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第四节 对数留数与辐角原理一、对数留数二、辐角原理三、路西定理四、小结与思考一、对数留数1. 定义具有下列形式的积分:说明:1) 对数留数即函数 f(z)的对数的导数在C内孤立奇点处的留数的代数和;2) 函数 f(z)的零点和奇点都可能是的奇点.2. 定理一内零点的总个数, P为 f(z)在C内极点的总个数.其中, N为 f(z)在C且C取正向. 注意: m级的零点或极点算作m个零点或极点.证证毕由以上所述和留数定理，得二、辐角原理.不一定为简单闭曲线, 其可按正向或负向绕原点若干圈.1. 对数留数的几何意义单值函数等于零结论:(k总为整数)对数留数的几何意义是 绕原点的回转次数k由定理一及对数留数的几何意义得可计算f(z)在C内零点的个数此结果称为辐角原理2定理二 (辐角原理)如果 f(z)在简单闭曲线C上与C内解析, 且在C上不等于零, 那么 f(z)在C内零点的个数等于乘以当z沿C的正向绕行一周 f(z)的辐角的改变量.三、路西定理定理三(路西定理)说明:利用此定理可对两个函数的零点个数进行比较 .证在C内部解析证毕例1 试证方程证在圆内的零点数也为n例2 对数留数.解所以这些零点是二级零点, 从而是 f(z) 的二级极点.所以由对数留数公式得四、小结与思考 通过本课的学习, 应熟悉对数留数及其与函数的零点及极点的关系; 了解辐角原理与路

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