中考数学 专题11 存在性-等腰直角三角形（解析版）

1、中考数学压轴题-二次函数-存在性问题第11节 等腰直角三角形的存在性 方法点拨第一步：易证BADECB，如果再加一个条件BD=BE，此时BADECB（AAS）所以，AB=CE，AD=CB第二步：根据点坐标来表示线段长度，列等式求解。 例题演练1如图所示，抛物线ya（x+1）（x5）（a0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）当a时，求点A、B、C的坐标；如果点P是抛物线上一点，点M是该抛物线对称轴上的点，当OMP是以OM为斜边的等腰直角三角形时，求出点P的坐标；（2）点D是抛物线的顶点，连接BD、CD，当四边形OBDC是圆的内接四边形时，求a的值【解答】解：对于ya（x+1）（x5

2、）（a0），令ya（x+1）（x5）0，解得x5或1，令x0，则y5a，故点A、B、C的坐标分别为（5，1）、（1，0）、（0，5a），当x2时，ya（x+1）（x5）9a，顶点的坐标为（2，9a）（1）当a时，函数的表达式为y（x+1）（x5），则点A、B、C的坐标分别为（5，1）、（1，0）、（0，2）；过点P作y轴的平行线交过点M与x轴的平行线于点F，交x轴于点E，设点P的坐标为（x，（x+1）（x5），MPO90，MPF+OPE90，OPE+POE90，POEMPF，PFMOEP90，PMPO，PFMOEP（AAS），PEMF，则（x+1）（x5）x2，解得x或4，故点P的坐标为（，）

3、或（4，2）； （2）点B、C的坐标分别为（1，0）、（0，5a），顶点D的坐标为（2，9a）当四边形OBDC是圆的内接四边形时，则BC的中点为该圆的圆心，设BC的中点为点Q，由中点坐标公式得，点Q（，a），则OQDQ，即（）2+（）2（2）2+（9a+a）2，解得a2如图，已知抛物线yax2+4x+c与直线AB相交于点A（0，1）和点B（3，4）（1）求该抛物线的解析式；（2）设C为直线AB上方的抛物线上一点，当ABC的面积最大时，求点C的坐标；（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线ya1x2+b1x+c1（a10），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，是否存在点E使得ADE是以AD

4、为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）将A、B两点代入到解析式中，得，解得，抛物线的解析式为：yx2+4x+1；（2）设直线AB为：yk1x+1，代入点B，得，3k1+14，解得k11，直线AB为：yx+1，设C（m，m2+4m+1），过C作CMy轴交AB于M，如图1，则M（m，m+1），CMm2+4m+1m1m2+3m，SABCSACM+SBCM，C为直线AB上方抛物线上一点，0m3，时，ABC的面积最大值为，此时C（）；（3）抛物线y（x2）2+5，将抛物线向右平移2个单位后得到的抛物线为：yx2+5，联立，解得，D（1，4），如图2，当D

5、ADE，EDA90，E在AD右侧时，过D作x轴平行线交y轴于N，过E作y轴平行线，两线交于F点DAN+NDANDA+EDF90DANEDF，又DNAEFD90，DADE，DNAEFD（AAS），DNEF1，ANDF3，E（4，3），当DADE，EDA90，E在AD左侧，同理可得，E（2，5），当ADAE，DAE90，E在AD左侧时，同理可得，E（3，2），当ADAE，DAE90，E在AD右侧时，同理可得，E（3，0），综上所述，E（4，3）或（2，5）或（3，2）或（3，0）3如图，已知抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（1，0），C（0，3）（1）求该抛物线的

6、函数表达式；（2）抛物线与直线yx1交于A、E两点，P是x轴上点B左侧一动点，当以P、B、C为顶点的三角形与ABE相似时，求点P的坐标；（3）若F是直线BC上一动点，在抛物线上是否存在动点M，使MBF为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；否则说明理由【解答】解：（1）把A（1，0），C（0，3）代入yx2+bx+c，得：，解得：，抛物线的函数表达式为yx2+2x+3；（2）联立直线AE和抛物线的函数关系式成方程组，得：，解得：，点E的坐标为（4，5），AE5，在yx2+2x+3中，令y0，得：x2+2x+30，解得：x13，x21，点B的坐标为（3，0），C（0，3），OBOC3，B

7、OC90，CBO45，BC3，直线AE的函数表达式为yx1，BAE45CBO设点P的坐标为（m，0），则PB3m，以P、B、C为顶点的三角形与ABE相似，或，或，解得：m或m，点P的坐标为（，0）或（，0）；（3）CBO45，存在两种情况（如图2）取点M1与点A重合，过点M1作M1F1y轴，交直线BC于点F1，CBM145，BM1F190，此时BM1F1为等腰直角三角形，点M1的坐标为（1，0）；取点C（0，3），连接BC，延长BC交抛物线于点M2，过点M2作M2F2y轴，交直线BC于点F2，点C、C关于x轴对称，OBC45，CBC90，BCBC，CBC为等腰直角三角形，M2F2y轴，M2BF

8、2为等腰直角三角形点B（3，0），点C（0，3），直线BC的函数关系式为yx3，联立直线BC和抛物线的函数关系式成方程组，得：，解得：，点M2的坐标为（2，5），综上所述：点M的坐标为（1，0）或（2，5）4如图，抛物线yax2+bx3（a0）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，OB3，抛物线经过点（2，5）（1）求该抛物线解析式；（2）如图1，该抛物线顶点D，连接BD、BC，点P是线段BD下方抛物线上一点，过点P作PEy轴，分别交线段BD、BC于点F、E，过点P作PGBD于点G，求2PG+EF的最大值，及此时点P的坐标；（3）如图2，在y轴左侧抛物线上有一动点M，在y轴上有一动点N，是否存在

9、以AN为直角边的等腰直角三角形AMN？若存在，请直接写出点M的坐标【解答】解：（1）OB3，B（3，0）把C（3，0）和点（2，5），代入抛物线yax2+bx3，得，解得，抛物线解析式为yx2+2x3；（2）延长PE与x轴交于点M，FMx轴，PGBD，如图所示，FMB90，PGF90，BFMPFG，MBFGPF，B（3，0），D（1，4），B、D两点的横坐标距离为2，纵坐标距离为4，由勾股定理得BD2，cosMBFcosGPF，2PG+EFEF+2FP，C（0，3），设直线BC解析式为lBC：ykx+b（b0），把B（3，0）和C（0，3）代入得，解得，lBC：yx3，同理，直线BD得解析式为

10、：y2x6，设E（m，m3），P（m，m2+2m3），F（m，2m6），EF+2FPm3（2m6）+2（2m6）（m2+2m3）2（m+）2+，当m时，EF+2FP有最大值，2PG+EFEF+2FP，此时，P点坐标为P（，）；（3）存在，设N（0，y1），M（x2，+2x23），当y0时，代入抛物线yx2+2x+3中，解得两根为3和1，A在y轴右侧，A（1，0），AN2OA2+ON21+y12，AM2（x21）2+（+2x23）2，MN2+（+2x23y1）2，当ANMN时，此时由ANMN，等腰直角三角形各边比为1：1：，M点横坐标为1或31，将M的横坐标为1或31，代入yx2+2x3中得，M

11、点坐标为（1，2）或（31，14），由ANMA得：M点横坐标为22或22，将M点横坐标为22或22代入yx2+2x+3中，得M点坐标为（22，17+844）或（22，33+844），综上所述，M点坐标为（1，2）或（31，14），（22，17+844）或（22，33+844），5如图，抛物线C1：yx2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C1向右平移m（m0）个单位得到物度C2，C2交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C（1）求抛物线C1的解析式及顶点坐标；（2）以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C2的解析式

12、及D点坐标【解答】解：（1）抛物线C1经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0），解得，抛物线C1的解析式为yx22x，抛物线C1的顶点坐标（1，1）（2）如图，抛物线C1的向右平衡m（m0）个单位得到抛物线C2，C2的解析式为y（xm1）21，A（m，0），B（m+2，0），C（0，m2+2m），过点C作CH对称轴DE，垂足为H，ACD为等腰直角三角形，ADCD，ADC90，CDH+ADE90，HCDADE，DEA90，CHDDEA，AEHD1，CHDEm+1，EHHD+DE1+m+1m+2，由OCEH得m2+2mm+2，解得m11，m22（舍去），抛物线C2的解析式为：y（x2）21，D点坐

13、标（2，2）6已知：如图，抛物线yax2+bx+6与x轴交于点B（6，0），C（2，0），与y轴交于点A，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点（1）如图，连接PA、PB设PAB的面积为S，点P的横坐标为m请说明当点P运动到什么位置时，PAB的面积有最大值？（2）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PEx轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使PDE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+6与x轴交于点B（6，0），C（2，0），可设抛物线的表达式为：ya（x+2）（x6），12a6，解得a，抛物线的表达式为：

14、yx2+2x+6，A（0，6）直线AB的表达式为：yx+6，点P的横坐标为m，则P（m，m2+2m+6），过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，则D（m，m+6），SOBPD6（m2+2m+6+m6）（m3）2+，当m3时，S的值取最大，此时P（3，）；（2）存在，理由如下：由题意可知，PDPE，若PDE是等腰直角三角形，则PEPD，由（1）可得，PDm2+2m+6+m6m2+3m，PEx轴，E（4m，m2+2m+6），PE|2m4|，|2m4|m2+3m，解得m12（舍），m24，m35+（舍），m45，当PDE是等腰直角三角形时，点P的坐标为（4，6），（5，35）7如图1二次函数yx2+

15、6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）求出点A，B，C的坐标；（2）连接AC，求直线AC的表达式；（3）如图2，点D为线段AC上的一个动点，连接BD，以点D为直角顶点，BD为直角边，在x轴的上方作等腰直角三角形BDE，若点E在y轴上时，求点D的坐标；（4）若点D在线段AC上，点D由A到C运动的过程中，以点D为直角顶点，BD为直角边作等腰直角三角形BDE，当抛物线的顶点C在等腰直角三角形BDE的边上（包括三角形的顶点）时，请直接写出顶点E的坐标【解答】解：（1）当x0时，y6C点坐标为（0，6）当y0时，解得x14，x24A点在B点左侧，点A坐标为（4，0），点B坐标为

16、（4，0）（2）设直线AC的表达式为：ykx+b点A坐标为（4，0），点C坐标为（6，0）解得直线AC的表达式为（3）如答图1，过点D分别作DFx轴于点F，DGy轴于G.四边形DGOF为矩形，FDG90BDE为等腰直角三角形，BD为直角边BDED，EDB90EDBGDBFDGGDB即EDGBDF在BDF和EDG中，BDFEDG（AAS）DFDG设点D的坐标为（m，）解得m，点D的坐标为（）（4）由（2）可得直线AC的表达式为点D在直线AC上，设点D坐标为（）设直线BC的解析式为：ykx+b将B（4，0），C（0，6）代入得解得直线BC的解析式为当C位于斜边BE上时，点E在直线BC上，设点E坐标

17、为（b，）如答图2所示.作EMx轴于点M，DQx轴于点Q，DNEM于点N易知四边形DQMN为矩形QDN90BDE为等腰直角三角形，BD为直角边BDED，EDB90EDBNDBQDNNDB即EDNBDQ在BDQ和EDN中，BDQEDN（AAS）DNDQ，ENBQE坐标为（b，），D坐标为（）DNba，ENDQ，BQ4a解得点E的坐标是（）当点D在直角边DE上时，BD交y轴于点F，如答图3所示CDFBOF90，CFDBFODCFOBFtanDCFtanOBF即亦即OF点F坐标为（0，）设直线BF解析式为ykx+b将B（4，0），F（0，）代入得解得直线BF解析式为yB、F、D三点共线，亦即直线BD

18、解析式为y联立直线AC解析式得解得故点D坐标为（）BDAC，BDDE，BD2DE2解得b点E的坐标为（）当点D与点C重合时，即点C为直角顶点时如答图4所示.作EGy轴于点GBCE90ECG+BCO90又ECG+GEC90BCOGEC在GEC和OCB中，GECOCB（AAS）GEOC6，GCOB4点E的坐标为（6，10）由图知点E关于点C对称的点E亦满足题意则由中点坐标公式可得点E的横坐标为2066，纵坐标为26102故点E坐标为（6，2）综上所述，点E的坐标为（）或（）或（6，10）或（6，2）8如图，抛物线yax2+bx+5交x轴于A（1，0）、B（5，0）两点，交y轴于点C（1）求抛物线的

19、解析式；（2）点P是对称轴上一点，当PA+PC达到最小值时，求点P的坐标；（3）M、N为线段BC上两点（N在M的右侧，且M、N不与B、C重合），MN2，在第一象限的抛物线上是否存在这样的点R，使MNR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+5交x轴于A（1，0），B（5，0），解得：，抛物线的解析式为：yx2+4x+5；（2）当x0时，y5，C（0，5），A与B关于抛物线的对称轴对称，直线BC与对称轴的交点就是点P，此时PA+PC达到最小值，yx2+4x+5（x2）2+9，抛物线对称轴为直线x2，设直线BC的解析式为：ykx+b（k

20、0），点B坐标为（5，0），则，解得：，直线BC的解析式为yx+5，与对称轴的交点为（2，3），点P的坐标（2，3）；（3）分三种情况：以点M为直角顶点，如图1，MN2，RNMN4，C（0，5），B（5，0），OCOB5，OCBOBC45，RNM45BCO，RNOC，由（2）知：直线BC的解析式为yx+5，设R（m，m2+4m+5），则N（m，m+5），则RN（m2+4m+5）（m+5）4，解得m14，m21，点N在点M右侧，m4，R（4，5）；以点R为直角顶点，如图2，MN2，RNMN2，设R（m，m2+4m+5），则Q（m，m+5），RN（m2+4m+5）（m+5）2，解得m1，m2，点N

21、在点M右侧，m，R（，）；以点N为直角顶点，如图3，MN2，RMMN4，RMNOBC45，MROB，设R（m，m2+4m+5），则M（m4，m2+4m+5），把M（m4，m2+4m+5）代入yx+5，得（m4）+5m2+4m+5，解得m14，m21，此时点M（0，5），因为点M在线段BC上运动，且不与B、C重合，所以不存在以N为直角顶点的情况；综上所述：当 R（4，5）或（，）时，MNR为等腰直角三角形9抛物线yax26ax+4（a0）交y轴正半轴于点C，交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，且AB10（1）如图（1），求抛物线的解析式；（2）如图（2），连接BC，点P为第一象限抛物线上一点

22、，设点P横坐标为t，PBC的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不用写出自变量t的取值范围）；（3）如图（3），在（2）的条件下，连接PA交y轴于点D，过点P作x轴的垂线，交x轴于点E，交BC于点F，连接DF，当APE+CFD90时，在抛物线上是否存在点Q，使得点Q、PE的中点N、点C、是构成以CN为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由【解答】解：（1）如图1中，设A（m，0），B（n，0），由题意：，解得，A（2，0），B（8，0），把A（2，0）代入yax26ax+4，得到a，抛物线的解析式为yx2+x+4 （2）如图2中，连接OP设P（t，t2+t+4），B（8，0），C（0，4），OB8，OC4，SSPOC+SPOBSOBC4t+8（t2+t+4）48t2+8t（0t8） （3）存在理由：如图3中，设P（t，t2+t+4），A（2，0），B（8，0），C（0，4），直线PA的解析式为y（t8）xt+4，直线BC的解析式为yx+4，PEx轴，F（t，t+4），D（0，t+4），FDAB，CFDCBA，APF+CFD90，APF+PAE90，PABCFDCBO，tanCBOtanPAB，OA2，OD1，t+41，t6，P（6，4），E（6，0），PNNE，N（6，2），