误差理论与数据管理组织第6版费业泰-课后答案解析全

1、误差理论与数据处理练习题第一章绪论1-7用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。故二等标准活 塞压力计测量值的绝对误差二测得值-实际值二100.2 - 100.5 =- 0.3 ( Pa )。相对误差二二03x 100% 20.3%100.51-9使用凯特摆时，g由公式g=4n2( h +h )/T2给定。今测出长度(h +h )为(1.04230 0.00005 )m，振动时间丁为(2.04800.0005瓦试求及其最大相对误差:如果(h

2、 +h ) 测出为( 1.042200.0005 )m,为了使9的误差能小于0.001m/s2,T的测量必须精确到多 少？【解】测得(h1+h2)的平均值为1.04230 (m) ,T的平均值为2.0480 ( s )。,4冗 2 ,由 g = - (h1 + h2) ,得：4n2g =x 1.04230= 9.81053加 / s 2)2.048(2当(h1+ h2)有微小变化A(h1+ h2)、T有AT变化时，令h=h1+ h2g的变化量为： TOC o 1-5 h z dgdg4兀 28兀 2Ag =g A(h + h ) + 上 AT = 一A(h + h ) (h + h )AT 6

3、(h + h )127dTt2 127t3 127124兀 22A T=一 A(h + h )(h + h )T212 T 12A g 二丝 A h + 次 A T 二处 A h - 比 h A T d hd TT 2T 34 兀22A T=(A h -h)T 2TAg = 4兀2T JAh - 2 ATThT4兀2 t j+停Ah_2AT TT100% a 0.054%g 的最大相对误差为：+0.00005 2 x (0.00051=x1.042302.0480如果(h1 + h2)测出为(1.042200.0005 )m，为使g的误差能小于0.001m/s2,即：Ag 0.001也即 Ag

4、 =壬A(h + h ) - 2AT (h + h ) 0.001 T 212 T 124兀 2_2AT0.0005 x 1.04220 0.0012.048022.0480T|0.0005 - 1.01778A T| 0.00106求得：A T 0.00055( s )1-10.检定2.5级（即引用误差为2.5% ）的全量程为100V的电压表，发现50V刻度点的示值误差2V为最大误差，问该电压表是否合格？【解】弓1用误差二示值误差/测量范围上限。所以该电压表的引用误差为：r =工m Um2=而=2%由于：2%2.5%所以该电压表合格。1-13多级弹导火箭的射程为10000km时，其射击偏离预

5、定点不超过0.lkm，优秀射手能在距离50m远处准确地射中直径为2cm的靶心，试评述哪一个射击精度高?多级火箭的相对误差为解：-0. = 0.00001 = 0.001% 10000射手的相对误差为：1cm0.01 m50 m50 m=0.0002 = 0.002%多级火箭的射击精度高。附加1 -1测得某三角块的三个角度之和为180000 02”，试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于：180 0002 -180 0 = 2相对误差等于22180 o 180 x 60 x 60=0.00000308641 您 0.000031% 648000第二章误差的基本性质与处理2-2.试述单次测

6、量的标准差和算术平均值的标准差o，两者物理意义和实际用途有何X不同？【解】单次测量的标准差表征同一被测量n次测量的测量值分散性的参数，可作为测量列中单次测量不可靠性的评定标准。o二2 +2 +822TTn算术平均值的标准差O是表征同一被测量各个独立列算术平均值分散性的参数，可Xo作为算术平均值不可靠性的评定标准O 二一x 4匕1在n次测量的等精度测量列中算术平均值的标准差为单次测量标准差的力当测 量次数n愈大时，算术平均值愈接近被测量的真值，测量精度也愈高。2-3.试分别求出服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在牛，+牛】中的概率。P(V2a) =【解】（1）误差服从正态分布时(2*db

7、=J 2/(2cr2)db o o引入新变量七，=凡6=，经变换上式成为：O22一 2 力=2=2 x 0.4195 = 0.84 = 84% o(2 )误差服从反正弦分布时-a, a故:因反正弦分布的标)隹差为：。=益，所以区间卜后, +而=P（土、尾）=1+a . 1 而= 1兀 -a aa2-82(3)误差服从均匀分布时因其标隹差为：。二a3，所以区间卜所,+&，故一 1.21 12P（土%2。）=+，二ad8= x2X :a = 0.82= 82%兀!2a 2a2a333a2-4.测量某物体重量共8次，测得数据(单位为g )为236.45 ,236.37,236.51 ,236.34

8、, 236.39 , 236.48,236.47,236.40，求其算术平均值及其标隹差。【解】选参考值二236.0Q计算差值朗=xi 236.00 %和残差Av等列于表 中。序号XiA x z匕匕21236. 450.45+0. 020. 00042236. 370. 37-0. 060. 00363236.510. 51+0. OS0. 00644236. 340. 3-0. 090. 00815236. 390. 39-0. 040. 00166236. 480. 48+0. 050. 00257236. 470. 47+0. 040. 00168236. 400. 40-0. 030.

9、 0009x = x0 + A.yo = 236.43Axo = = 0.43之 = -0.031=1士匕2 = 0.0251 f=l或依算术平均值计算公式上8,直接求得：x二8.二236.439计算标准差：用贝塞尔公式计算:GO2 - 6测量某电路电流共5次测得数据（单位为mA）为168.41 ,168.54 ,168.59 ,168.40 , 168.50。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。解：f I.I = 51 = 168.49( mA)工(I -1)ii: 0.08 二工二空二0.04X -，n 5工占 0.08 : 0.055 -13R = 0.6745。= 0.02,

10、X 0.08 = 0.065 -15T = 0.7979。= 0.0327 在立式测长仪上测量某校对量具,重复测量5次，测得数据（单位为mm）为5 -1200015,20.0016,20.0018,20.0015,20.0011。若测量值服从正态分布,试以99的置信概率确定测量结果。解：求算术平均值X = -i=1- n=20.0015mm求测量列单次测量的标准差用贝塞尔公式计算：。用别捷尔斯公式计算:求算术平均值的标准差2.55 X10-4=1.14 x10-4 mmo7n2.24 X10-4= 0.0001求单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差做法1因n = 5较小，算术平均值的极限误

11、差应按t分布处理。现自由度为：v=n-1=4 ; a = 1-0.99 = 0.01 ,查t分布表有：=4.60单次测量的极限误差：bl. x =to =4.60 x2.55x104 = 1.173X10-3 x 1.17x103mm 算术平均值的极限误差：S. x =t o_ =4.60 x1.14x10-4 = 5.24x10-4mm写出最后测量结果 L = X + 5 X =(20.0015 土5.24x10-4)nmlim做法2 :因假设测量值服从正态分布，并且置信概率P=2(t)=99%，则(t)=0.495，查正态分布积分表，得置信系数t = 2.6单次测量的极限误差：5 X =t

12、G =2.60 x 2.55x10m = 6.63x10m x 0.00066算术平均值的极限误差：5 X =t o_ =2.60 x1.14x104 = 2.964x12 x0.0003写出最后测量结果L = X +5 X =(20.0015t 0.0003)mmlim2 -10用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差Q = 0.001mm，若要求测量的允许极限误差为0.0015mm，而置信概率P为0.95时，应测量多少次？解：根据极限误差的意义，有 to_ =t _ 0.0015X nn根据题目给定得已知条件，有t r = 0.004，故无根据怀疑测量列存在系统误差。n-l 101（马利科

13、夫准则）按残余误差校核法：前5个残余误差和与后5个残余误差的差值A = 2 v, v. = 0.4 （0.4） = 0.8i=1j=6两部分之差显著不为0，则有理由认为测量列中含有系统误差。阿卑-赫梅特准则_ 21_ -0.26 x 0.04 + 0.04 x 0.24 - 0.24 x 0.16 - 0.16 x 0.54u =1+1 0.54 x 0.36 + 0.36 x 0.06 + 0.06 x 0.16 - 0.16 x 0.14 + 0.14 x 0.04i=1=0.3056 工 0.3ynL 2 - 9 x0.263 = 0.21u%nL2 = 0.21所以测量列中含有周期性系

14、统误差（为什么会得出互为矛盾的结论？问题出在本题给出的数据存在粗大误差这就提醒我们在判断是否有系统误差前，应先剔除粗大误差，然后再进行系统误差判断。）2-18、对某一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后4次是和另一个标准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为mH ）:50.82，50.83，50.87，50.89；50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81试判断前4次和后6次测量中是否存在系统误差。【解】 将两组数据混合排列，用秩和检验法有:n1 =4,n2 =6,T=5.5+7+9+10=31.5T =14,T+ = 30,T T+所以有根据怀疑

15、存在系统误差2-19等精度测得某一电压10次，测得结果（单位为V ）为25.94,25.97,25.98 ,26.01，26.04，26.02，26.04，25.98，25.96，26.07。测量完毕后，发现测量装置有 接触松动现象，为判明是否因接触不良而引入系统误差，将接触改善后，又重新做了10次等精度测量，测得结果（单位为V）为25.93，25.94，25.98，26.02，26.01 ,25.90 , 25.93 , 26.04,25.94,26.02。试用t检验法（取a=0.05 ）判断两组测量值之间 是否有系统误差。【解】计算两组测量结果的算术平均值：元=E % = 26.00110

16、S 2 = E (% % )2 = 0.00155%10歹=E y = 25.97110S2 = E (y - y )2 = 0.00215 y 10 it = (26.001 - 25.971) ：10 x10(10 +10 - 2)= 1.48(10 +10)(10 x 0.00155 +10 x 0.00215)由丫 = 10+10-2 = 18 及取a=0.05，查 t 分布表，得，=2.1 因曰二1,48 1= 2，故无根据怀疑两组数据间存在线性系统误差。2-20.对某量进行了12次测量，测得数据为20.06，20.07，20.06，20.08，20.10，20.12，20.11，2

17、0.14，20.18，20.18，20.21，20.19，试用两种方法判断该测量列中是否存在系统误差。【解】先计算算术平均值：x = X=20.125。各测量数据的残余误差分别为： ii=1V =-0.065 iv =-0.015 7V =-0.055 V =-0.065V =-0.045 v =-0.025v =-0.00523456v = 0.015v =0.055v =0.055 v =0.085 v = 0.06589101112根据残余误差观察法:计算出的残余误差有规律地递增，在测量开始与结束时误差符号 相反，故可判断该测量列存在线性系统误差。（马利科夫准则）按残余误差校核法：前6个

18、残余误差和与后6个残余误差的差值为A二v-v =-0.26- 0.26 = -0.52i=1i=7两部分之差显著不为0，则有理由认为测量列中含有线性系统误差。采用不同公式计算标准差比较法。按贝塞尔公式:O10.032112-1=0.054用别捷尔斯法计算：。=1.253 W = 1.2533 = 0.062(n -1) n-1 12-1=0.11，故无根据怀疑测量列存在系统误差。阿卑-赫梅特准则u = 2 v V = 0.02i i+1 nnl-b 2，所以测量列中含有周期性系统误差（又出现互为矛盾的结论，如何解释呢？）221 对某量进行两组测量，测得数据如下：x. i0.620.861.13

19、1.131.161.181.201.211.221.261.301.341.391.411.57y.0.991.121.211.251.311.311.381.411.481.501.591.601.601.841.95试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。解：按照秩和检验法要求，将两组数据混合排列成下表：T123456789101112131415x.0.620.861.11.11.11.181.201.21.221.261.30V0.991.11.211.25T161718192021222324252627282930 x.1.341.31.41.5V1.311.311.31.

20、41.481.501.591.601.601.841.95因 n1 = 12=1510,秩和T=1+2+5+6+7+8+9+10.5+12+14+15+18+20+21.5+25=174T近似服从正态分布，N（n凹+ n2+1）小1n2（ni+ nz+D）2112a 二(ni(ni+ n2 + 1): 232.52nn (n + n +1)、1 2 112 2) = 24.11 求出：T-a=-2.43选取概率2。)= 0.95 ,即巾(t ) = 0.475，查教材附表1有乙96。由于卜|“ 因此，可以认为两组数据间有系统误差。选取置信概率99%(显著度0.01 )，即取叭t) = 0.49

21、5，由附录表1查得：，=2.60 由于t = 2.43g=0.795，故第4个测量数据含测量误差，应当剔除。再对剩余的14个测得值重新计算，得：x = x = 28.50 o14 ii=1,0.01481 14 -1= 0.0337由表知第14个测得值的残余误差：v(14)=0.173o =0.1011，故也含粗大误差，应3o = 3 x 0.0337 = 0.1011剔除。再重复验算，剩下的13个测得值已不包含粗大误差。用格罗布斯准则判别已经计算出15个测量数据的统计特征量：x = 28.57,。= 0.265。将测得的数据按从小到大的顺序排列，有：x = 28.40, x - x = 28

22、.57 - 28.4 = 0.17x(15) = 29.52, x(-x = 29.52 - 28.57 = 0.95首先判别x(i是否含有粗大误差：g(15)=也二=艺;含7 = 3.585查表 2-13 得：g0(15* 0.05) = 2.41则：g(i5)= 3.585 go(15, 0.05) = 2.41故第4个测得数据包含粗大误差，应当剔除。再对剩下的14个测得值计算，判断均)是否含有粗大误差。已知：7 = 28.50.。=0.03428.50-28.400.034= 28.49, 将测得的数据按从小到大的顺序排列，Tf ：28.40-28.4928.40-28.5329.52-

23、28.5329.52-28.49查表 2-14 得 q (15, 0,05) = 0.525 ,因：r22 = 1.04“ (15, 0.05)和 电=0 692 % (15, 0.05)去(14. 0.05) = 2.37用狄克松准则判别判断最小值”)与最大值.%5)是否包含粗大误差。因n=l5,以统计量-2,和 计算故：%)和%5)(即所测的第4和第14个测量值)包含粗大误差，应予剔除。再重复检验剩余的13个测得值，已不再包含粗大误差。2-26对某被测量x进行间接测量得：2X = 1.44,3x = 2.18,4x = 2.90其权分别为5:1:1 , 试求x的测量结果及其标准差？1.44

24、2.18 一 2.90【解】x = 0.72,x = 0.727, x = 0.725,122334选取 p = 5, p = 1, p = 1可由公式直接计算加权算术平均值和标准差：x = 0.72 +50 + 1x 0.007 + 1x 0.0055 + 1 + 1=0.722加权算术平均值的标准差的计算，先求残余误差：v_ = xx = 0.002#_ = 0.005, v. = 0.003x2x3算术平均值的标准差为：py 2i xiC _ =i=1x (m -1) pii=1=0.002A S =2 AD + 更 AK =吆AD + D A兀240.052 = 3416x 72.00

25、372.0032x (0.052) +A兀45 x 0.0022 +1 x 0.0052 +1 x 0.0032(3 -1)(5+1 +1)B. x = 3c_=3 x 0.002 = 0.006 /mx = 0.722 0.0062-28测量圆盘的直径D = (72.0030.052)mm，按公式计算圆盘面积S =兀D2/4，由 于选取兀的有效数字位数不同，将对面积S计算带来系统误差，为保证S的计算精度与直 径测量精度相同，试确定兀的有效数字位数？【解】测得D的平均值为72.003mm4兀2g =x 1.04230 = 9.81053( m / s 2)2.04802当D有微小变化AD、兀有

26、A冗变化时，S的变化量为：0.052 5.8813 = 72.0032 A兀4A兀=0.0045 六 0.004冗取4位有效数字第三章 误差的合成与分配3-2为求长方体体积V,直接测量其各边长为：a = 161.6mm,b = 44.5mm,c = 11.2mm , 已知测量的系统误差为 A a = 1.2 mm, A b = -0.8 mm, A c = 0.5 mm，测量的极限误差为 5 =0.8mm,5 =0.5mm,5 =0.5mm，试求立方体的体积及其体积的极限误差。abc【解】立方体体积：V = abc，若不考虑测得值的系统误差，则计算体积为：V0 = abc = 161.6 x

27、44.5 x 11.2 = 80541.44( mm 3)体积V的系统误差为：考虑测量系统误差后的立方体体积：V = Vq-AV = 80541.44-2745.744 = 77795.696 % 77795.70 (nun3)又直接测量值存在极限误差，则间接测量体积存在的极限误差为：=(44.5 xll.2x (0.8)2 +161.6xll.2x (0.5)2 +161.6x 44.5 x (0.5)2=+V398.722 + 904.963 - 3595.62 =3729.1 (nm?故测量结果为：V 5li V = 77795.70 3729.1(mm3)33长方体的边长分别为a1,

28、a2, a3测量时：标准差均为。；标准差各为。1、。2、。3。试求体积的标准差。解：长方体的体积计算公式为：V = a 1 a2 a3体积的标准差应为：OV_ V)2o 2 + (._a 2 、2_、)2o 2_a33a v现可求出：_ = a2 a31V=a_a12_ V=a_a13若：o =o = o = o,_ V_ V_ V=；()2 o 2 + ()2 o 2 + (_a1_a2 、_a HYPERLINK l bookmark125 o Current Document 1123:_ V_ V_ V)2 o 2 =o ,()2 + ()2 + ()23 Y _a_a_a HYPER

29、LINK l bookmark251 o Current Document 1123=o J(a a )2 + (a a )2 + (a a )2则有：o =式a a )2o 2 + (a a )2o 2 + (a a )2o 2V 22 311 321 233-4测量某电路的电流I = 22.5mA ,电压U = 12.6V ,测量的标准差分别为o广0.5mA,u= 0._，求所耗功率P = UI及其标准差0P。【解】若不考虑测得值的误差，则计算所耗功率为：P = UI = 12.6 x 22.5 x10-3 = 0.2835W TOC o 1-5 h z _P_P=I = 22.5 x10

30、-3一 = U = 12.6_uai且u、i完全线性相关，故P=1，所以:, ap、苫、 .ap apo =()2o2 + ()2o2 + 2po op a uuaiia u ai u i=；(22.5 x10-3)20.12 +12.62 x (0.5 x10-3)2 + 2x 22.5 x10-3 x 12.6x0.1x0.5x10-3=8.55 x10-3(W)若电压、电流的测量结果相互独立，则所耗功率标准差为4P、/P、.-kk(力o u+r o 厂 wo 尸(Uo y22.5 x 10-3 x0.1)2 + (12.6x0.5x 10-3)2=$36.69 + 500625 x10-

31、3=6.69 x 10-3( W)3-6已知x与y的相关系数Pxy =-1 ,试求u = x2 + ay的方差o 2。u【解】属于函数随机误差合成问题。3-S加图3七所示理双球法测星孔的宜筏D,其钢球直径分别为匕,右，测出距离分别为耳,各直搂测屋屋的误差传递系赦如E&D啊犯 2 J圈+兄-凤）区-区+凡） + ,炉 -&D 1试点披洲孔径D与各直接测星星的函数突系口 =/0.心，耳，耳）漫其误差传递系颜.【解】由几何关弟品求掖测孔径口&D &d.h&D ddt2优匕+月-氏）&-氏+凡） 南-封+2区-2玛3-12按公式V=nr2h求圆柱体体积，若已知r约为2cm , h约为20cm，要使体积

32、的相对误差等于1%,试问r和h测量时误差应为多少？解： 若不考虑测量误差，圆柱体积为V =兀- r2 h = 3.14 x 22 x 20 = 251.2cm3根据题意，体积测量的相对误差为1%，即测定体积的相对误差为：G =1%即。=V - 1% = 251.2 x 1% = 2.51现按等作用原则分配误差，可以求出测定r的误差应为：o 12.51 1o = 0.007cmr22 dV /dr1.41 2兀hr测定h的误差应为：o =0 -1 = 2.51 1 = 0.142 cm h %；2 aV / ah1.41 兀 r 23-10假定从支点到重心的长度为L的单摆振动周期为T，重力加速度

33、可由公式T=W给 出。若要求测量g的相对标准差(0.1%，试问 g按等作用原则分配误差时，测量L和T的相 对标准差应该是多少？解：由重力加速度公式，T = 2s得，44兀 2 LT 2 =g4兀2 Lg =十因为，因为测爨项目有两个，所以n=2。按等作 用原理分配误差，得过xTO 1o T3o T2xTo g _ T_L_,o = g = g = g = g = g =一 g TT nn 血2舐2L2 8rt2L软22L2 2g2-2 gST虎I O1区11二黑黑.oq-JL _ _二L1T 1=02-3X01桢卧 4兀 2 一 7一 正 综上所述，溜量L和T的相对标准差分别是0.0707%

34、- 和0 皆本姬1%-0.07072%L 21 g v2第四章 测量不确定度评定与表示测量不确定度的步骤可归纳为1）分析测量不确定度的来源，列出对测量结果影响显著的不确定度分量。2）评定标注不确定度分量，并给出其数值4和自由度vi。3 ）分析所有不确定度分量的相关性，确定各相关系粼j。4）求测量结果的合成标准不确定度，则将合成标准不确定度”及自由度v .5）若需要给出展伸不确定度，则将合成标准不确定度uc乘以包含因子k，得展伸不确 定度U二kuc。6）给出不确定度的最后报告，以规定的方式报告被测量的估计像及合成标准不确定度 uc或展伸不确定度U，并说明获得它们的细节。根据以上测量不确定度计算步

35、骤。41某圆球的半径为r，若重复10次测量得rQr =（3.1320.005）cm，试求该圆球最大截面的圆周和面积及圆球体积的测量不确定度，置信概率P=99%。【解】求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度已知圆球的最大截面的圆周为：D = 2冗 r其标准不确定度应为：u =,吆o 2 = J(2兀)2o 2 =4义3.141592义0.0052dr) r r= 0.0314cm确定包含因子。查t分布表t0.99 ( 9 )= 3.25,及K=3.25故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为：U = Ku = 3.25x0.0314 = 0.102求圆球的体积的测量不确定度圆球体积为：V = 巴 冗

36、 r33其标准不确定度应为：i( a v、2/u 二 o 2 =qM兀 r 2 o 2 = 166 * 3.141592 * 3.1324 义 0.0052 = 0.616i dr) r *r确定包含因子。查t分布表t0.01(9)=3.25,及K=3.25最后确定的圆球的体积的测量不确定度为U=Ku = 3.25x0.616 = 2.0024-3测量某电路电阻 R两端的电压U，由公式I = u/r算出电路电流I。若测得 U 。U = (16.50 土 0.05)V、R 。r= (4.26 土 0.02)0，相关系数 p UR =-0.36，试求电流 I的标准不确定度。【解】I = U / R

37、aI_ 1ai _Ua uRarR 2UI =J（色）2。2 + 邑）2。2 + 2 色包 p。 d U ud.RR d U d.RUR u R1 1U 21 U、I X 0.052 + X 0.022 2p x 0.05 x 0.02RR2R4R R2 UR=0.024-6某数字电压表的说明书指出，该表在校准后的两年内，其2V量程的测量误差不超过 士（14x10-6读数+1*10一6乂量程）V，相对标准差为20%,若按均匀分布，求1V测量时电 压表的标准不确定度;设在该表校准一年后，对标称值为1V的电压进行16次重复测量， 得观测值的平均值为0.92857V，并由此算得单次测量的标准差为0.

38、000036V，若以平均 值作为测量的估计值，试分析影响测量结果不确定度的主要来源，分别求出不确定度分量， 说明评定方法的类别，求测量结果的合成标准不确定度及其自由度。【解】（1）测量误差 根据相对标准差为20%1由B类评定，根据v = - = 12.5 , V服从均匀分布， 2a ）2u且2V量程测量误差 （14x 10-6读数+ 1x10-6 x量程），所以在区间（x-a,x+a ）中a = 14 x10-6 + 1x10-6 x 2 = 16 x10-6 = 1.6 x10-5a1.6 x 10-5=9.24 x 10 -6一年后，对标称值为1V的电压进行16次重复测量X = 0.928

39、57V 。 = 0.000036V影响测量结果不确定度的主要来源:A 16次重复测量误差B电压表的示值误差C电压表的稳定度A测量重复误差引起的不确定度V = 0.92857Vo = 0.000036Vo一 二三二0.000009VV 6电压重复性引起的标准不确定度属于人类评定u =o. = 9X10-6 = 9V自由度：vj16-1=15B标准电压表的示值误差引起的标准不确定度uX 2示值误差按均匀分布计算，属于B类评定u = 14X叱6 X1 = 8.08X10-6自由度：v = -L-=1=12.5X2要2 2(0)2 2 X (20%)uC稳定度引起的标准不确定度u33电压表稳定度按均匀

40、分布，属B类评定TF2 =8.08 x 10-6自由度：v 3 = 12.5合成标准不确定度u = Ju 12 + ux22 + u 32 = J(9x10-6)2 + (8.08x10-6)2 + (L15x10-6)2 = 28.0X10-6 = 28.0R V自由度：v =uc4= 28.0X10-6 = 28.0RVc u 4 u 4 u 4x1 + 32 + x3v v v1234-9用漏电测量仪直接测量正常使用中微波炉的泄漏电流5次测量的平均值为0.320mA,平均值的标准差为0.001mA;已知漏电测量仪的示值误差范围为5%按均匀分布，取相对标准差为10% ;测量时环境温度和湿度

41、的影响范围为2%按三角分布，其相对标准差为25%;试给出泄漏电流测量的不确定度报告（置信概率为99%）。【解】（1）不确定度评定对泄漏电流测量不确定度影响显著的因素有：A泄漏电流测量重复性引起的不确定度u1B示值误差引起的不确定度u2C环境温度与湿度引起的不确定度u3求uj u/ u3 A测量重复误差引起的不确定度u =o = 0.001 mA = 1旦 Av = 5 1 41i示值误差（均匀分布）：a0.320 x5%20%)2 = 501mA = 9.24u Av =2 O2(一)2u2环境温度（三角分布）：au 3660.320 x 2%=2.61x10 - 3 mA = 2.61旦 A

42、183。产,2x (25%)2 2( f )2u3因不确定度各个分量相互独立，即p ij = 0，合成的不确定度为： u = J42 + u 22 + u 32 = J12 + 9.242 + 2.612 = 9.65|1 V = 0.00965mA自由度：v =u4= 57.1c u4 u4 u4v v v123根据“三分之一准则”，对标准不确定度进行修约得u = 0.010 mA = 10 R A（3）展伸不确定度取置信概率P=99%, v =57 ,查t分布表，得1099（57） = 2.68 ,泄漏电流测量的展伸不确定度为U = ku = 2.68 x 9.65 = 25.862 =

43、0.025862mA根据“三分之一准则”，对展伸不确定度进行修约得U = 0.026mA = 26r A（4）不确定度报告 1）用合成标准不确定度评定泄漏电流，则测量结果为：I = 0.320mAu = 10 R Av= 57.12）用展伸不确定度评定泄漏电流，则测量结果为：I = (0.320mA 0.026) mAP = 0.99v = 57第五章最小二乘法原理参数最小二乘法估计矩阵形式的简单推导及回顾：由误差方程V = L AX且要求VTV最小，则：V T V = (L - AX) T (L - AX)=(L - Xt At )(L - AX)=Lt L - Lt AX - X t A

44、t L + X t A t AX令其等于f(X)，要f(X)最小，需其对应偏导为0：所以：df(X)=-LT A - LT A + (A T AX) t + Xt A t A = 0 dXLT A = X t A t AAtL = A t AXX =(At A)-i AtL理论基础：f(X)= dXf(X)Td- f(X)g(X)=g(X) d- f(X) + f(X) d g(X) dXdXdX5-1 由测量方程3 x + y = 2.9X 2 y = 0.92 X 3 y = 1.9试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度。【解】方法一(常规)1、列出误差方程组匕=2.9 - (3 x +

45、2 y)=0.9 - ( x - 2 y)；=1.9 - (2 x - 3 y)3火 V2=(2.9 - (3x + y)2 + (0.9 - (x - 2y)2 + (1.9- (2x - 3y)2 ii=1分别对x,y求偏导，并令它们的结果为02(3x + y) - 2.9)* 3 + 2(x - 2y) - 0.9) + 2(2x - 3y) -1.9)义 2 = 02(3x + y) - 2.9) - 2(x - 2y) - 0.9)* 2 + 2(2x - 3y) -1.9)义 3 = 014x -5y = 13.4即： 4，1-5x +14y =-4.6由上式可解得结果：x=0.9

46、626 y=0.0152 2. 直接列表计算给出正规方程常数项和系数iai 1ai 2a 2i 1a 2i 2aaliala l1319132.98.72.921-214-20.90.9-1.832-349-61.93.8-5.71414-513.4-4.6可得正规方程14 x - 5 j = 13.45 x +14 j = 4.6将x,y的结果代入分别求得:v = 2.9 (3 x 0.9626+0.0152)= 0.0031 = 0.9 (0.9626 2 x 0.0152)= 0.0322v2 = 1.9 (2 x 0.9626-3 x 0.0152)=0.0204l 3得，火 v 2

47、= v 2 + v 2 + v 2 = (0.003)2 + (-0.0322)2 + (0.0204)2 i 123i =1=0.00146由题已知，n = 3, t = 2得由不定乘数的方程组14 d 5 d = 15 d + 14d = 014 d 5 d = 05 d + 14d = 111122122解得 d = 0.081911d 22 = 0.08190.03820.0819 = 0.0109=0.0382J0.0819 = 0.0109方法二（按矩阵形式计算）：由误差方程V = L AX匕=2.9 - (3 x + 2 y)=0.9 - (x - 2 y)2匕=1.9 - (2

48、 x - 3 y)上式可以表示为1-2-32.90.91.9VV = V2VL 3可得：X= x = C-1AtL = (ATA)-1 AtL y式中：C-1 ： (A t A)-11 2-2 -31 -22314-5-51t141141 1414 -5-5 14141711_14所以:C-1A T L171141455311 2-22.90.91.947171L294 13-23 -322.90.91.91 164.6171 2.60.96260.0152即解得，X = 0.9626j = 0.0152将最佳估计值代入误差方程可得，V = L AX =2.90.91.9v1V 2v3 31-

49、2-3l1l2 l30.96260.01521-2-3-0.0030-0.03220.0204将计算得到的数据代入式中为求出估计量x,y的标准差，首先求出不定常数d (i, j = 1,2)。 j由已知，不定常数dj的系数与正规方程的系数相同，因而dj是矩阵C -1中各元素1171141414d = 0.08191117114d = 0.081922 171可得估计量的标准差为=o、=0.0382J0.0819 = 0.0109=o、 = 0.03820.0819 = 0.0109V 225-5测力计示值与测量时的温度t的对应值独立测得如下表所示。t / 151821242730F / N43

50、.6143.6343.6843.7143.7443.78设t无误差，F值随t的变化呈线性关系F = k + kt，试给出线性方程中系数k和k的最 小二乘估计及其相应精度。解法一：利用矩阵求解，误差方程V二L - AX可写成v1v2v3v4v5v6l l12l3 l l4l643.6143.6343.6843.7143.7443.78115118121AA =1241 271 30vl11511vl11822vl121k3二30Vl124k441vl12755vl130L 661-1可得X= k0 =C-1ATL=(ATA)-1 ATL式中C-1 = (A T A )-11115 1815182

51、1242730111111121 24 27 30 111-1- 6135 t135 3195-135613195-6135- -135 135 3195-13511 31956 _945_-135所以1-3195-1351r111111945_-1356 J15182124273043.6143.6343.6843.7143.7443.7843.43240.01152将最佳估计值代入误差方程V = L - A玄彳导V111111151821 r43.432424 0.0115227300.0048-0.009760.005680.00112-0.003440.002为求出估计量k。，k的标准

52、差,需要求出不定乘数d的系数,而不定乘数*的系数与正规id _ 1 r3195 d2 945 -13522L-1356方程的系数相同，因而d是矩阵C-1中各元素，即ddL 213195d =- = 3.3809511 945d = = 0.0063522 945可得估计量的标准差为o =a.；d = 0.00647 3.38095 = 0.00119k0上o =ov,.d = 0.00647 0.00635 = 0.000516%2 22解法二：，由 V = F - (k + kt)得正规方程组:nk。+心工F TOC o 1-5 h z i=1i=1 tk+E 12 k 工 tFi 0ii

53、iI i =1i=1i=1 t = 135 12 = 3195iii=1i=1 tF = 5900.19 iii =12 F = 262.15ii =1,正规方程为6 k +135 k = 262.15135 k0 + 3195 k = 5900.19解得：k = 43.4324I k = 0.011520.0048-0.009760.005680.00112-0.003440.0026 d +135 d = 1135d + 3195 d = 01112解得:d = 3.38095d 22 = 0.006356 d +135 d = 0135d + 3195d : 1 2122o =o、丁 =

54、 0.00647%3.38095 = 0.00119k 0o =O：d = 0.00647 0.00635 = 0.0005165-7不等精度测量的方程组如下:x - 3 y = -5.6, P = 114 x + y = 8.1, P = 2 ,；2 x - 3 y = 0.5, P = 33试求x,y的最小二乘法处理及其相应精度。解法一：利用矩阵计算-3-5.68.10.51 0 0P =0200 0 3=(A t PA )-1 A t PLC* = A* T A * = A T PAC*-i-345-1-114145 -1-1 142-11410201_ 1114145629 1 45-

55、3-31-1二(A T PA)-1A T PL = C*-1A T PL14 1 II 142629 1 45 II -31 -1-5.68.10.51.4352.352将最佳估计值代入误差方程V = L - A玄，得可计算-31-11.4352.3520.0210.008-0.0180.03921X 0.0212 + 2 X 0.0082 + 3 X (-0.018)2又知14d = 0.02226 工 0.0223ii 62945d =0.07154 工 0.071522 629可得估计量的标准差为o =o 瓦=0.0392/0.0223 = 0.0059o =O工=0.0392 0.07

56、15 = 0.0105解法二：正规方程为 Pa a yi i1 i2=2 Pa I.i=1i=12 Pa 2 y2i=1=2 Pa li i 2 ii=1i =1i=12 Pa 2 = 45i i 1i=12 Pa 2 = 14i i2i=12 Pa a =-12 Pa l = 62.2i1 i2i i1 ii=1i=1代入正规方程得:Pa l = 31.5i i 2 i i=145 x - y = 62.21x = 1.435解得 I-x +14 y = 31.5 y = 2.352V =-5.6 - (1.435 - 3 x 2.352) = 0.021N = 8.1 - (4 x 1.4

57、35 + 2.352) = 0.008 2V = 0.5 - (2 x 1.435 - 2.352) = -0.018l 3V T PV：1 x 0.0212 + 2 x 0.0082 + 3 x (-0.018)2o = .,= ,:= 0.0392 n -13 - 245 d - d = 1-d + 14d = 0111245 d - d = 0-d +14 d = 12122解得：d = 0.0223 d22 = 0.07 1 5，用=0.0392% 0.0223 = 0.0059J 1=0.0392 0.0715 = 0.0105 225 -10将下面的非线性误差方程组化成线性的形式,

58、并给出未知参数髭x2的二乘法处理=8.26 x及其相应精度。v = 5.13 xv = 13.21 (x + x )12v = 3.01 4解：1.由前面三个线性的误差方程V = L A文可解得, x2的近似估计值x10，x20利用矩阵形式求解:可得式中所以ll12l3x1x25.138.2613.21v1v2V3=C-1AtL = (A T A)-1A T LC-1 = (A t A)-112x1x2* x 一X = 1 =C-1A t LXL 22210015，131b3 -1-125.138.2613.215.07008.2000115.2100 3 24.60002.取x , x 得近

59、似值x =5.0700, x 8.200，令x = X +6x = x +6可将误差方程线性化，现分别对测量方程求偏导affaxafaxafTax= = =11112 3a1 a aX = X110X1 = X10X = X110a12a22a321d.x2, 2d.x2/X =X 220X 2 = X20d.x2X =X 220XI 尢 aftaxafax(X +X ) 一XX(X + X )2(X +X ) 一XX(X + X )2X = X10X2 = X 20X =X10 =X202(X + X )2X 21(X + X )2=0.3818X = X10X 2 = X 20=0.146

60、0X = X10X 2 = X 20则误差方程化成线性方程组V = L - A6 ,v1v2v3vL 4I； l2i341n x2。)l J与，X2Jl3 - f3( X10，X20)14 - f4(X10，X20)0.060.04-0.06-0.128=a11a21a31a41a12a22a32a421001110.38180.1460可得6=81 2=C-1A t L=(A t A)-1 A t L式中C-1 = (A t A)-1-1100.3818010.14600.38180.14602.14581.0557-10.6272 -0.32761.05572.0213-0.32760.6