货币银行第一章ppt课件

1、风险与收益的数学度量 第一章 根底知识 成效函数随机占优.第一章 根底知识 第一节 风险与收益的数学度量证券投资收益率的数学公式 为证券第t期末的价钱；为证券第t期初的价钱；为证券在第t期的股息、红利等现金收入；.单个证券收益和风险的度量 对于单个证券而言，假设收益率服从离散型分布投资时机的盈利性收益和风险可表示为： 实践运用中，经常用样本均值与方差，来做近似替代：第一章 根底知识 . 有时也用R的下侧方差lower partial variance,简记为LPV来描画风险。 假设收益率服从分布函数为F(r)的延续型分布，那么其下侧方差为： 假设收益率服从分布律为P(R=ri)=hi的离散型分

2、布，那么其下侧方差为： 还有用概率来描写风险的，如Domar以为：假设某一投资时机的最小允许量用r0表示，就可以用p(R r0)的大小来描画风险。 实践上，我们可以采用一个普通的数学度量范数来描画风险，以上对风险的描画方法只不过是其中的特例罢了。第一章 根底知识 .证券组合收益和风险的度量 假设某个投资者面临的是一组由m个证券组成的投资时机，令第i个证券的投资收益率为 ,投资组合的收益率为随机变量 投资时机组合的收益可表示为 投资时机的风险可以用 的协方差矩阵来表示： 显然，协方差矩阵是对称矩阵。 第一章 根底知识 其中为证券i收益率的方差； 为证券i和证券j的收益率之间的协方差，即.协方差矩

3、阵通常有如下性质：第一章 根底知识 证明 证毕. .第一章 根底知识 证明 证毕. . 详细到由收益率为 和 两种证券组成的投资组合而言，假定收益率均为离散型随机变量，并且结合分布律为投资时机的风险可以用两种证券收益率的协方差来表示：无量纲！ 实践运用中，由于无法得到证券整体的目的，普通用样本目的来近似替代。第一章 根底知识 .解 第一章 根底知识 .第二节 成效函数第一章 根底知识 引例1按照期望收益率最大准那么, 应该选择投资时机B。 然而，对于投资时机A而言，虽然期望收益率低于投资时机B，但是它的收益是确定的，而投资时机B却有7/10的能够得到的为负或者是零收入,对于一个谨慎的投资者而言

4、，宁愿选择投资时机A，而不选择B。.第一章 根底知识 引例2按照期望收益最大准那么，不难得到参赌人所获得收入的期望值为： 也就是说参赌人只需拿出有限的钱来参与这种赌博得到的收益都是无限大的。这显然不符合现实！单独运用期望收益来进展投资决策不合理！ .第一章 根底知识 成效函数概述 成效utility 成效的本意是一种客观感受,是一种客观志愿的满足程度.本课程调查的是在投资活动中对投资结果的称心程度,即为投资的成效. 成效函数utility function 成效函数是对称心程度的量化.成效函数可分为:这种成效函数只反映一种称心程度的顺序关系.序数成效函数ordinal utility func

5、tion:基数成效函数cardinal utility function 这种成效函数可以度量成效的详细数值.因此它不仅能反映投资成效的顺序,也度量出了它们之间的大小数量关系. .第一章 根底知识 成效函数的详细运用分为确定性形状和不确定性形状两种.确定性形状下的成效函数:如商品配置问题不确定性形状下的成效函数期望成效函数 所谓期望成效函数是定义在一个随机变量集合上的函数，它在一个随机变量上的取值等于它作为数值函数在该随机变量上取值的数学期望。用它来判别有风险的利益，那就是比较“钱的函数的数学期望. 可以证明,在确定形状下的序数成效函数存在，在不确定性形状下基数成效函数存在. .第一章 根底知

6、识 成效函数的运用风险态度 风险厌恶型 至少在某一点不等号成立. 实践上,绝大多数的投资者都具有该类成效函数,即属于风险厌恶型投资者.如假定,成效函数的二阶导数小于零,即人们通常所说的边沿成效递减规律.这类投资者的成效函数满足：.第一章 根底知识 风险厌恶型效应函数为凹函数,即期望的成效大于成效的期望,这就是重要的不等式Jensen不等式.证明 不等式两边同时求期望,可得亦即 ， 即 证毕. .第一章 根底知识 风险喜好型这类投资者现实生活中很少的成效函数满足：至少在某一点不等号成立. 显然,该函数是增函数,而且是凸函数,其曲线如下图 同理,可以证明风险喜好型投资者的期望的成效小于成效的期望,

7、即.第一章 根底知识 第一章 根底知识 风险中性型这类投资者的成效函数满足:显然,该函数是斜率为正的直线,如下图:同理,可以证明风险中性型投资者的期望的成效等于成效的期望,即.第一章 根底知识 常见的风险厌恶型成效 绝对风险厌恶递减型投资者:该类型的投资者的偏好表现为:当R 的数值相当大时,他们对风险的厌恶程度就会降低,往往还会多进展一些风险性投资.即:至少在某一点不等号成立. 相对风险厌恶函数将绝对风险厌恶函数代入上式展开,得到即：绝对风险厌恶型投资者的成效函数须同时满足： 绝对风险厌恶函数.第一章 根底知识 几种常用的风险厌恶型成效函数：1、指数成效函数显然 2、幂成效函数显然 幂成效函数

8、的投资者是绝对风险厌恶递减型。3、对数成效函数(Bernoulli函数)显然 .第一章 根底知识 假设假设参赌者具有对数成效函数,就能处理圣彼得堡悖论，于是又称对数成效函数为Bernoulli函数。假设参与赌博者都是风险厌恶型，他们都具有一样的成效函数 而 于是 这阐明，假设参赌者的偏好真正由成效函数确定,那么他们至多只会花2元来参与赌博.第一章 根底知识 单期Merton比率 资产分配优化中的一个重要的比率Merton比率，是1997年诺贝尔经济学奖获得主Merton于1969年在他的一篇重要论文中推导出来的。 .第一章 根底知识 另外，一个周期末，风险性资产的期望收益率为.第一章 根底知识

9、 于是，该投资者的期望成效为由期望成效最大原那么，对期望成效函数关于a求导，并令其为零，可得a即为单期Merton比率. .第一章 根底知识 第三节 随机占优 Rothschild-Stiglitz(1970,1971)提出了更普通的比较不同资产风险的分析框架在效应实际的架构下，采用随机占优Stochastic Dominance方法来判别两个投资时机的优劣。 期望成效最大化投资决策的前提是先确定成效函数，然而成效函数“只可意会，不可言传，很难对成效进展准确的量化。 由于投资时机的收益率R是一个随机变量，因此可以采用数学上专门研讨各种条件下随机变量优劣比较的方法随机序来讨论投资决策问题，并根据

10、成效函数的性质采取渐进式的决策方法。投资决策随机优势准那么FSDSSD TSD， , 随机序.第一章 根底知识 一阶随机占优First-order Stochastic Dominance FSD准那么 FSD准那么的证明 充分性 那么 于是.第一章 根底知识 因此 必要性(反证法)即 因此 矛盾. 证毕. .第一章 根底知识 FSD准那么的解释 即而即亦即.第一章 根底知识 FSD准那么的图形表示 图中的三条曲线分别代表三个投资时机A，B，C的收益率分布函数，根据FSD准那么，不难判别投资时机B和投资时机C均优于投资时机A，但是投资时机B与投资时机C的优劣无法判别。.第一章 根底知识 二阶随

11、机占优Second-order Stochastic Dominance SSD准那么 SSD准那么的证明 先证充分性 .于是有 下证必要性，同样用反证法。.于是， 由题设可知， 并且 要使恒大于零，即 与假设矛盾. 证毕. .第一章 根底知识 SSD准那么的图形表示当两个投资时机收益率的分布函数曲线相交时，FSD准那么失效。 如图区域内有“+号的，表示FB(r)超越FA(r)的积分面积，区域内有“号的，表示FA(r)超越FB(r)的积分面积，且前者区域带“+号的面积大于后者区域带“号的面积所示，投资时机A与投资时机B收益率的分布函数虽然有相交的景象，但是依然可以判别A优于B。.第一章 根底知

12、识 而又不难得到 0 即 从而投资时机A优于投资时机B。 .第一章 根底知识 三阶随机占优Third-order Stochastic Dominance TSD准那么 先证充分性 TSD准那么的证明 .而(留作练习!)于是由题设 显然有. 下证必要性，同样用反证法。分两种情况思索第一章 根底知识 .第一章 根底知识 .第一章 根底知识 随机优势准那么的普通决策过程为：1在诸多的可行的投资时机中，用FSD准那么进展选择，除去劣类投资时机；2在经过FSD准那么的投资时机中，继续用SSD准那么进展选择，除去劣类投资时机；3对经过SSD准那么的投资时机，进一步用TSD准那么进展选择，经过的即为SD最优的投资时机。.第一章 根底知识 【本章要点】成效函数期望成效最大准那么基于成效函数的风险态