng)速度为 v由动量(dngling)守恒得：amvcosMm+()v=(1)由

23、机械能守恒得：共七十五页(=)h2singmmv212acosvv+a2Mv212=22+h2gmm2acosvMMm+()sina2()=+hgmm2acosvMMm+()sina2()+=h2gmmv22acosv+Mv2vv2(2)amvcosMm+()v=(1)将(1)代入(2)经整理(zhngl)后得：共七十五页 3-11 在图示系统中，两个摆球并列悬挂，其中摆球 A质量(zhling)为 m1= 0.4kg，摆球B 的质量为 m2 = 0.5kg。摆线竖直时人和B 刚好相接触。现将 A拉过1= 400 后释放，当它和 B 碰撞后恰好静止。求： （1）当B再次与A相碰后，A能摆升的最

24、高位置2； （2）碰憧的恢复系数。hm1m2q1AB共七十五页()1qhl1cos1=gmv10m212=h1112gh=v101()1qlcos1=2g=0v1=v10m1v10=mv22m1=mv22()1qlcos12g解：(1)设摆长为 l由机械能守恒(shu hn)：碰撞(pn zhun)过程动量守恒。由题意：m1v10=mv22hm1m2q1共七十五页v10v20v1=v2e=v2v10m1=m2()1qlcos12g()1qlcos12g1m1m2=0.40.150.8=v10=v20=v20m1m2=v2v20m1m2m2+1e+()+()1qlcos12g(2)B再次与A发生

25、碰撞，B球的初速为：v10m1=m1m2+1e+()()1qlcos12g共七十五页gmv2m212=11l()1qcos2m1=m1m2+1e+()()1qlcos12g22()221()1qlcos2gm1=m1m2+1e+()()1qcos122()2()1qcos2=0.853qcos2q2=31460由机械能守恒(shu hn)：共七十五页 3-12 质量为 m1与 m2的两个物体 1和 2可沿光滑表面 PQR 滑动（如图）。开始，将物体1压紧弹簧（它与弹簧未联接），然后放手，让物体1与静止放在 Q处的物体 2作弹性碰撞，假定弹簧的劲度系数为 k,开始压缩的距离为x0。 (1) 如m

26、1m2，问碰擅后物体1能再将弹簧压缩多大距离 x ? (2)如m1=m2，x又为多少(dusho)？ (3)如仍为m1m2，而物体2到达R时恰好停止，问原来压缩弹簧的距离x0为多少？ PQmk1m2共七十五页PQmk1m2x 0m10v10kx212212=()2=v20v10v1m1m2m1m2+m2 解：运动过程中，动量守恒，机械能守恒取O点为平衡位置，当弹簧(tnhung)被压缩 x0时：=v2()2v10v20m2m1m1m2+m1设碰撞后两物体速度分别为v1,v2 。由完全(wnqun)弹性碰撞公式：=v1()v10m2m1m1m2+0v20=m10v10kx=共七十五页m1v121

27、2kx212=m1v1kx=v10m1m2m1m2+m1kx=x 0m1m2m1m2+(1)m2m1设m1返回后将弹簧(tnhung)压缩 x , 由机械能守恒0=v1x=0=m1m2(2)代入弹性(tnxng)碰撞公式，得：共七十五页m2v2212=m gh2v22=2ghm1m2m2(3)到达R 刚好静止2x 0m1m1m2+=2422gh()k2m1m1+km2ghx 0=0，=v20v2=2gh将代入弹性碰撞(pn zhun)公式，得：共七十五页 3-13 如图所示，A、B两木块，质量各为mA与 mB，由弹簧联接，开始静止于水平光滑(gung hu)的桌面上，现将两木块拉开(弹簧被拉长

28、)，然后由静止释放，求两木块的动能之比。 AmBmAB+=0AmvABmvB=AmvABmvB()Emv212AAmv2AAmA2=Ak()Emv212BBmv2BBmB2=Bk解：系统的动量(dngling)守恒=EBkEAkmAmB共七十五页 3-14 一质量(zhling)为m的球，从质量为M的圆弧形槽中自静止滑下，设圆弧形槽的半径为R（如图）。若所有摩擦都可忽略，求小球刚离开圆弧形槽时，小球和木块的速度各是多少？MRMmRgmmv212=MV212+0=+mvMV=mvMV2Mm+=RgM()m解：设m 刚离开圆弧轨道(gudo)时的速度为 v M 的速度为V整个过程机械能守恒动量守恒

29、2Mm+=v2RgM解得：共七十五页 3-15 图中所示是大型蒸气打桩机示意图，铁塔高40m，锤的质量10 t，现将长达38.5m的钢筋混凝土桩打入地层。已知桩的质量为24 t其横截面为0.25m2的正方形，桩的侧面单位面积所受的泥土阻力为k =2.65104Nm2。（1）桩依靠自重能下沉多深？（2）桩稳定(wndng)后把锤提高1m，然后让锤自由下落而击桩。假定锤与桩发生完全非弹性碰撞，一锤能打下多深？ （3）当桩已下沉35m时，一锤又能打下多深？假定此时锤与桩的碰撞不是完全非弹性碰撞，而是锤在击桩后要反跳5cm。 共七十五页s = 40.5 = 2msfyk=Ad=fdyl0A=fdy0s

30、ykl0=dy0=AEkl212=0s=gml0kl2120s=gml0k2s2241039.82.6510428.88m=解：(1)设桩周长(zhu chn)为s当桩下沉(xi chn) y 时，阻力为：由功能原理：yfl0mgyo共七十五页2ghv0=Afy=ksdl0l0+yd()2=21ksdl0+dmv0=Mm+()v1m=Mm+v12gh(2)设锤击(chu j)桩后再下沉深度为 d , 由机械能守恒：l0dl0+桩从下沉到深度，阻力的功为：打击瞬间动量(dngling)守恒得到：共七十五页+=E121Mm+()v12Mm+()gd+=2Mm+()gdmMm+gh2.65d2+13

31、.74d-2.88=0 对于下沉(xi chn)过程应用功能原理(当桩下沉 d时作为零势能点,即 E2 =0 )。=E1E2EAf()2=21ksdl0+d由上两式并代入数字化简后得：d = 20cm共七十五页+()h=hvvMmv1Mmg+()2=102.429.80.0514104+()2.257=h(3)假定锤的反跳高度为：v2gh=反跳速度为：v2gh=锤与桩碰撞前速度为：Mmv1=vMv由动量守恒：设碰撞后桩向下运动动速度为：v1共七十五页A=k21s()d1+l2d1=E1E2设桩碰撞(pn zhun)后下沉的距离为d1,由功能原理：=0dgm1mv2121代入有关(yugun)数

32、字化简后得：2.65161.986.1132d 1+d 1=0d2.65161.986.113m161.98()2+422.65=5.3162.183.8m161.98+=共七十五页 3-16火箭起飞时，从尾部喷出的气体的速度(sd)为3000 m/s，每秒喷出的气体质量为600kg。若火箭的质量为 50 t求火箭得到的加速度。 a=vd=tdmudmtd=300050102600()=36m/s2muvd=dm解：共七十五页 3-17 电子质量为910-31 kg，在半径为5.310-11 m的圆周(yunzhu)上绕氢核作匀速运动，已知电子的角动量为h/2，求它的角速度。2Lhmrv=rv=2mr2h=2mr2h=4.131016 1/s解：电子(dinz)的角动量为：=6.6310-3423.149.110-31(5.310-11)2共七十五页 3-18 试证质点在有心力场中运动时，在相等的时间(s