二次型化为标准型三种方法

1、关于二次型化为标准型的三种方法1第一张，PPT共二十九页，创作于2022年6月2定理 任何一个二次型都可以通过非退化线性替换 化为标准形。(1)若aii不全为零,设a110则上式可写成第二张，PPT共二十九页，创作于2022年6月3配方第三张，PPT共二十九页，创作于2022年6月4第四张，PPT共二十九页，创作于2022年6月5它是非退化的,代入后对y2,y3,yn的二次型.第五张，PPT共二十九页，创作于2022年6月6当aii不全为零时,继续上述方法.否则用下述(2)(2)若a ii=0 (i=1,2,n),但至少有一个aij0,设a120,则第六张，PPT共二十九页，创作于2022年6

2、月7它是非退化线性的替换,代入后第七张，PPT共二十九页，创作于2022年6月8反复使用(1)与(2),可以在有限步内将二次型化为标准形.因为 x=Cy, |C|0y=Dz,|D|0则 x=(CD)z, |CD|=|C|D|0也是非退化线性替换.第八张，PPT共二十九页，创作于2022年6月9以上做法中,每一步都是非退化线性替换.因此可以找到一个非退化线性替换化为二次型为标准形.定理 对任意对称阵A,存在可逆阵C使得CTAC为对角阵. 即任何对称矩阵合同于一个对角阵.上述定理的证明实绩上给出了一种化二次型为标准型的方法：配方法.第九张，PPT共二十九页，创作于2022年6月1.若二次型含有 的

3、平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形 . 拉格朗日配方法的步骤例1第十张，PPT共二十九页，创作于2022年6月解含有平方项去掉配方后多出来的项第十一张，PPT共二十九页，创作于2022年6月所用变换矩阵为第十二张，PPT共二十九页，创作于2022年6月13解:配方化简第十三张，PPT共二十九页，创作于2022年6月14代入可得标准形为第十四张，PPT共二十九页，创作于2022年6月15非退化线性替换矩阵为第十五张，PPT共二十九页，创作于2022年6月162.若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换

4、化二次型为含有平方项的二次型，然后再按 1 中方法配方.第十六张，PPT共二十九页，创作于2022年6月解例3由于所给二次型中无平方项，所以第十七张，PPT共二十九页，创作于2022年6月再配方，得第十八张，PPT共二十九页，创作于2022年6月所用变换矩阵为第十九张，PPT共二十九页，创作于2022年6月20第二十张，PPT共二十九页，创作于2022年6月21第二十一张，PPT共二十九页，创作于2022年6月用正交变换化二次型为标准形的具体步骤第二十二张，PPT共二十九页，创作于2022年6月解step1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例()()9182-=ll从而得特征值第二十三张，PPT共二十九页，创作于2022年6月step2求特征向量得正交向量组step3将特征向量正交化第二十四张，PPT共二十九页，创作于2022年6月step4将正交向量组单位化，得正交矩阵P第二十五张，PPT共二十九页，创作于2022年6月于是所求正交变换为第二十六张，PPT共二十九页，创作于2022年6月27第二十七张，PPT共二十