2019_2020学年高中数学第3章三角恒等变换3.3几个三角恒等式讲义苏教版必修4

1、学习目标3.3几个三角恒等式核心素养(教师独具)1.能运用所学知识，推导积化和差与和差化积(公式、万能代换公式(重点)通过学习本节内容，提升学生的数学运算和逻2.能利用所学公式进行三角恒等变换重点、辑推理核心素养.难点)sin2，cos2，1cos2思考：如何用cos表示sin2，cos2？2222一、降幂公式1cos221cos221cos2tan2.221cos1cos提示sin2；cos2二、积化和差与和差化积公式.1思考辨析(1)sin(AB)sin(AB)2sinAcosB()(2)cos(AB)cos(AB)2sinAcosB()(3)cos()cos()cos2cos2.()(3

2、)cos()cos()(cos2cos2)2若cos，且，则cos_.53，解析(1)正确(2)cos(AB)cos(AB)2sinAsinB.12答案(1)(2)(3)33522352224225cos1cos5.3若tan3，则cos_.521cos54若tan1，则tan_.241cos4tan29，cos.2222222tan12tan，tan21tan22tan10，解得tan12.2221(cos100cos40)sin70(2sin70sin30)sin704224应用和差化积或积化和差求值【例1】求sin220cos250sin20cos50的值思路点拨：先降幂，再和差化积，或

3、积化和差求解1cos401cos1001解原式(sin70sin30)111224311422311sin70sin703.1已知coscos，sinsin，求sin()的值解coscos，又sinsin，222sincos1tan122221tan1tan1tan21t21tan21t222222322222222212sin().【例2】设tant，求证：(t1)22221t套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来.11231212sins

4、in.1312cossin.3sin0，由，得tan，3即tan.32sincos2tan29132224万能代换公式的应用1sin121sincos2思路点拨：利用万能代换公式，分别用t表示sin，cos，代入待证等式的左端即可证明2tan1tan21tan2证明由sin及cos，得1sin2221t2，1sincos，1tan2故1sin在万能代换公式中不论的哪种三角函数包括sin与cos都可以表示成tant2已知cos，且180270，求tan.解180270，90135，tan0.223由cos，得，222又tan0，tan2.提示：降幂公式：sin2，cos2.辅助角公式：asinb

5、cosa2b2sin()，其中tan.，7【例3】求函数f(x)53cos2x3sin2x4sinxcosx，x4241(t1)1sincos22的“有理式”，将其代入式子中，就可将代数式表示成t的函数，从而就可以进行相关代数恒等式的证明或三角式的求值.352221tan21tan251tan21tan2解得tan24.22f(x)asin2xbsinxcosxccos2x的性质探究问题1要研究上述f(x)的性质必须把f(x)化成什么形式？提示：把f(x)化成Asin(x)B的形式2在上述转化过程中，要用到哪些公式？1cos21cos222ba的最小值，并求其单调减区间思路点拨：化简fx求最小

6、值，单调减区间的解析式fxAsinxBx的范围解f(x)5332sin2x3323cos2x2sin2x334sincos2xcossin2x2x334sin2x，331cos2x1cos2x223cos2x3341sin2x2233334sinx，2x.7424634sin2x，.当2x，即x时，7ysin2x在，上单调递增，7f(x)在，上单调递减解f(x)334sin2x，令2xk，kZ，得x，kZ.1232273424f(x)取最小值为3322.34244241(变结论)本例中，试求函数f(x)的对称轴方程3k53221225所以函数f(x)的对称轴方程为xk12，kZ.2(变条件)本

7、例中，函数解析式变为f(x)3sin2x2sin2x(xR)，求解f(x)3sin2x1cos2x231sin2xcos2x12sin2x1，由2k2x2k，kZ，612f(x)的单调递减区间121221221233232得kxk，kZ，511f(x)的单调递减区间为k，k，kZ.(3)利用f(x)asinxbcosxa2b2sin(x)其中tana，化为“一个角”(2)半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos的值及相应的条件，便可求出sin，cos，tan.21cos2sin2(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用sin2，cos2511121212121研

8、究函数性质的一般步骤：(1)对函数式化简；(2)借用函数图象，运用数形结合法研究函数的性质2对三角函数式化简的常用方法：(1)降幂化倍角；(2)升幂角减半；b的函数教师独具1本节课的重点是半角公式，难点是半角公式的应用2要掌握三角恒等变换的三个应用(1)求值问题；(2)化简问题；(3)三角恒等式的证明3对半角公式的四点认识(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的2222sin1cos(3)由于tan及tan不含被开方数，且不涉及符号问题所以求解关于tan的题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件1cos2221cos2求解1已知tan，则sin2()555512334A.BC.4Dcos2sin21tan2122152原式sin(37.57.5)sin(37.57.5)22224cos15sin65cos15cos252cos20cos5(2)求函数f(x)在0，上的最小值与最大值cos2x3sin2x42sin2x4.所以函数f(x)的最小正周期T.(2)0 x，2x，当x时，2x，函数f(x)取得最小值为5.当x时，2x，函数f(x)取得最大值为6.2sincos2tanDsin24.122sin37.5cos7.5_.21142112121(sin45sin30