数学开放性问题课件

1、1 数学开放性问题2研究的历史 概念、分类及其特点教育价值及研究的必要性编制问题 教学及注意的问题开放题及其教学展望 3教学理念 数学教育要从以获取知识为首要目标转变为首先关注人的发展，创造一个有利于学生生动活泼、主动发展的教育环境，提供学生充分发展的空间 . 新课标指出：“教师可以引导学生解决开放性问题”. 4（一）研究的历史 一、国际研究概况日本：1971年，以岛田茂为首的一个日本学者群体率先研究“开放式结尾问题”，于1977年发表了名为算术、数学课的开放式问题改善教学的新方案的报告文集。 经典问题：“水槽问题”、“投石子问题” “几何体分类问题” 。美国：权威教育机构全国数学教师理事会就

2、曾提出，“问题解决是数学教学的核心”，在这一过程中，一些被认为是“好”的数学问题，有的就是数学开放性问题。5二、 国内研究情况1.引入阶段阶段1980年第4期外国教育杂志刊登日本学者泽田利夫从“未完结问题”提出的算术、数学课的教学方案一文 .2.试验阶段1984年，浙江教育学院教授戴再平首先运用开放题进行测试；1990年，胡林瑞对安徽黄山市的一所中学的学生也进行了数学开放题的测试；1993年，戴再平在浙江五所中学运用开放题进行了数学实验。试验的题目分别是：783.深入阶段国外有关数学开放题的信息进一步介绍到我国。编制出一批具有中国特色的数学开放题，开放题开始进入课堂。数学开放题的教学广泛形成，

3、形成一批优秀教学设计。开放题进入中考和高考。 数学开放题的研究成果大量涌现，研究队伍迅速扩大. 从数学开放题走向开放式教学 。9（二）概念及其分类 一、数学开放题的概念 现代汉语词典这样解释开放，“解除禁锢、限制、封锁等。”即放开自己的心扉容百川之水，这就是开放。 数学开放题，又称数学开放型题或叫数学开放性问题，它是相对数学封闭题而言的。这是一个并非业经“全国自然科学名词审定工作委员会”审定的规范数学名词。 10代表性的提法： 答案不固定或者条件不完备的题，称为开放题;（戴再平） 具有多种不同的解法，或有多种可能的答案的题称为开放性问题；（郑毓信） 答案不唯一的问题称为开放性问题；（俞求是）

4、数学开放题是条件不完备，结论不确定的数学问题。（刘萍）（三）数学开放题的教育价值 及其研究的必要性一、 教育价值1.有利于培养学生良好的思维品质。 2.能保障学生的主体地位,有助于学生主体意识的形成。 3.开放题的教学有利于全体学生的主动参与,有利于实现教学的民主性和合作性。4.开放题的教学有利于学生体验成功,树立自信心,产生学习数学的兴趣。 5.数学开放题有助于提高学生解决问题的能力。 二 、研究的必要性1.当前我国教育出现的问题（1）来自一线教师的困惑个案1 北京市某中学数学考试中有这样一道题：用尺规作图法作出一个角的对顶角。个案2 某校中学期未考试中有这样一道题：A、B两人从甲乙两地骑车

5、同时相对出发，A每小时行15公里，B每小时行10里。A行了2小时后，自行车坏了，修了半个小时的车子，然后又骑车行了半个小时与B相遇，问甲乙两地相距多少公里？ 个案3 某高校初等数学研究课期中考试出了这样一道题： 若函数与函数是两个不同类型的函数，且它们有相同的定义域、相同的单调区间、相同的周期、相同的奇偶性，试写出这样的一个函数。 1 教学设计把握了两点：依附 基础性和层次性引领 针对性和及时性 12.关于开放题的教学过程要重视过程 要重视小结要重视互动1 （五）开放题教学对教师的要求一、更新观念1. 教学观念 第一，教学要启发学生学习数学的兴趣。 第二，教学要体现探究的思想。 第三， 提倡合

6、作和交流。 2. 学习观念 保障学生的主体地位 让每位学生学有所获 承认学生学习的个体差异性 培养学生的创新意识和创新能力 1（2）来自国外数学家的困惑美国著名的数学教育家舍费尔德用下面一道题对中国的小学生做了一个测试，一艘船上载了75头牛，32只羊，问船长几岁？我国数学教育显著特点：重视逻辑思维的训练，重视基本知识、基本技能的训练。题外话：在全日制义务教育数学课程标准（实验稿）中，关于乘法的以下注解引起了许多争论。“关于乘法：3个5，可以写作，也可以写成。读作3乘5，3和5都是乘数（也可叫因数）”。14 集体学习 用抢答的办法请学生在纸上用3分钟的时间尽可能多地写出第（2）题的解答，比谁写得

7、多。5 总结 引导学生思考问题：试比较（1） 、（3） 题与第（2） 题有什么共同点和不同点？并得出这两类问题的结论： 共同点：三个题都是讨论二次三项式 在整数范围内的因式分解问题：在 系数之中有一个是已知数，另一个是待确定的数。1 引例： 如果所给的式子是 ，为使式子在整数范围内仍可因式分解（在整数范围内），那么“（ ）”内应填什么数？ 师生共同讨论引例的解答，教师注意引导学生发现解答的多样性和负整数解。2. 个别学习 让学生解答第（1）题及下题： （3）为了使 可以因式分解（在整数范围内）， 可取那些整数？ 让学生独立思考（1）、（3）题的解答，要求学生尽可能多地写出解答。11.关于开放题

8、的教学内容要注意低起点 开放题要有趣味性开放题要有层次性 开放题要有一定的开放度 11 综合一些学者的观点，我认为： 开放题应该是指那些条件不完备或答案不确定的习题。 这里的条件不完备是指条件不足、不充分（有时甚至有多余），而答案不确定是指答案需要进行多方面、多层次、多角度地进行探索才能逐步明确或确定。其中条件的不完备性和答案的不确定性是开放题的两个基本特征。12如，计算 .改变问题： 试写出一个有关乘法运算的式子，要求其运算结果为6，即 .显然， 都符合要求 .13对数学开放题的认识，有几点值得我们注意：第一，我们这里所说的开放题不同于传统意义上所说的“一题多解”。 如：甲、乙两数的和是18

9、，甲、乙两数的比是2：7，甲数是多少？14 其解法有: ， ， ， ， ；或设甲数是 ， 乙数为 ，方程为 。15 第二，我们这里所指的答案，是指问题本身的答案，而不是形式上的答案。 如，解方程 方程有两个解： 但其中任意一个不能单独地成为问题的正确答案 。也就是说方程的答案是唯一的。 因此，这是一道封闭题。16 如果我们改变这个问题的设问方式： 试找出使等式 成立的实数 。 这时方程的一个解或两个解都可以成为问题的正确答案，它具备了开放题的特征，可以认为是一道开放题。17 第三，我们在理解数学问题的答案时还应与数学命题的结论区别开来。这是两个不同的概念，不能混为一谈。 戴再平教授认为：问题的

10、“结论”是问题系统内部相对问题的“条件”而言，问题的“答案”（解法）是相对于整个问题而言的。如， 例 在括号内填上适当的数，使得式子成立。 显然这里的结论是唯一的，但问题的答案却是多种多样。18第四，开放题应该是相对于特定经验和知识水平的一类学生而言的. 一个问题是不是开放，特别是对一些开放度比较低的问题，更是要视其对象自身的经验和知识水平而论.一般说来，知识越多，经验越丰富，问题的开放度相应地也就要求高一些.如，试尽可能地找出使不等式 成立的实数 .又如，19第五，相对于开放题而言，还有一种探索题，这种题型曾被不少学者认为是开放题，有必要将这两者区别开来。探索题是按数学题构成要素标准进行分类

11、的一种题型。开放题是按开放性分类的题（开放题和封闭题），是针对封闭题而言的，其主要特征是条件不完备或答案不确定，并在设问方式上要求解题者进行多方面、多角度、多层次的探索。20尽管探索题和开放题都离不开探索，但探索的目的和自由度是不一样的。前者主要是对未知要素加以探索，思维有一定的方向性；后者则主要要求在设问方式上进行多方探索，思维呈发散性。开放题大都属于问题性题，也有的可能属于探索性，即开放题集合与探索题集合的交集应该是非空的。21二、数学开放题的分类 依据开放题的解题目的，可分三种：发现关系和法则的问题；分类问题；数值化问题。 依据答案结构，可分为有限穷举型、有限混沌型、无限离散型、无限连续

12、型四类 。 依命题要素，可分条件开放型、策略开放型、结论开放型和综合开放型。 但从开放题的涵义看，我认为，开放题可分为三类：条件开放型、结论开放型和综合开放型。22 若仅是条件不完备，则为条件开放题. 已知 是 中 边上的两点， 要证明 ，还应补充一个什么条件？ 条件开放型此题的结论唯一，即证明 . 寻求这个结论成立的方法（答案）却是多种多样的，或通过角的关系，或通过线段的关系，或通过三角形的面积关系等，可找到若干补充条件的方法.232. 结论开放型 若仅是结论不确定，则为结论开放题. 例 如图，在平行四边形ABCD 中，E、F 分别是AD、BC的中点，AF、CE 分别交BD 于G、H，试就有

13、关图形的形状、大小和关系得出尽可能多的结论。 本题可以从角的相等、角的互补、线段的相等、线段成比例、直线平行、三角形全等、三角形相似、图形面积等多方面探求结论，故属结论开放题。243.综合开放型 若问题只给出一定的情境，其条件、解题策略与结论都需要解题者自行设定与寻找，则此类题便为综合开放题.例 在一矩形地块上，欲劈出一部分作为花坛，要使花坛的面积为矩形面积的一半，请给出你的设计（第17世界国际数学教育心理学会议的公开课的问题）.此题只用一般性的语言来描述问题的背景，解题的策略和依据都不明确.其条件和结论均呈现出极大的开放性，故是一道综合性开放题.25三、开放题的特点 内容具有新颖性条件复杂、

14、结论不定、解法灵活、无现成模式可套形式具有生动性追溯条件多种、探求多种结论、寻找多种解法 问题解决具有发散性综合运用观察、想象、分析、综合、类比、演绎、归纳、概括等思维方法， 教育功能具有创新性 （三）数学开放题的教育价值 及其研究的必要性一、 教育价值1.有利于培养学生良好的思维品质。 2.能保障学生的主体地位,有助于学生主体意识的形成。 3.开放题的教学有利于全体学生的主动参与,有利于实现教学的民主性和合作性。4.开放题的教学有利于学生体验成功,树立自信心,产生学习数学的兴趣。 5.数学开放题有助于提高学生解决问题的能力。 二 、研究的必要性1.当前我国教育出现的问题（1）来自一线教师的困

15、惑个案1 北京市某中学数学考试中有这样一道题：用尺规作图法作出一个角的对顶角。个案2 某校中学期未考试中有这样一道题：A、B两人从甲乙两地骑车同时相对出发，A每小时行15公里，B每小时行10里。A行了2小时后，自行车坏了，修了半个小时的车子，然后又骑车行了半个小时与B相遇，问甲乙两地相距多少公里？ 个案3 某高校初等数学研究课期中考试出了这样一道题： 若函数与函数是两个不同类型的函数，且它们有相同的定义域、相同的单调区间、相同的周期、相同的奇偶性，试写出这样的一个函数。 28（2）来自国外数学家的困惑美国著名的数学教育家舍费尔德用下面一道题对中国的小学生做了一个测试，一艘船上载了75头牛，32

16、只羊，问船长几岁？我国数学教育显著特点：重视逻辑思维的训练，重视基本知识、基本技能的训练。题外话：在全日制义务教育数学课程标准（实验稿）中，关于乘法的以下注解引起了许多争论。“关于乘法：3个5，可以写作，也可以写成。读作3乘5，3和5都是乘数（也可叫因数）”。292. 时代对数学教育提出了新要求当今天时代，知识与信息呈两大特点：一是种类繁多，二是发展迅速. 培养学生的能力-具有迅速、准确的感知、判断、信息的能力.培养学生新的价值观念-自尊、自信、自强，不盲从权威，不迷信书本. 30 1. 弱化条件（1）去掉限制性的词语例 三条直线最多能把平面分成几个部分？这里“最多”一词，使问题的答案唯一。若

17、去掉“最多”一词，则使问题变得开放。即有开放题：“三条直线能把平面分成几个部分？”此问题可根据三条直线不同的位置关系，而得出不同的答案 .（四）数学开放题编制问题31（2）减少条件个数 例：已知 是等腰三角形，过 的一个顶点的一条直线把 分成两个小等腰直角三角形，问 的三个内角的度数是多少？ 原问题的条件包含有三： 是等腰三角形；两小三角形是等腰三角形；两小三角形是直角三角形。 将等腰、直角三角形这两条件予以弱化，即去掉直角三角形这个条件，变等腰直角三角形为等腰三角形，就得开放题： 已知 是等腰三角形，过 的一个顶点的一条直线把 分成两个小等腰三角形，问 的三个内角的度数可能是多少？32（3）

18、改变条件如，封闭题“因式分解 ”.以字母分别取代一次项系数7和常数项-18而获得开放题：为了使式子：“（1） ，（2） 可以因式分解（在整数范围内）， 可以取那些整数？”332.隐去结论 如: “学校有足球6 只,篮球比足球多3 只,排球数是篮球的2倍。学校一共有足球、篮球和排球多少只？” 我们只要隐去此题的结论“学校一共有足球、篮球和排球多少只？”，就可得开放题： 学校有足球6 只，篮球比足球多3 只,排球数是篮球的2倍。根据上述条件可提出那些问题？ 343.引伸推广如前例中，我们把“最多”一词去掉后得开放题：三条直线能把平面分成几个部分？在此基础上，我们补充一句话，“试将这个问题进行推广”

19、，又可得新的开放题：三条直线能把平面分成几个部分？试将这个问题进行推广。这道开放题可考虑按直线的数目和平面向空间的方向推广。如：（1）三个平面将空间分成几个部分？（2）平面上4条直线把平面分成几个部分？当然还可以考虑把“4条直线”推广为“ 条直线”.354.改变实际背景和数据例： 把含盐的食盐水和含盐的食盐水混合制成含盐的食盐水克，应取两种食盐水各多少克？请参照此题编一道类似的应用题，使得所编题满足如下要求：（1）改变实际背景和数据；（2）不改变列二元一次方程组的形式和解法。不难得出上述问题中的方程组具有形式：36 适当改变问题中的背景和数值，能得出一组新的应用题： （1）甲、乙两工厂，计划在

20、上月份共生产机床台，结果甲厂完成了计划的，乙厂完成了计划的。两厂共生产了机床台，上月份两厂各超额生产了机床多少台？ （2）某校初三年级有两个班，中考体育成绩优秀者共有人；全年级的优秀率为，其中一班的优秀率为，二班的优秀率为，求一、二班的人数。 （3）某村的两块小麦地原来可以收小麦公斤，改用良种后，这两块地一共收小麦公斤。已知第一块地的收成增加，第二块地的收成增加。这两块地原来各可以收小麦多少公斤？37 注意： 第一，问题应体现某一完整的数学思想方法，能通过开放题帮助理解、掌握和深化数学知识； 第二，问题要把握一个合适的度，具备知识起点适当、解题策略多样的特点； 第三，问题的解答要有层次性，有的

21、在现有的思维水平上，有的在其思维发展的最近发展区； 第四，问题要有进一步拓展引申的可能，使学生在解决问题的过程中能发现数学更一般、内在的规律，以促进学生探索精神和创新能力的形成。38（五）开放题教学及应注意 的问题一、教学案例 问题：为了使下列式子可以因式分解（在整数范围内）， 可以取那些整数？ （1） ，（2） .教学过程：1. 课题引入 复习提问：因式分解 要求学生口答结果 ，并说明用什么方法因式分解（复习十字相乘法）.39 引例： 如果所给的式子是 ，为使式子在整数范围内仍可因式分解（在整数范围内），那么“（ ）”内应填什么数？ 师生共同讨论引例的解答，教师注意引导学生发现解答的多样性和

22、负整数解。2. 个别学习 让学生解答第（1）题及下题： （3）为了使 可以因式分解（在整数范围内）， 可取那些整数？ 让学生独立思考（1）、（3）题的解答，要求学生尽可能多地写出解答。403 班级交流 请几位学生向全班介绍自己的工作，待学生穷尽了所有答案，并从直观上深信不再有其它解答后，引导学生思考问题： 这类问题解答的个数与什么有关？为什么 可取6个不同的整数， 可取10个不同的整数？ 让学生在讨论中领悟到规律：解答的个数与项的系数及常数项的因数分解的方法数有关。414 集体学习 用抢答的办法请学生在纸上用3分钟的时间尽可能多地写出第（2）题的解答，比谁写得多。5 总结 引导学生思考问题：试比较（1） 、（3） 题与第（2） 题有什么共同点和不同点？并得出这两类问题的结论： 共同点：三个题都是讨论二次三项式 在整数范围内的因式分解问题：在 系数之中有一个是已知数，另一个是待确定的数。42不同点：题（3）题中 是已知数，若 ，则 .因为 的分解方法是有限的，所以 可取的整数值也有限； 题（2）中 是已知数，若 ，则则 ，因为 表示为两个整数的方法是无限的，所以 的可取值有无限多个. 此外，教师还可作进一步的分析.43 教学设