数理方程与特殊函数：数学物理方程总复习

1、1数学物理方程总复习本次课主要内容一、偏微分方程理论与分离变量法二、 行波法与积分变换法三、 格林函数、贝塞尔函数、勒让得多项式21、定解问题的建立2、方程的化简4、函数(一)、偏微分方程理论一、偏微分方程理论与分离变量法3、二阶线性偏微分方程理论31、定解问题的建立 写出定解问题，需要建立偏微分方程、写出边界条件(包括衔接条件，自然条件）和初始条件。 建立偏微分方程的主要方法是微元法(1).明确物理过程与研究对象(待研究物理量);(2).进行微元分析； 分析微元和相邻部分的相互作用，根据物理定律用算式表达这种作用。4如何写出三类边界条件？(1)、明确环境影响通过的所有边界；(2)、分析边界所

2、处的物理状况；(3)、利用物理规律写出表达边界状况的表达式。(3).化简、整理算式。5例1 一根半径为r,密度为，比热为c，热传导系数为k的匀质杆。如果同截面上的温度相同，其侧面与温度为u1的介质发生热交换，且热交换系数为k1.求杆上温度满足的方程解：物理量为杆上温度u(x,t),取微元x,x+dxx+dxxx在dt时间里，微元段获得的热量为：6该热量一部分Q1用于微元段升温，另一部分Q2从侧面流出所以，微元段满足的方程为：所以，方程为：7(1)、写出特征方程：(2)、计算(3)、作变换(a)、2、方程的化简8(b)、9(c)、10(4)、求出变换方程：其中：11二阶线性方程分类：(1) 双曲

3、型 抛物型椭圆型 (2) (3) 说明：分类也指点的邻域内的分类！12例2 化下面方程为标准型解：方程属于椭圆型13 所以14可得 标准型：153、二阶线性偏微分方程理论(1). 线性算子 T为算子，若T(c1u1+c2u2)=c1Tu1+c2Tu2，称T为线性算子(2). 二阶线性偏微分算子 16于是 二阶线性偏微分方程可以简记为：齐次形式为：17原理1：意义：欲求叠加原理的解，如果且求出的解为：则为方程的解18说明：原理2是原理1的有条件推广。条件是算子L与和号能交换次序。叠加原理原理2：19其中，M表示自变量组，M0为参数组 .设u(M,M0)满足线性方程(线性定解条件)叠加原理原理3：

4、且积分收敛，并满足L中出现的偏导数与积分号交换次序所需要的条件，那么U(M)满足方程(或定解条件）20叠加原理说明：原理3可以理解为：若那么：21叠加原理定理：非齐次线性方程的一般解等于对应的齐次线性微分方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。例3 求泊松方程 ：的一般解。解:(1)先求出方程的一个特解u1由方程的形式可令u1=ax4+by4,代入方程可得：22(2)、求对应齐次方程通解对应齐次方程为：作变换：则齐次方程化为：再作变换：23方程化为：齐次方程通解为：原方程通解为：24齐次化原理1齐次化原理如果满足方程：那么非齐次柯西问题的解为：25齐次化原理2如果满足方程：那么非齐次柯西问题的解

5、为：26例4、若V(x,t,)是定解问题是定解问题的解，则：的解27证明：首先，其次，因V(x,t,)是齐次定解问题的解，因此，不难证明28解的适定性 满足解的存在性、唯一性和稳定性的解称为解的适定性。 解的稳定性是指若定解条件有微小变化，其解也只有微小变化 只有解满足稳定性，其解才有意义，因定解条件常为实验数据，有测量误差。29 (1)、 定义 函数是指满足下面两个条件的函数 4、 函数 几点说明：30 (a) 、 几何意义曲线峰无限高，无限窄！但曲线下面积为1。 (b)、物理意义x0 x(x-x0) 定义中条件(1)反映物理量集中在x0处，该处称为点源；条件(2)反映物理量有限。31 例5

6、、两端固定的长为L的弦，密度为，初始时刻在x0处受到冲量I的作用。求初速度和定解问题。解:(1)x0u(x,t)xL032(2) 由动量定理F t= mv得：所以有：定解问题为：33 (2)、 性质(a)筛选性质：对任意连续函数(x),有：34所以，证明：由于(b)函数是偶函数,即：有证明：由于对任意连续函数(x),有所以，35函数的导数定义：设定义的算符(n)称为(x)的n阶导数。由36 例6、求证：其中证明：当M不等于M0时，直接计算可得：37 另一方面： 所以：38(1)、分离变量(2)、求解固有值问题(3)、求解其它常微分方程对应于固有值的解1、分离变量法求定解的步骤(4)、写出叠加解

7、，利用其余条件定出叠加系数。(二)、分离变量方法 2、常涉及的几种固有值问题394041423、固有函数值方法定解问题一般形式：求解步骤：43(1)、求下面齐次定解问题对应的固有值问题固有函数为：Xn(x)(2)、令一般解为：44(3)、将一般解代入泛定方程并把自由项按固有函数系展开后通过比较系数得到Tn(t)的微分方程；(4)、由原定解问题初值条件得出T n(t)的初值条件；(5)、由常数变易法求出T n(t) 。45齐次化原理14、齐次化原理求解如果满足方程：那么非齐次柯西问题的解为：46齐次化原理2如果满足方程：那么非齐次柯西问题的解为：475、边界条件齐次化方法(1)、一般方法采用未知

8、函数代换法：选择适当的W(x,t)，使关于V(x,t)定解问题边界条件是齐次的。(2)、特殊情形下齐次化方法如果方程自由项和边界条件表达式均与t无关，则可以令：48可以把关于V(x,t)的定解问题直接化为齐次方程和齐次边界条件。49解：令 将其代入定解问题中得：例6 求如下定解问题 50可将其分解为：于是得：51由分离变量得一般解为：由初值条件得：由傅立叶级数展开得：5253所以，定解问题的解为：原定解问题的解为：54注：圆域、扇形域等圆弧形边界围城的区域上的定解问题分离变量求解，要在极坐标下进行。求解时要注意自然条件的使用。例7 在扇形域0,00的状态完全由以该点为心，at为半径的球面上的初

9、始扰动决定；2) 当初始扰动限制在空间某局部范围内时，扰动有清晰的“前锋”与“阵尾”，即惠更斯原理成立。71答：(a)公式为：(5)二维齐次波动方程柯西问题的泊松公式是什么？公式的物理意义是什么？(b) 物理意义：1)空间任意一点M在任意时刻t0的状态完全由以该点为心，at为半径的圆盘域上的初始扰动决定；2)局部初始扰动对二维空间上任意一点的扰动有持续后效，波的传播有清晰的前锋而无后锋，惠更斯原理不成立。722、典型题型(1)利用行波法求解例1、求下面柯西问题的解：解：特征方程为：特征线方程为： 73令：变换原方程化成标准型： 通解为 : 代入条件得：74例2、求波动方程的古沙问题75解：方程

10、通解为：由(2)得：又由(3)得：由(4)与(5)得：76所以：又由(4)得：所以：(2)半无界问题的求解采用延拓或行波方法求解77例3、半无限长杆的端点受到纵向力F(t)=Asint的作用，求解杆的振动。解：定解问题为：Fun|x=0.YS0 x78解：方法1：延拓法首先，当xat时，端点的影响没有传到，所以有：其次，当xat时，端点的影响已经传到，所以定解问题必须考虑边界影响。将定解问题作延拓：延拓后的定解问题的解为：79欲使延拓后的解限制在x0上时为原定解问题的解，只需让延拓解满足边界条件，即：为此：令只要：又令80得到：所以有：所以当x0时：(2) 求像函数(3) 求原像函数当0时：像

11、函数为：106由卷积定理 ：这里：107于是得定解为： 108例14、求解如下定解问题：109解:(1)作针对于时间变量的Laplace变换 (2)、求像函数：110 (3)、求原像函数：例15、求解如下定解问题(习题5.4第5题)：111解:(1)作针对于时间变量的Laplace变换 (2)、求像函数：112 (3)、求原像函数：113三、格林函数、贝塞尔函数、勒让得多项式(一)、Green函数问题(二)、贝塞尔函数问题 (三)、勒让得多项式问题114(一)、Green函数问题1、三个格林公式第一格林公式：设u (x, y, z) ,V (x, y, z)在SSV上有一阶连续偏导数，它们在V

12、中有二阶偏导，则：第二格林公式：设u (x, y, z) ,V (x, y, z)在SSV上有一阶连续偏导数，它们在V中有二阶偏导，则：115设M0，M是V中的点，v(M)=1/rMM0, u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有：第三格林公式：M0MSVxyz116例1、写出稳态场方程洛平问题的解。要求:(1)掌握三个公式的推导；(2)稳态场方程洛平问题的解。解:(1)泊松方程洛平问题为：117拉普拉斯方程洛平问题为：例2、求拉普拉斯方程洛平问题的解118解：由第三格林公式：例3、求拉普拉斯方程洛平问题的解解：由第三格林公式：1192、调和函数要求:(1)掌握概念和性质的证明；(2 ) 性

13、质的应用(极值原理)例4、求证泊松方程狄氏问题的解是唯一的、稳定的。证明：泊松方程狄氏问题为：(a ) 解的唯一性证明：设定解问题有两个解u1与u2,则：120令:U=u1-u2,则：由极值原理有： ，即(b ) 解的稳定性证明：设在S上给定了函数 使得： 且： 121令:U=u1-u2,则：由极值原理有： 即证明了稳定性。3、泊松方程狄氏问题格林函数要求:(1)掌握狄氏问题格林函数概念和性质(2)泊松方程、拉氏方程狄氏问题解的积分表达式(3) 特殊区域上狄氏问题格林函数和对应的解的积分表达式例5、什么是泊松方程狄氏问题格林函数？物理意义是什么？122答: (1)泊松方程狄氏问题格林函数定义为

14、：(a) 若G(M,M0)满足：则称G(M,M0)为定义在VS上的三维狄氏格林函数。(b) 若G(M,M0)满足：则称G(M,M0)为定义在DS上的平面狄氏格林函数。(2) 物理意义是:123(a) 物理意义：首先，对于方程G(M,M0 )=-(M-M0)来说，其物理意义是：空间中M0点处有一电量为(真空中的介电常数）的正点电荷，在M处产生的电势为G(M,M0),其大小为G(M,M0)=1/4r； 其次，狄氏格林函数定解问题可以理解为：接地导电壳内M0处有正点电荷和它在边界面上产生的感应电荷在壳内M处产生的电势的叠加为G(M,M0),其大小为G(M,M0)= 1/4r +v (x, y, z)

15、。（b) 物理意义：首先，对于方程G(M,M0 )=-(M-M0)来说，其物理意义是：平面中M0点处有一电量为(真空中的介电常数）的正点电荷，在M处产生的电势为G(M,M0),其大小为G(M,M0)=1/2lnr； 其次，狄氏格林函数定解问题可以理解为：接地导电圈内M0处有正点电荷和它在边界上产生的感应电荷在圈内M处产生的电势的叠加为G(M,M0),其大小为G(M,M0)= 1/4lnr +v(x,y)。124例6、三维泊松方程狄氏格林函数的性质是什么？答：三维泊松方程狄氏格林函数的性质主要有：(1) 狄氏格林函数在除去M=M0点外处处满足拉氏方程。当MM0时，G(M,M0)趋于无穷大，其阶数

16、和1/rMM0相同。(2) 在边界上格林函数恒等于零。(3) 在区域V内，有：(4) Green函数具有对称性(物理上称为互易性 )，即 125例7、三维泊松方程狄氏问题解的积分表达式是什么？答：例8、二维泊松方程狄氏问题解的积分表达式是什么？答：例9、教材重点介绍了几种特殊区域上狄氏问题格林函数？采用什么方法求？126答: (1)球域、半空间；圆域、半平面、第一象限。平面上的求法类似。求三维空间中区域VS上狄氏格林函数,可考虑一接地导体壳S，在VS内M0处放置电量为0的正点电荷，由格林函数物理意义：G(M,M0)等于V内电荷0与感应电荷在M处产生的电势的叠加。这可以通过如下方法求：在V外找一

17、个M0关于S的像点，在该点放置一负电荷，使它与0在S上产生的电势叠加为零，则它们在M处的电势叠加等于G(M,M0).(2) 采用镜像法例10、回忆球域、半空间；圆域、半平面、第一象限内的格林函数表达式127答: (1)球域(2)上半空间128(3) 上半平面狄氏问题的Green函数 (4) 圆域上狄氏问题的Green函数 (5) 第一象限上狄氏问题的Green函数 129例11、写出球域、半空间；圆域、半平面、第一象限内的泊松方程狄氏问题解的积分表达式解：(1) 球域内泊松方程狄式问题解的积分表达式：由于泊松方程狄氏问题的解为：在球面上130在球域上，由于：131所以：所以，球域上狄氏问题的解

18、为：132(2) 上半空间狄式问题的解泊松方程狄氏问题的解为：由于：133所以上半空间泊松方程狄氏问题的解为：而上半空间拉氏方程狄氏问题的解为：134(3) 上半平面内泊松方程狄式问题解的积分表达式：所以得：拉氏方程狄氏解为： 135例11*、求上半平面上拉氏方程狄氏解，边界条件为： 解：由公式：136(4) 圆域上狄氏问题的解 137解：因为：例12、求圆域上泊松与拉氏方程狄氏解。所以：所以，狄氏解为：138所以：由于：所以，在极坐标系下，有：从而，在极坐标下，圆域上泊松方程狄氏解为：在极坐标下，圆域上拉氏方程狄氏解为：139例13、求圆域上拉氏方程狄氏解。(1)、解法1:(格林函数法)(2

19、)、选极坐标系，设圆内M0(r0,0),则：140利用函数幂级数展开可得：采用级数展开法计算积分*所以，得：141当 时：142而：所以，有：1431、分离变量：代入方程得：整理后可令比值为：解法2:(分离变量法)144得两个常微分方程如下：2、求解固有值问题145(1) 0时，令=2 得：结合周期条件，只能取正整数。于是得固有值：固有函数为：1463、求欧拉方程的解(1)、对应于0= 0的解为：由有限性得：D=0,于是有：147(2)、对应于n= n2(n=1,2.)作变换：=et 得：由有限性得：Dn=0,于是有：1484、求定解一般解为：由边界条件(1)得：149所以，比较系数得：所以，

20、(1)的解为：由边界条件(2)得：所以，比较系数得：所以，(2)的解为：150(5) 第一象限上狄氏问题的Green函数为： 例13、求第一象限上拉氏方程狄氏解。解：假定定解问题为：151由于其中：对于L1:对于L2:152对于L2:153所以，拉氏解为：例14、求上半圆域上狄氏问题格林函数格林函数满足的定解问题为：154M0M1M1M0Mxy设想在 放置电量为0的电荷(1)对于 在 放置电量为-0的电荷，则能够使边界条件(3)满足，但不能使(2)满足。(2)若要同时使(2)满足，对于圆周边界来说，M0的对称点为：155在M1放置电量为 的电荷对于 M1的对称点为：置电量为 的电荷四个电荷的叠

21、加满足边界条件，所以得到格林函数：1564、三种典型方程的基本解问题要求: (1) 知道三种典型方程的基本解的定义、基本解表达式；(2)能利用基本解求相应的定解问题。例16、叙述泊松方程基本解的定义；写出其基本解；并求出 的一个特解。答: (1)方程 的解称为泊松方程 的基本解。(2) 基本解为：157(3) 特解应该为基本解与函数f的卷积。设U*为特解，则有：注：平面泊松方程基本解为：例17、叙述热传导方程柯西问题基本解的定义；写出其基本解；在此基础上求出如下定解问题：答: (1) 定解问题：158的解，称为如下定解问题的基本解。(2) 基本解为：(3) 定解为基本解与初始函数的卷积。设u为定解，则有：159注：二维、三维类似。例18、叙述热传导方程混合问题基本解的定义；写出其基本解；在此基础上求出如下定解问题：答: (1) 定解问题160的解称为如下定解问题的基本解(2) 基本解为：(3) 定解与基本解的关系为：161例20、叙述波动方程柯西问题基本解的定义；写出其基本解。答: (1) 定解问题162的解称为如下定解