中考数学 专题03 将军饮马求最小值2-平移（解析版）

1、中考数学压轴题-二次函数第3节 将军饮马求最值2-平移 内容导航方法点拨已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)（1）点A、B在直线m两侧： 过A点作ACm,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。（2）点A、B在直线m同侧： 例题演练 例1如图1，抛物线yx与x轴交于点A，B（A在B左边），与y轴交于点C，连AC，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，过点D作DEAC交抛物线于点E，交y轴于点P（1）点F是直线AC下方抛物线

2、上点一动点，连DF交AC于点G，连EG，当EFG的面积的最大值时，直线DE上有一动点M，直线AC上有一动点N，满足MNAC，连GM，NO，求GM+MN+NO的最小值；【解答】解：（1）如图1中，作FHy轴交DE于H设F（m，m2+m+2）由题意可知A（6，0），B（2，0），C（0，2），抛物线的对称轴x4，C，D关于直线x4对称，D（8，2），直线AC的解析式为yx+2，DEAC，直线DE的解析式为yx+，由，解得或，E（2，），H（m，m+），SDEFSDEG+SEFG，DEG的面积为定值，DEF的面积最大时，EFG的面积最大，FH的值最大时，DEF的面积最大，FH的值最大时，EFG的面积

3、最大，FHm2m+，a0开口向下，x3时，FH的值最大，此时F（3，）如图2中，作点G关于DE 的对称点T，TG交DE于R，连接OR交AC于N，作NMDE于M，连接TM，GM，此时GM+MN+ON的值最小直线DF的解析式为：yx2，由，解得，G（，），TGAC，直线GR的解析式为yx，由，解得，R（，），RG4，OR，GMTMRN，GM+MN+ONRN+ON+RGRG+ON4+GM+MN+NO的最小值为4+练1.1如图1，已知抛物线yx2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接BC（1）点G是直线BC上方抛物线上一动点（不与B、C重合），过点G作y轴的平行线交直线BC于点

4、E，作GFBC于点F，点M、N是线段BC上两个动点，且MNEF，连接DM、GN当GEF的周长最大时，求DM+MN+NG的最小值；【解答】解：（1）yx2+2x+3（x3）（x+1）（x1）2+4抛物线与x轴交于点A（1，0）、点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点D（1，4），直线CB解析式：yx+3，BCO45GEy轴，GFBCGEFBCO45，GFE90GEF是等腰直角三角形，EFFGGECGEFEF+FG+GE（+1）GE设点G（a，a2+2a+3），则点E（a，a+3），其中0a3GEa2+2a+3（a+3）a2+3a（a）2+a时，GE有最大值为GEF的周长最大时，G（，），

5、E（，），MNEF，E点可看作点F向右平移个单位、向下平移个单位如图1，作点D关于直线BC的对称点D1（1，2），过N作ND2D1M且ND2D1MDMD1MND2，D2（1+，2）即D2（，）DM+MN+NGMN+ND2+NG当D2、N、G在同一直线上时，ND2+NGD2G为最小值D2GDM+MN+NG最小值为练1.2如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+2x3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l，点D（4，n）在抛物线上（1）求直线CD的解析式；（2）E为直线CD下方抛物线上的一点，连接EC，ED，当ECD的面积最大时，在直线l上取一点M，过M作y轴的垂

6、线，垂足为点N，连接EM，BN，若EMBN时，求EM+MN+BN的值【解答】解：（1）由题意C（0，3），D（4，5），设直线CD的解析式为ykx+b，则有解得，直线CD的解析式为y2x3（2）如图1中，过点E作EGy轴交直线CD于G设E（m，m2+2m3）则G（m，2m3），GEm24mSEDCEG|Dx|（m24m）42（m+2）2+8，20，m2时，DEC的面积最大，此时E（2，3），C（0，3），ECAB，设CE交对称轴于H，B（1，0），EHOB1，EMBN，RtEHMRtBON，MHONOC，EMBN，EM+MN+BN1+练1.3如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x+b与x轴交

7、于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，OB1，OBC60（1）如图1，求直线BC的解析式；（2）如图1，线段AC上方抛物线上有一动点P，PDx轴于点H，交线段AC于点D，直线BGAC，交抛物线于点G，点F是直线BC上一动点，FEBC交AC于点E，点Q是点A关于直线BG的对称点，连接PE、QF当线段PD取最大值时，求PE+EF+QF的最小值及点E的坐标；【解答】解：（1）在BOC 中，OB1，OBC60BC2，OC抛物线解析式为：；令y0，得解之得，x13，x21A（3，0），B（1，0），C（0，）设直线BC解析式为：ykx+b，经过B（1，0），C（0，），；（2）设直线AC解析式

8、为：yk1x+b1，经过A（3，0），B（1，0），得设P点坐标为，则D点坐标为PD当时，PD有最大值P点坐标为；在RAOC中，可以求出AC2，AB4AC2+BC212+416AB2由勾股定理逆定理得，可得ACB90，可得CAB30ABG，由对称可得，ABBQ4，ABQ30+3060，ABQ 是等边三角形过点Q作QMx轴于点MMB4，且OB1OM1，QM2Q点坐标为（1，2）；由题意得，四边形BCEF是矩形，可得EFBC2将Q点沿射线EF方向平移2个单位（向左平移1个单位，向上平移个单位），可得Q的坐标为（2，），连接P Q交AC于点E，点E即为所求P QPE+EF+QF最小值P Q+EF+2

9、，直线P Q的解析式为：联立，解得：x，故E点坐标；练1.4如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+2x与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点E，直线CE交抛物线于点F（异于点C），直线CD交x轴交于点G（1）如图1，求直线CE的解析式和顶点D的坐标；（2）如图1，点P为直线CF上方抛物线上一点，连接PC、PF，当PCF的面积最大时，点M是过P垂直于x轴的直线l上一点，点N是抛物线对称轴上一点，求FM+MN+NO的最小值；【解答】解：（1）抛物线yx2+2x与y轴交于点C，C（0，），yx2+2x（x2）2+，顶点D（2，），对称轴x2，E（2

10、，0），设CE解析式ykx+b，解得：，直线CE的解析式：yx；（2）直线CE交抛物线于点F（异于点C），x（x2）2+，x10，x23，F（3，），过P作PHx轴，交CE于H，如图1，设P（a，a2+2a） 则H（a，a），PHa2+2a（a），a2+，SCFPPH3a2+，当a时，SCFP面积最大，如图2，作点M关于对称轴的对称点M，过F点作FGMM，FG1，即G（4，），M的横坐标为，且M与M关于对称轴x2对称，M的横坐标为，MM1，MMFG，且FGMM，FGMM是平行四边形，FMGM，FM+MN+ONGM+NM+ON，根据两点之间线段最短可知：当O，N，M，G四点共线时，GM+NM+O

11、N的值最短，即 FM+MN+ON的值最小，FM+MN+ONOG；练1.5如图所示，在平面直角坐标系中，RtAOB的顶点坐标分别为A（2，0），O（0，0），B（0，4），把AOB绕点O按顺时针方向旋转90，得到COD（1）求C、D两点的坐标；（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F的上方），且EF1，使四边形ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标【解答】解：（1）由旋转的性质可知：OCOA2，ODOB4C点的坐标是（0，2），D点的坐标是（4，0）， （2）设所求抛物线的解析式为yax2+bx+c，由题意，得，解得，b1，c4，所求

12、抛物线的解析式为； （3）只需求AF+CE最短，抛物线的对称轴为x1，将点A向上平移至A1（2，1），则AFA1E，作A1关于对称轴x1的对称点A2（4，1），连接A2C，A2C与对称轴交于点E，E为所求，可求得A2C的解析式为，当x1时，点E的坐标为，点F的坐标为练1.6如图1，已知抛物线yx2+2x3与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，D为顶点（1）求直线AC的解析式和顶点D的坐标；（2）已知E（0，），点P是直线AC下方的抛物线上一动点，作PRAC于点R，当PR最大时，有一条长为的线段MN（点M在点N的左侧）在直线BE上移动，首尾顺次连接A、M、N、P构成四边形AMNP，请求出四边形AMNP的周长最小时点N的坐标；【解答】解：（1）对于抛物线yx2+2x3，令y0，得x2+2x30，解得x3或1，A（3，0），B（1，0），令x0，得y3，C（0，3），抛物线yx2+2x3（x+1）24，顶点D坐标为（1，4），设直线AC的解析式为ykx+b，则有，解得，直线AC的解析式为yx3，点D坐标（1，4） （2）如图1中，设P（m，m2+2m3），由题意，当PR最大时，ACP的面积最大，即四边形APCO的面积最大，S四边形APCOSAOP+SPOCSAOC3（m22m+3）+3