太原理工大学大地测量学基础-第五章课件解剖

1、第五章 参考椭球与大地坐标系补充知识：第一部分 球面三角学的基本知识（ Foundation of Spherical Trigonometry ）基本内容1.球面三角形 Spherical Triangular2.球面角超 Spherical Excess3. 球面三角公式 Formulae of Spherical Trigonometry 4.纳白尔规则一、球面三角形定义:是指球面上三个大圆弧所构成的闭合图形球面三角形的边:a、b、c三个大圆弧叫球面三角形的边,其值与所对应的球心三面角的面角同度 ,即:球面三角形的角: A、B、C是各大圆弧组成的球面角叫球面三角形的角，其值与球心三面角的

2、二面角同度二、球面角超定义：球面三角形三内角之和与平面三角形三内角之和的差叫做球面角超定义公式：计算公式：式中， -球面三角形的面积，R-球的半径三、球面三角公式在球面三角形ABC中正弦公式边余弦公式OabcBCA角余弦公式正余弦公式第一五元素定理第二五元素定理余切公式正切公式四、解算球面三角形的纳白尔规则设球面三角形中有一角为直角，则该角余弦为0，正弦为1，代入前述公式可得球面直角三角形的计算公式便于公式记忆的纳白尔规则：将除直角（C）外的五个元素标成一环形：与直角C 相邻的两元素（a,b）照写，与直角相对的三元素分别以90度减之，则环形上任一元素的正弦等于（1）相邻两元素正切之积（2）相对

3、两元素余弦之积提示：90-c的相邻两元素为90-A，90-B; 90-c的相对两元素为a，b; 即：第二部分 垂线偏差与大地微分方程的导出简介1.垂线偏差公式在球面直角Z1Z2P中按纳白尔规则，并考虑三角函数的幂级数展开式，取第一项： 后，有：即：垂线偏差公式为2.拉普拉斯方程3.天文天顶大地天顶关系式（垂直角变换）4.大地弧度方程的导出简介考虑大地坐标与空间直角坐标关系经微分及变换后得 这里 新旧大地坐标关系关系式中 从而得到基于新旧坐标转换的垂线偏差和大地水准面差距关系式 大地弧度方程5-1 地球椭球及其定位定位的经典方法（Classical Method of Ellipsoid Loc

4、ation）经典定位指参考椭球局部定位，是参心定位，局部密合，建立的坐标系统是经典二维坐标系，如1954北京坐标系、1980西安坐标系；这类坐标系主要建立和应用于上个世纪。一、大地起算数据与椭球定位（Geodetic Datum and Ellipsoid Location）1.概念椭球定位：椭球定位就是建立经典大地坐标系；它是按一定条件将具有确定元素的地球椭球同大地体的相关位置确定下来，从而获得大地测量计算的基准面和大地起算数据2.椭球定位任务椭球定位：确定椭球中心的位置；椭球定向：确定椭球中心为原点的空间直角坐标系坐标轴的指向，也就量确定椭球短轴和椭球起始大地子午面的指向。定向定位的同时确

5、定了大地水准面与椭球面的关系，为地面观测成果的椭球归算提供基准。3.椭球定位作用椭球定位、定向的作用是建立大地坐标系，而建立坐标系的主要标志是确定了大地起算数据，起算数据的标志点即是大地原点，坐标系建立的精华成果集中在大地原点上反映出来。有了起算数据，只需观测一些相对量（如长度、角度等）就可推算坐标。椭球面高斯平面大地测量需观测的量及测量过程4.关于大地原点和大地起算数据大地原点：国家水平大地控制网点大地坐标的起算点。大地起算数据：体现在大地原点上，共有四个个，包括大地原点的大地坐标值L0、B0、H0，以及大地原点至某一方向的大地方位角A0，这些数据构成了经典大地测量的基准。陕西泾阳县永乐镇大

6、地原点外部内景二、定位过程概述1.定位结果要达到的目标：使地球数学化形状-参考椭球体与大地体最大化接近；使观测元素归算到椭球上不失实际意义；方便垂线偏差、起始大地方位角的解算2.定位结果必须达到的条件 两个平行（实际是个旋转问题：椭球坐标向天文坐标的旋转） 椭球的短轴与地球的自转轴平行，即实现起始大地子午面与起始天文子午面平行，即实现实现两个平行的标志：标志（1）：下列广义垂线偏差公式与广义拉普拉斯方程得以最简化，为：式（1）式（2）或者说式（2）是式（1）取 时的形式被称为椭球定向参数。大地体：天文首子午面大地体：地球自转轴椭球体：大地首子午面椭球体：椭球短轴椭球放到大地体内部，并实现两个平

7、行经典大地测量中参考椭球与大地体位置关系及两个平行问题在实现平行的条件下确定大地起算数据式（3（形同式（2）或者说，大地起算数据满足式（3），则一定满足双平行条件标志（2）：一个密合（实际是个平移问题）密合的问题，实际上是一个如何确定式（3）中的 问题，这实际是个平移问题，类似于：观测量所加的改正数很小，垂线偏差和高程异常的数值会小一些，观测结果的归算也将变得更简单。参考椭球面与某一区域（如下个国家范围内）的大地水准面最为密合，在数学上就是实现最佳的结果是把椭球参心平移到地心，但经典大地椭球定位中仅实现了局部密合，无法做到这一点。也被称作椭球定位参数3.椭球定位方法方法一:单点定位在大地原点上

8、简单地取即认为：在大地原点处，椭球的法线方向和铅垂线方向重合，椭球面和大地水准面相切。从而得到大地原点起算数据实质：将大地原点上所测的天文经纬度和天文方位角视为大地经纬度和大地方位角，大地原点上的正高（正常高）视为大地高。常用于缺少观测资料，如一个国家首个坐标系建立时；这种情况下并未达到最佳密合。方法二:多点定位在多个天文大地点上列出弧度测量方程，通过平差计算得到定位参数完成椭球的定位；在大地原点处，椭球的法线方向和铅垂线方向不重合，椭球面和大地水准面不再相切在区域内，椭球面与大地水准面最佳密合参心坐标系或局部坐标系二、弧度测量方程（Equation of Arc Measurement）理论

9、基础：椭球弧长（可实测，是观测量）是椭球几何参数长半径a和扁率的函数，建立的方程即弧度方程。古代国内外都进行过弧长测量，并计算过椭球参数，如古埃及学者埃拉托色尼（公元前276194年），他估算地球半径为6844KM，用过某形式的弧度方程。弧度方程可视作天文坐标与大地坐标的转换方程。1.近代弧度测量方程的建立特点建立在实测基础上，一般是在原有旧的椭球的基础上，利用天文、大地、重力和卫星测量等资料完成的，通过逐次趋近推算新椭球元素。如在1954北京坐标系基础上，利用天文、大地、重力测量结果列弧度测量方程，进而建立1980西安坐标系。根据垂线偏差公式有:将另行导出的大地坐标微分方程代入上式，整理可得

10、广义弧度测量方程式2.弧度测量方程推导三、多点定位的实现1.在多个天文大地点上列出弧度测量方程（每点可列出三个）每一个天文大地点上都可以列出如上式的3个弧度测量方程式2.依据 或 进行解算大地起算数据；注意： 和 中的垂线偏差分量与N是相关的，所以两者等价，但考虑后者变化较前者平缓，可更少受地球局部异常影响，解算结果精度更高，所以实践中主要使用后者。当采用正常高系时，使用注意：（1）假设椭球定位只需满足双平行条件，可仅采用弧度测量方程中的第三个方程，在多个（大于6个）点上列出弧度方程即可解出上述6个未知参数，回代广义弧度测量方程式即可得到每个点（包括大地原点）上的定位参数。（2）现代条件下，新

11、建坐标系的椭球参数是已知的，建立新坐标系过程中的多点定位实际上就是在原来天文大地点上列出如下弧度测量方程。先解得新旧椭球中心的位置差 然后再代入弧度方程解算，从而求得各个天文大地点含大地原点上的最后得到新的大地起算数据。如1980西安坐标系的建立就是在1954北京坐标系基础上通过上式先求定三个平移参数 ，再将平移参数并新椭球参数代入弧度方程进而获得大地原点的大地起算数据完成定位的。1980西安坐标系建立进采用的过程方程和解算条件5-2 参考椭球一、大地测量计算的基准面常规测量获得的平面观测量主要有：距离、方向和天文方位等，为了推求控制网点的坐标和进行其它测量计算，必须选定一计算基准面。计算基准

12、面应具备的条件（1）接近地球自然形体，使观测结果归算改正数尽量小（2）需是规则曲面，便于数学计算（3）计算基准面与大地关系要固定，以便建立起地面点和基准面点一一对应关系。最佳形体是三轴“梨形”椭球，但其不便计算最佳且实用的形体-旋转椭球体真实地球的数学化形状，其面为大地测量计算基准面椭球法线为大地测量计算基准线1.诸椭球关系图及参考椭球作用参考椭球局部密合参心定位的参考椭球全球密合地心定位的参考椭球（总椭球）正常椭球水准椭球（大地水准面的规则化形状）地心、地固坐标系参心、地固坐标系旋转椭球（地球数学形状）地球椭球大地体（大地水准面）（地球物理形状）参考椭球作用测量计算基准（参考）面研究大地水准

13、面的参考面地面点水平坐标、大地高的基准面地图投影的参考面物理形态2. 大地水准面与地球椭球在赤道面上，截线弧形状近圆，长轴指向西经15方向，长短半径之差为69.5m，赤道扁率为191827，约为极扁率的三百分之一 。ab大地水准面在子午面上的截线图大地水准面在赤道上的截线子午截面上，长短半径之差二、参考椭球的几何参数及其相互关系常用几何参数长半径：短半径：极曲率半径：第一辅助函数： 第二辅助函数： 常用符号： 扁率：第一偏心率第二偏心率椭球几何参数间的相互关系abeecaVWe小值大值大值小值注意：各关系式记忆时，有下列规律三、我国历代坐标系采用的椭球及其参数见有关参考资料三、参考椭球上的点、

14、线、面5-3 大地坐标系与空间直角坐标系的关系一、大地坐标系与大地空间直角坐标系定义1.大地坐标系（Geodetic Coordinate System）（1）定义：以参考椭球面为基准面、以参考椭球法线为基准线，用大地经度L、大地纬度B、大地高H三个位置参数表示一点几何位置的坐标系。（2）坐标参数含义P0 - P点在参考椭球面上的投影点 大地经度： Geodetic Longitude： 0360或0 180 大地纬度：Geodetic Latitude ：090大地高：Geodetic Hight：向球面外为正，向球面内为负地球每4分钟转1度（3）大地坐标与天文坐标区别大地坐标与天文坐标形式

15、上相近,但有本质上区别:基准面不同:大地坐标-参考椭球面;天文坐标大地水准面基准线不同:大地坐标法线;天文坐标垂线属性不同:大地坐标表示点几何位置的数学坐标;天文坐标具有物理意义，反映地球重力场特性获得坐标的方法不同:大地坐标观测间接量推算而得;天文坐标通过测量相对于恒星的方向值与精密时间测定获得大地坐标与天文坐标可通过垂线偏差和大地水准面差距（高程异常）换算大地坐标与天文坐标图示表达及其相互关系2.大地空间直角坐标系（1）定义：以参考椭球面为基准，原点O位于地球质心（或参心）Z轴指向协议北极（或平行地球自转轴）、X轴指向首子午面与赤道交点（或平行于首子午面）、Y轴与O-XY平面成右手系，以(

16、X，Y，Z) 三个位置参数表示一点几何位置的坐标系。（2）坐标参数含义大地空间直角坐标空间直角坐标P(X,Y,Z)（3）空间直角坐标类型大地地心空间直角坐标系大地参心空间直角坐标系空间直角坐标系大地空间直角坐标系站心法线空间直角坐标系站心垂线空间直角坐标系站心赤道空间直角坐标系站心空间直角坐标系3.其它空间直角坐标系-站心空间直角坐标系系列站心地平法线空间坐标系定义：以测站点P为原点，以P点的法线为Z轴，指向天顶为正，以子午线方向为x轴，指向北为正，Y轴与XZ平面垂直，向东为正；左手系。另有：站心地平垂线空间坐标系、站心赤道空间直角坐标系、站心极坐标系等地球常用坐标系大地空间直角坐标系、站心地

17、平法(垂)线空间直角坐标系、站心极坐标系X(北)Z(天顶)Y(东)地面大地空间直角坐标系、站心赤道直角坐标系XZY地面站心赤道直角坐标系是大地空间直角坐标系的平移4.左手系和右手系含义式中的x，y又需满足椭圆方程 上式对x取导数 1.建立一子午平面坐标系L-x,y在经度为L的椭球子午平面坐标系中：法线-pn； 法线长pn =PQ+Qn；大地纬度B。二、椭球法线长度的计算表达式及法线与大地坐标关系式（1）式（2）2.推导法线长公式 在L-x,y中 ，根据直线斜率定义有式（1）L-x,y坐标系将上式代入椭圆方程，得上式两边同乘比较式（1）式（2）顾及 有 式（3）由上式求出x后，代入式（3）求出y

18、，得以B为参数的椭圆参数方程 法线长pn若设PnN(卯酉圈半径)，由图直接看出 式（4）L-x,y坐标系考虑式（4）中由图又可直接看出 显然法线长法线长pn =PQ+Qn中的两部分可分别表示为 法线长pn还可表示为再考虑式（4）中三、大地坐标与大地空间直角坐标互换1.空间直角坐标同子午面直角坐标系关系 L-x,y坐标系空间直角坐标系中的P2P相当于子午平面直角坐标系中的yOP2相当于后者的x并且二者的经度L相同两坐标系关系：2.空间直角坐标系同大地坐标系关系1）大地坐标换算至空间直角坐标当点位于椭球面上时：将子午平面坐标系坐标代入上式，可得由大地坐标计算空间直角坐标的关系式在L-x,y坐标系中

19、写成矢量形式其中椭球外法线单位矢量为当点P在椭球外，大地高为H时，大地坐标计算空间直角坐标的关系式。如下图示：P0为P在椭球上的法向投影点由图知：即大地坐标计算空间直角坐标的其它形式2）由空间直角坐标计算大地坐标XYZ-LBH，由图可知点P的大地经度L的计算 点P的大地纬度B的计算由图可得或选代运算时，一般取初值为点P的大地高H的计算或5-4 法截线及其曲率半径一、椭球上的面、圈、线法截面：过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫作法截面，过一点的法截面有无数多个。法截线：法截面与椭球面的交线叫法截线，过一点的法截线有无数条照准面与椭球的交线是法截线，因而在大地计算中

20、意义重大P2POP1BKp法截线均可闭合，形成法截圈子午圈是法截圈中的一个垂直于子午圈的那个法截圈叫卯酉圈同一点上的法截圈的半径随方向的不同而不一样同一法截圈上不同点上的半径也不一样除法截圈外，椭球上还有一组重要的圈，即平行于赤道的圈-平行圈;平行圈不是法截圈过平行圈上任一点，同方向法截线的形状都一样，即法截线的曲率与大地经度无关;方位角都为的两条法截线PP1和PP2在同一平行圈上的两点P和P处的曲率相等。YZXO附录：子午、卯酉的概念: 子午指南北。我国古代以“子”为正北，以“午”为正南。 2. 指夜半和正午。子时:夜间11点至1点；午时:白昼11点至1点。卯酉:指东西。古代以“卯”为正东，

21、以“酉”为正西。2. 早晚。卯时:早晨5点至7点；酉时:傍晚5点至7点。卯酉圈A子午圈K任意方向法截线BP二、椭球上的法截线与平行圈曲率半径子午圈半径M由图示可知： 求M的公式在子午平面坐标系L-xy中，由微分三角形DKE可知代入求M的公式在子午平面直角坐标系中由上式可知式（1）代入上式得：代入子午半径计算公式（1）得子午半径计算公式顾及椭球面元素间的基本关系式，子午半径计算公式还有下列等价形式子午半径变化规律在赤道上，子午半径M小于赤道半径a赤道至极点间M随纬度的增大而增大在极点上，M等于极点曲率半径C 在极点处，M为极曲率半径cM随纬度的升高而增大，其值介于a(1-e2)和c之间逐渐减小在

22、赤道上，M小于赤道半径a说明MW、VBM的变化规律（M是B的增函数）M的端点轨迹2.平行圈与卯酉圈半径推导过程，由图示：卯酉圈是一个与子午圈垂直的法截圈;平行圈是一个斜截圈卯酉弧（圈）与平行弧（圈）两截弧平面夹角为大地纬度B，根据麦尼尔定理：过曲面一点做法截弧、斜截弧，若该两弧具有公共切线（图中PT线），则斜截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦 若令卯酉圈的曲率半径为N，平行圈半径r则有：显然卯酉半径N顾及椭球面元素间的基本关系式，卯酉圈半径还可表示为下列等价形式由图还可知：Pn=N就是卯酉圈半径卯酉半径变化规律在赤道上，卯酉半径N等于赤道半径a赤道至极点间N随纬

23、度的增大而增大在极点上，N=M等于极点曲率半径C，卯酉圈变为子午圈。 N的端点轨迹在极点处卯酉圈变为子午圈，N为极曲率半径cN随纬度的升高而增大，其值介于a和c之间逐渐减小在赤道上，卯酉圈是赤道，此时N为赤道半径说明NW、VBN的变化规律（N是B的增函数）3.M、N的实用公式上述子午圈曲率半径M，卯酉圈曲率半径N，是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，在微分几何中统称为主曲率半径，其实用的M、N的计算公式为 将上两式按牛顿二项式定理展开，并取至8次项，即得两主曲率半径的实用公式系数取值与椭球密切相关，带入不同椭球的参数，计算得到的系数将不同，使用时应注意与椭球参数相配合4.任意得方向法截弧曲率半径

24、RA上述子午圈曲率半径M，卯酉圈曲率半径N，是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，卯酉法截弧是东西方向，其方位角为90度或270度，子午圈为南北方向方位角为0度或180度,这两个法截弧在P点上是正交的，如右图示：任意法截弧的曲率半径按尤拉公式计算：设曲面上任意一点的法截弧之大地方位角为A，则由主曲率半径可计算得该点方位角为A的法截弧的曲率半径RA将上式分子分母同除以M，并顾及可得任意方向A的法截弧的曲率半径的计算公式 5. RA的变化规律子午圈卯酉圈1432 当A=0（或A=180）时，RA=M，最小值； 当A=90（或A=270）时，RA=N，最大值 当A由0趋于90时，RA逐渐增大由M趋于N变

25、化 当A由90趋于180时，RA逐渐减小由N趋于M变化 RA随A的变化以180为周期的，对称于M、N变化 M和N是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，在微分几何中称为主曲率半径。6.任意点法截弧的平均曲率半径R法截弧的半径随点在椭球上的位置不同而变化，在同一点上又随方位角A的变化而变化，在任意点上：在各象限内，RA随A的变化对称于子午圈和卯酉圈，因此求平均半径RA只需求出一个象限的RA的均值即可，即：令：将上式换元后：NRM关系：7.法截弧曲率半径R、M、N间的关系或赤道三、子午线弧长和平行圈弧长1.子午弧长公式其中：上式是椭圆积分，不能直接积分，需按二项式定理展开成级数形式二项式定理即：其中：代

26、入积分后：其中的积分常数和单位变换式分别为公式中的sin8B项不超过0.3mm赤道2.由赤道起算的子午弧长公式子午弧长计算一般取： B1=0、B2=B；由上式还可给出由子午弧长求定纬度的实用选代格式如下还可推出子午圈周长公式按1800年德兰勃椭球(a=6375653 m，1:334.0)求得的Q正好就是40,000,000m ，1米的最初定义。子午弧长实质上即纬度差（或纬差）初始值：迭代公式：迭代收敛条件：迭代收敛解为：当XLBLA, BBBCBA 3.相对法截线构成的图形4. 相对法截线间的夹角 夹角定义：设正法截线AaB的方位角A1，反法截线AbB的方位角A1，相对法截线的夹角A= A1-

27、 A1角量：若B10，A1 =45，A有最大值：S=25km A 0.004S=50km A 0.021S=100km A 0.985近似式五、大地线（Geodesic）相对法截线存在下列缺点相对法截线使图形破裂，破裂的图形无法作为计算依据；两点之间的法截线不唯一；法截线也不是椭球面上两点的最短线解决上述问题的办法引入大地线1.大地线（测地线）相关概念切线：过曲线上两点N，M的直线NM，当NM时，直线NM的极限位置法平面：与切线垂直的平面密切面：过曲线上三点M，N，P作一平面，当N,P M时，平面的极限位置主法线：法平面与密切面的交线切线主法线密切面法平面副法线测地曲率：过曲线上任一点作曲面的

28、切平面，此切平面上该曲线的正投影在这一点的曲率曲面法线：过曲面上一点垂直于过该点切平面的直线POBKOT2.大地线(测地线)的定义 定义1：测地曲率处处为零的曲线定义2：大地线是一曲面曲线，在该曲线上任一点的曲线主法线与该点的曲面法线重合定义3：大地线是一曲面曲线，在该曲线上各点的相邻两弧素，位于该点的同一法截面中 ，或者说大地线上每点的密切面都包含该点的曲面法线。3. 大地线的性质 性质1：大地线是椭球面上两点间的最短线平面上两点的最短线：直线球面上两点的最短线：大圆弧椭球面上两点的最短线：大地线方向不变,不弯曲是两点之间距离最短的原因方向不变：每一点的主法线与曲面的法方向平行，也即测地线相

29、对于曲面保持方向不变不弯曲：测地曲率处处为零性质2：大地线是无数法截线弧素的连线椭球面上的法截线中，只有子午圈和赤道是大地线大地线通过沿线各点的所有法截面性质3：椭球面上的大地线是横、纵双重弯曲的空间曲线横向弯曲（曲率）：椭球面的弯曲产生。纵向弯曲（挠率）：法线不相交，法截面不重合产生在一非常光滑的椭球面上，两点间绷一橡皮筋，那么这条绷紧的橡皮筋，就是两点间的大地线切线主法线密切面法平面副法线通常情况下，大地线靠近正法截线，并分相对法截线的夹角约为二比一，即u:v=2:1在子午圈和赤道上，大地线和相对法截线重合在平行圈上相对法截线虽然合而为一，但大地线、法截线和平行圈三者都不重合。在北半球，大

30、地线在上，法截线居中，平行圈在下性质4：大地线位于相对法截线之间4.大地线微分方程：大地线长度与大地经纬度、大地方位角间的微分关系式大地线微分方程是椭球面计算的基础公式（1）、（2）适用于椭球面上的任意曲线公式（1）公式（2）由图知，在球面微分 中公式（3）大地线专有微分方程用经差、纬差、方位角差表示的近似公式公式（3）对于圆球或平均半径为R的椭球面局部区域大地线微分方程作用：椭球面上大地坐标计算的基础5.大地线的克莱劳方程（1）公式顾及右图中: MsinBdB=-dr 两边积分得克莱劳方程或克莱劳定理：lnsinA+lnr=lnC 或： 代入dA可得：（2）克莱劳定理的几何意义：在旋转椭球面

31、上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数；克莱劳方程在椭球大地测量学中有重要意义，它是经典的大地主题解算的基础。由克莱劳方程 可得作用：实用中，该式主要用于大地主题解算中检查纬度和方位角计算的正确性；由于经典大地测量的算已基本不再进行，此处重点是理解克莱劳定理之含义。ABCabc1.椭球面三角形解算的一般方法考虑大地测量中，地面三角形边长较小，因而解算时将椭球面三角形看作以其三个顶点处的平均曲率半径为球半径的球面三角形（两者边长对应相等、对应角之差小于0.001）；考虑大地测量中，三角形边长是用长度表示的，此时球面三角正弦定理需表达为六、椭球面三角形的解算（So

32、lution of Spheroidal Triangle）的几点说明应用上式的麻烦处在于要进行将长度化为球心角的计算式中：将椭球面三角形化为球面三角形时的角改正，三角形各边长小于200km时可不加此改正。KA，KB，KC分别为各顶点的高斯曲率，K为平均高斯曲率，R为三顶点平均纬度处的平均曲率半径。ABCabcBACabc椭球面三角形视作球面三角形解算时需具备的条件精度要求：角度误差小于0.001，边长误差小于1mm三角形各边长小于200km球的半径取三顶点平均纬度处的平均曲率半径;如果边长在200400km区间，应将椭球面三角形的各角加上椭球面改正数，化为球面三角形2.勒让德定理解球面三角形

33、勒让德定理：若一平面三角形和一球面三角形边长对应相等，则平面三角形之各内角等于对应球面角减去三分之一球面角超。用一般方法解椭球面三角形时，麻烦之处是要进行将长度化为球心角的计算，勒让德解算法可简便一些。方法是先将球面三角形各角加角超改正化算为平面角，用平面三角形解，解算结果的边长即为所求球面边长。B1C1A1acbB0A0C0abc角超计算5-5 地面边角元素归算至椭球面(Reduction about Elements of Terrestrial Side-Angle Measurement to Ellipsoid )本节需理解的内容归算的意义和要求水平观测方向归算到椭球面观测天顶距的归

34、算地面观测长度归算至椭球面 垂线偏差公式天文方位角归算一、归算的意义和要求（Significances and Conditions of Reduction）1.大地起算坐标与大地网观测、解算过程确定地面点位置拱极星恒星位置（二维）赤道坐标天文坐标（铅垂线）天球赤道天极大地坐标（法线）控制网地面观测归算与坐标计算垂线偏差归算卫星的位置空间大地测量天文测量指定坐标系中的坐标地面以垂线为基准观测元素天文方位角距离方向高斯平面上的元素坐标方位角距离方向大地坐标（L，B）平面坐标（x，y）向椭球归算向高斯平面归算平差平差椭球面上以法线为基准的元素大地方位角距离方向2.经典大地测量中地面观测数据的归算

35、过程3.归算要求以椭球面法线为基准线地面点沿法线投影到椭球面椭球面两点连线用大地线4.归算方法与精度要求归算方法：对地面观测元素加入适当改正数，使之转化为椭球面上相应的元素精度要求：不损害野外观测的精度5.归算任务 水平观测方向 观测天顶距归算 地面长度归算 天文方位角归算垂线偏差u6.归算用到的重要参量-垂线偏差（deflection of the vertical） 1)基本定义一点的铅垂线方向与相应的椭球面法线方向之间的夹角。通常按子午方向和卯酉方向分解为2)分类天文大地垂线偏差：在地面上一点的重力方向和参考椭球面法线方向之差，也称相对垂线偏差绝对垂线偏差：在地面上一点的重力方向和正常椭

36、球面法线方向之差 地面垂线偏差：地面上一点的重力方向和正常重力方向之差重力垂线偏差：大地水准面上一点的重力方向和正常椭球面法线方向之差当H1km，B45时，u0.171，可见垂线偏差为一微小值3)垂线偏差图示垂线偏差计算的概略公式地面参考椭球面正常椭球面天文大地垂线偏差绝对垂线偏差地面垂线偏差二、水平观测方向归算到椭球面上（三差改正）1.垂线偏差改正(1 Correction for deflection of the vertical)改正内涵：将地面上以铅垂线为准观测的水平方向值，归算为以椭球面法线为准的水平方向值需加入测站点垂线偏差改正由图可知:1）公式法线垂线照准线度盘零线大地水平面天

37、文水平面(地平面)根据图示可知，垂线偏差在球面三角形 中在球面直角三角形 中综合上列各式，并顾及法线垂线照准线度盘零线大地水平面2）公式中各参数获取方法垂线偏差分量 ，由椭球定位、定向成果决定，一般制成垂线偏差图或建立垂线偏差数据库，可通过查图内插获得大地方位角A，概略计算获得照准目标的垂直角1（或垂线天顶距Z1）， 野外观测获得3）下列情况下垂线偏差改正为0铅垂线与法线重合照准点位于 面内照准点位于水平面4）一般情况下，大部分地面点的垂线偏差值约为几秒到十几秒，垂直角不大于3度，因此垂线偏差改正值仅零点几秒。5）经典大地测量中，一、二等三角测量必须加此改正，三四等可视情况而定。2. 标高差改

38、正 (Correction for skew normals)1）概述由于A、B两点的法线不在同一平面所产生的 -照准点标石中心正常高 -照准点的高程异常 -照准点的觇标高第象限第象限2）不同象限标高差改正图示第 象限第象限3） 标高差改正推导由图知：、其中 可通过右侧图中几何关系获得式（1）4） 下列情况下标高差改正为0根据大地线方程，有：将 代入式（1），并适当简化后得标高差改正公式则：H2=0 照准点在椭球面上，2=0A1=0、90、180、270， 照准点在测站点的子午圈或平行圈上，2=0B2= 90 照准点在极点上， 2=05） 一般情况下，一、二等三角测量加此改正；当海拔高于700

39、m时三、四等三角测量中也加此项改正。3. 截面差改正（ 3 Correction from normal section to geodesic）1）由于相对法截线不重合而采用大地线，此时需将法截线方向化为大地线方向，若相对法截线间之大地方位角差为计算公式： 截面差改正为：2）下列情况下截面差改正为0A=0，90 ，180 ，270，照准点与测站点在同一子午圈或接近于同一平行圈， 3 =03）改正一般只有不足1/10秒，一等三角测量才加此项改正 按有关测量规范规定：三角测量归算时，一等算至0.001，二等算至0.01，三四等算至0.1。 4. “三差”改正计算精度要求5. “三差”改正小结三差

40、改正归算意义主要关系量通常数值一等二等三、四等1化为以法线为基准观测方向值、0.05 -0.1加改正加改正视情况定2化至椭球面上法截线方向值H20.01 -0.73化至椭球面上大地线方向值S0.001 -0.007不加改正“三差”改正的适用性和改正效果解算球面直角三角形的纳白尔规则复习设球面三角形中有一角为直角，则该角余弦为0，正弦为1，代入前述公式或得球面直角三角形的计算公式便于公式记忆的纳白尔规则：将除直角（C）外的五个元素标成一环形：与直角C 相邻的两元素（a,b）照写，与直角相对的三元素分别以90度减之，则环形上任一元素的正弦等于（1）相邻两元素正切之积（2）相对两元素余弦之积提示：9

41、0-c的相邻两元素为90-A，90-B; 90-c的相对两元素为a，b; 即：三、观测天顶距的归算（ Reduction of Observational Zenith Distance ）1.基本概念天顶距（与垂直角构成直角）用于三角高程测量中观测天顶距是以垂线的天文天顶z1为基准的天顶距z计算时需以椭球法线天顶Z为基准z法线垂线照准线度盘零线天文天顶法线天顶2.改正公式（垂线偏差改正）以表示天文天顶距z1归算为以法线为准的大地天顶距z时所加的改正，且考虑q为一微小量，则在球面直角三角形ZZ1M中，有：归算后：在球面直角三角形ZZ1Z中，根据纳白尔规则，并顾及 有：四、电磁波测距边的归算1.

42、概述电磁波可直接测定两点间的空间斜距（已加入气象、仪器常数等与测量方法有关的改正），如图所示：Q1Q2Q1Q2作如下近似：视Ka、Kb重合，大地线S为大圆弧实用中常取地球平均半径R=6371km2.改正公式在平面三角形QlQ2O中，由余弦定理有式（1）式（2）上两式相等变化后为：反正弦函数级数公式：将反正弦函数展开，舍去高次项得改正公式：使用上式应注意，大地高H由正常高和高程异常计算而得，为了保证S的计算精度不低于10-6级：当D10km时，高差(H2-H1)的精度必须达0.1m；当D10km时，必达1m；大地高本身的精度，须达5m级；曲率半径RA的计算精度达1km即可；D需取位至0.001m

43、。顾及：Hm(Hl十H2)/2，距离改化公式可进一步简化，得到下列公式上述公式的几何解释：右端第二项是由于控制点之高差引起的倾斜改正项，经过此项改正，测线已变成平距；右端第三项是由平均测线高出参考椭球面而引起的投影改正，经此项改正后，测线已变成弦线；右端第四项则是由弦长改化为弧长的改正项。精密计算中使用下列更精密的斜距归算公式其中：大地纬度B和大地方位角A取到分；D、H1、H2取至0.001m；另外，两点间的弦长可用正式计算： 五、天文经纬度和大地经纬度的关系（Formula of deflection of the vertical）1.天文经纬度归算至大地经纬度换算前提是：参考椭球进行了定

44、位定向，并实现了：椭球短轴与地球自转轴平行（参心定位时）或重合（地心定位时）起始大地子午面与起始天文子午面平行或重合换算的实质就是求垂线偏差P北极在球面直角Z1PZ 中，根据纳白尔规则有：考虑 、 都是小量天文经纬度与大地经纬度关系式将除直角外的五个元素标成一环形：与直角 相邻的两元素照写，与直角相对的三元素分别以90度减之，则环形上任一元素的正弦等于（1）相邻两元素正切之积（2）相对两元素余弦之积P北极测定方法一：当已知某地面点P的天文经纬度和大地经纬度，则垂线偏差可获得，这种方法测定的垂线偏差称天文大地垂线偏差，也叫相对垂线偏差。这是一种相对参考椭球的垂线偏差。2.关于垂线偏差测定的概念测

45、定方法二：当测定了某地面点P的重力，还可通过确定重力线与正常椭球正常重力方向（正常椭球法线）偏差测定垂线偏差，这种方法测得的垂线偏差称重力垂线偏差，也称绝对垂线偏差。这是一种相对正常椭球的垂线偏差。现代参考椭球已采用地心定位，参考椭球已与正常椭球一致，因而已不存在绝对与相对垂线偏差之说。实际应用中垂线偏差的测定一般采用天文、大地、重力等综合资料，在一定区域建立垂线偏差格网模型，对垂线偏差的子午、卯酉分量进行离散化数字表达，并用数据库技术进行存贮、传输、更新与查询六、天文方位角与大地方位角的关系- Laplace equation 1.拉普拉斯方程 由图可知：R1-R是观测方向的垂线偏差改正；为

46、获得M1-M，在直角三角PM1M中应用纳白尔规则得：近似地，有其中，右侧第二项为垂线偏差影响，即：代入第二式，得垂线偏差影响微小，可忽略，得大地方位与天文方位角的关系式-拉普拉斯方程（注意：与重力位中的拉普拉斯算子区分）顾及是将天文北方向化为大地北方向的改正，它仅与点的位置有关，对某一测站这项改正是一常量2.需了解的概念拉普拉斯点：观测了天文经纬度和方位角的大地点拉普拉斯方位角：通过拉普拉斯方程将天文方位角归算的大地方位角大地坐标和天文纬度的误差对拉普拉斯方位角的影响较小，可不予考虑通常认为拉普拉斯方位角只与天文方位角和天文经度的精度有关。拉普拉斯方位角作用：三角锁网的起始方位角，控制三角锁网

47、的方位误差，在卫星大地测量中没用。5-6 大地坐标系与大地极坐标系的关系一、大地极坐标系与大地问题解的概念（Polar Geodetic Coordinate System）1.大地极坐标系构成椭球面上点P(S,A) 极轴：过极点P1的子午线P1N极点：椭球面上某已知点极角：大地线在极点的大地方位角极径：P1P2的大地线长SNP1P2SA2.大地主题解算的一般说明大地元素：指以椭球面基准面，法线为基准线形成的大地经度L、大地纬度B，两点间的大地线长度S及其正、反大地方位角A12、A21 大地主题解算的正解和反解大地主题解算的解析意义：大地主题正解和反解的实质是大地极坐标（、A）与大地坐标（L、

48、B）间的相互变换。大地主题解算的应用在大地测量中，用来推求一等三角锁中各点的大地坐标或反算边长和方位角的在空间技术、航空、航海、国防等方面进行几十上万公里解算的距离上的坐标正反算。 大地主题解算解算分类：从解算距离分：大地主题解算可分为短距离(400km以内)，中距离(400000km)及长距离(1000km以上)三种。从解算方法分：一百多年以来，学者提出了种类繁多的公式和方法，至目前已有70余种，可大致可归纳成以下五类：）直接在地球椭球面上进行积分运算 这类方法以前述大地线（在大地坐标系中的）,微分方程为基础：微分方程将大地线长度作为独立变量，将四个变量B、L、A、S紧紧联系在一起。它们是常一阶微分方程，沿P1和P2点间的大地线弧长积分得： 这类方程解算必须用趋近法，为此需要将上述积分进行变换，其中一种方法是运用勒让德级数将它们展开为大地线长度S的升幂级数，再逐项计算以达到主题解算的目的。 这类解法的典型代表