应用统计方法课件5.2均匀试验设计

1、5.2一、均匀设计表均匀设计64U*表 5-226sq或，Usq，*n每一个均匀设计表有一个代号UnNo12341234123624653624441U 7 74表 5-23No123412347123624653624441777774U*表 5-247No123411sq或，Usq，其中“U ”表示均匀设计，“ n ”*nUn表示要做n 次试验，“ q ”表示每个有q 个水平，“ s ” 表示该表有 s 列,即最多可以安排的因子个数。例如U* 6 4表示要做 6 次试验，每个有 6 个水平，6该表有 4 列。每个均匀设计表都附有一个使用表，它指示如何从设计表中选用适当的列，以及由这些列所组

2、成的试验方案的均匀度。表 5-25 是U* 6 4的使用表。664的使用表U*表 5-256S列号D2130.187531230.2656412340.2990例如表 5-23 和表 5-24 的两个均匀设计U 74 和774表的使用表(表 5-26 和表 5-27)U*7表 5-26 U 74 使用表7表 5-27U* 7 4使用表7s列号D2130.158232340.2132s列号D2130.239831230.3721412340.4760均匀设计有其独特的布（试验）点方式，其特点表现在：（1）每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验。任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每列有且仅

3、有一个试验点。如表U * 64 的第一列和第6三列点成图 5-1（a）。(b)图 5-1（3）均匀设计表任两列组成的试验方案一般并不等*4价。例如用U6的 1，3 和 1，4 列分别画图，得图 5-1(a)6和图 5-1(b)。（4）当的水平数增加时，试验数按水平数的增加量在增加。如当水平数从 9 水平增加到 10 水平时，试验数n 也从 9 增加到 10。而正交设计当水平增加时，试验数按水平数的平方的比例在增加。当水平数从 9 到 10时，试验数将从 81 增加到 100。由于这个特点，使均匀设计更便于使用。均匀设计表还有一些其它的特点，在下面将进一步介绍。二、均匀设计表的使用利用均匀设计表

4、来安排试验。其步骤和正交设计很相似，但也有一些不同之处。通常有如下步骤：根据试验的目的，选择合适的因素和相应的水平。选择适合该试验的均匀设计表，然后根据该表的使用表从中选出列号，将因素分别安排到这些列号上，并将这些因素的水平按所在列的指示分别对号，则试验就安排好了。例 5-5 在阿魏酸的工艺中，为了提高产量，选取了原料配比( A )、吡啶量( B )和反应时间( C )三个，它们各取了 7 个水平如下：原料配比（ A ）： 1.0，1.4，1.8，2.2，2.6，3.0，3.4吡啶量（ B ）(ml)： 10， 13，16， 19， 22， 25， 28反应时间（ C ）(h)：0.5，1.0

5、，1.5，2.0，2.5，3.0，3.5试找出较优的工艺条件.选取均匀设计表U* 74解根据和水平，7或U 7 4 。由它们的使用表中可以查到，当 s =3 时，两7个表的偏差分别为0.2132 和0.3721，故应当选用U* 747来安排该试验，其试验方案列于表 5-28。该方案是将 A ，分别放在U 7 4表的后 3C*B ，获得的。7阿魏酸的试验方案U* 7 3和结果表 5-287No配比（A）吡啶量（B）反应时间（C）收率（Y）11.8(3)22(5)3.5(7)0.3302345673.0(6)1.0(1)2.2(4)3.4(7)1.4(2)2.6(5)13(2)28(7)19(4)

6、10(1)25(6)16(3)3.0(6)2.5(5)2.0(4)1.5(3)1.0(2)0.5(1)0.3360.2940.4760.2090.4510.482根据试验方案进行试验，其收率(Y)列于表 5-28 的最后一列，其中以第 7 号试验为最好，其工艺条件为配比 2.6，吡啶量 16ml，反应时间 0.5h。三、均匀设计表的构造定义 5-1每一个均匀设计表是一个矩阵，设有n 行m 列，每一列是1, 2, 3, n 的一个置换（即1, 2, 3, n 的重新排列），表的第一行是1, 2, 3, n 的一个子集。74 显然，表 5-22、5-23、5-24 列举的U6*4U、67和U7都符

7、合上述定义。*47符合定义 5-1 的均匀设计表数量太多，这里介绍用好格子点法(goodlatticepoint)构造的均匀设计表，其方法如下：（1）给定试验数n ，寻找比n 小的整数h ，且使n 和h 的最大公约数为 1。符合这些条件的正整数组成一个向量h （h1,h 2, m h）。（2）均匀设计表的第 j 列按下法生成 u j (5i-7)hmodnij这里mod n 表示同余运算，若ihj 超过n ，则用它减去n 的一个适当倍数，使差落在1， n 之中。uij可以递推来生成 hju1 jijijuhju若u若nhhnijj i 1 , , n nui 1,j（1 5-8）ijuhjj例

8、如，当n 9 时，符合条件(1)的h 有 1，2，4，5，78；而h =3 或h =6 时不符合条件(1)，因为最大公约数(39)=3 ，(6，9)=3，均大于 1。所以U 9 最多只可能有 6 列，又如当h3 4 时，用公式结果依次如下:(5-8)来生成该列时其 4 ， u23 4 4 8 ，u33 8 4 12 3(mod 9) ，u13 7 4 11 2(mod 9) ， 3 4 7 ， u53u43u 63 u83 2 4 6 ，u73 6 4 10 1(mod 9)， 5 4 9 1 4 5， u93，其结果列于表 5-29 的第三列。U (96 )表 5-2991245782484

9、8723563637999999No1234561279又如当 h2 2 时，用公式其结果依次如下:(5-8) 来生成该列时 4 2 6 ， 2 ，u22 2 2 ，4u32u12u42 8 2 10 1(mod 9) ， 6 2 8 ，u52 1 2 3 ， u72 5 2 7 ， u92u62u82 3 2 5 7 2 9，其结果列于表 5-29 的第二列。U (96 )表 5-29912457824848723563637999999No1234561279用上述步骤生成的均匀设计表记作U (nm )，向量hn称为该表的生成向量， 有时为了强调 h 的作用，可将U (nm )记成U(h)

10、 。给定 n ，相应的h 可以象上例那nn样方便地求得，从而 m 也就确定。所以 m 是 n 的一个函数，这个函数曾由大数学家欧拉研究过，称为欧拉函数，记为 E(n) 。这个函数告诉我们均匀设计表最多可能有多少列。下面的结果来自数论：， E(n) n 1，所谓素数就是一（1）当n 为素数时个正整数，它与其所有比它小的正整数的最大公约数均为1。如 2，3，5，7,11，13,均为素数。（2）当n 为素数幂时，即n 可表成n = pl素数， l 为正整数，这时，这里 p 为( n 11 )nE(，(5-9)p可表为n 32例如n =9，于是9 ( 11(9E )即U 9 至多可以有 6 列。6，)

11、3（3）若 n 不属于上述两种情形，这时n 一定可以表为不同素数的方幂积，即n pp p，lll(5-10)为正整数，这时12s12s这里 p1 , ps为不同的素数， l1 , lsE(n) n(1 1 ) (1 1 ) ，(5-11)p1ps例如n =12 可表为n = 22 3，于是1(11112E )12 )(4，()23即U12最多只可能有 4 列。上述三种情形中，以素数情形为最好，最多可以获得n -1非素数情形，在上述表的结构中永远 3121不 可 能 有 nn-1列 ， 例 如=6=， 此 时6 ( 11116E)2，这说明，当n =6( )()时，用上23述办法生成的均匀设计表

12、只有 2 列，即最多只能安排两个，这是太少了。2上述三种情形中，以素数情形为最好，最多可以获得n -1非素数情形，在上述表的结构中永远列 ， 例 如 n =6= 21 31n -1不 可 能 有， 此 时6 ( 11116E)2， 这说明，当n =6( )()时，用23上述办法生成的均匀设计表只有 2 列，即最多只能安排，这是太少了。 为此，中国、两个76方开泰（1981）建议，可将 U()表的最后一行去掉7来构造U 6，为了区别于由(5-38)生成的均匀设计表，U(*66)，在U 的右上角加一个“*”号，记它为6表U * (66 ) 列于表 5-30，对照表 5-29看到U 表和6U * 表

13、之间的关系和各自特点：2U(*6表 5-306)6（1）所有的U * 表是由U表中划去最后一行而获得；n1nNo12345612345612624642654321部由水平n 组成，U * 表的最（2）U表的最nn的水平都是由低到高排列，U n后一行则不然。若每个表中最后一号试验将是所有最高水平相组合，在有些试验中，例如在化工试验中，所有最高水平组合在一起可能使反应过分剧烈，甚至。反之，若每个的水平都是由高到低排列，则U n表中最后一号试验将是所有低水平的组合，有时也会出现反常现象，甚至化学反应不能进行。U *n表则没有类似现象，比较容易安排试验。*（3）若n 为偶数，Un 表比Un 表有的列

14、。如上面*过的U 6 表只有 2U6 表可以有 6 列。*（4）若n 为奇数，则Un 表的列数通常少于Un 表（5）U * 表比U表有更好的均匀性，应优先采用 U * 表nnn后一行全（6）若将U或U * 的元素组成一个矩阵，其秩最多nn分别为 E (n) 1及 E (n 1) 1 。22四、混合水平的均匀设计表若在一个试验中，有二个因素 A 和 B 为三水平，一个因素C 为二水平。分别记它们的水平为 A1 , A2 , A3 , B1 , B2 , B3。这个试验可以用正交表 L(2 37 ) 来安排，这等和C , C1218价于全面试验，并且不可能找到比 L18 更小的正交表来安排这个试验

15、。若我们选用均匀设计表U(*46，) 按使用表的推荐用61，2，3 前 3 列。若将 A 和 B 放在前两列， C 放在第 3列，并将前两列的水平合并：1，2 1，3，4 25，6 3。同时将第 3 列水平合并为二水平：1，2 3 1，4，5，6 2，于是得设计表（表 5-31）。 21 )拟水平设计U (32表 5-316NoABC1(1)1(2)1(3)123456(2)1(3)2(4)2(5)3(6)3(4)2(6)2(2)1(5)2(1)1(3)2(6)3(1)1(3)2(5)3这是混合水平的设计表U (3221 ) 。这个表有很好的均衡性6例如，A 列和C 列，B 列和C 列的二设计

16、正好组成它们的全面试验方案， A 列和 B 列的二设计中没有重复试验。（ A ，B ）五水平和一例如要安排一个二（ C二水平的试验。这项试验若用正交设计，可用 L50 表，但试验次数太多。若用均匀设计来安排，可用U( *10。)由使用810表指示选用 1，5，6 三列。对 1，5 列采用水平合并1，2 1，9，10 5；对 6 列采用水平合并1，2，3，4，5 1，6，7，8，9，10 2，于是得表 5-32 的方案。21表5-32拟水平设计U 10 ( 52)NoABC12345678910(1)1(2)1(3)2(4)2(5)3(6)3(7)4(8)4(9)5(10)5(5)3(10)5(

17、4)2(9)5(3)2(8)4(2)1(7)4(1)1(6)3(7)2(3)1(10)2(6)2(2)1(9)2(5)1(1)1(8)2(4)1这个方案中 A 和C 的两列，有二个（2，2），但没有（2，1），有二个（4，1），但没有（4，2），因此均衡*108若选用U(10的) 1，2，5 三列，用同样的拟水平性不好。技术，便可获得表 5-33 列举的U 10 (5 2 ) 表，它有较好的2均衡性。拟水平设计U 10 (5 2 )2表 5-33NoABC12345678910(1)1(2)1(3)2(4)2(5)3(6)3(7)4(8)4(9)5(10)5(2)1(4)2(6)3(8)4(1

18、0)5(1)1(3)2(5)3(7)4(9)5(5)1(10)2(4)1(9)2(3)1(8)2(2)1(7)2(1)1(6)2可见，对同一个等水平均匀设计表进行拟水平设计，可以得到不同的混合均匀设计表，这些表的均衡性也各不相同，而且参照使用表得到的混合均匀设计表不一定都有较好的均衡性。由于U( *10表)有 8 列，8希望从中选择三列，由10该三列生成的混和水平表U10 (5 2) 既有好的均衡性，又2使偏差尽可能地小。本书附录 8 给出了一批用拟水平技术而生成的混合水平的均匀设计表，供读者参考使用。五、均匀设计和正交设计的比较首先正交设计具有正交性，如果试验按它设计，可以估计出因素的主效应

19、，有时也能估计出它们的交互效应。均匀设计是非正交设计，它不可能估计出方差分析模型中的主效应和交互效应，但是它可以估计出回归模型中因素的主效应和交互效应。正交设计用于水平数不高的试验，因为它的试验数至少为水平数的平方。若一项试验，有五个因素，每个因素取 31 水平，其全部组合有315 28625151个，若用正交设计，至少需要做961 312 次试验，而用均匀设计只需 31 次，所以均匀设计适合于多因素多水平试验。均匀设计提供的均匀设计表在选用时有较多的灵活性。例如，一项试验若每个因素取 4 个水平，用 L(45 ) 来16安排，只需作 16 次试验，若改为 5 水平，则需用 L(56 )25表

20、，作 25 次试验。从 16 次到 25 次对工业试验来讲工作量有显著地不同。又如在一项试验中，原计划用均匀设计U *(135 ) 来安排五个因素，每个有 13 个水平。后来由于13某种需要，每个因素改为 14 个水平，这时可用U * (145 )14来安排，试验次数只需增加一次。均匀设计的这个性质有人称为“试验次数随水平增加有“连续性”，并称正交设计“有跳跃性”。正交设计的数据分析程式简单，均匀设计的数据要用回归分析来处理。例 5-6冰片是中医临床应用上常用的药物之一，是一种半透明的颗粒状结晶体。在冰片粉碎过程中，由于研磨时产生热量，使其黏附在容器壁上形成团块，很难将其粉碎。为解决此问题，采

21、用均匀设计方法，考虑可能影响冰片微粉化的 4个因素，名称和实验条件分别为：滴加水量 X1 ：20ml90ml；滴水速度 X 2 ：7ml9ml/min；乙醇用量 X 3 ：10ml25ml；真空干燥温度： X 4 ：2550；其中滴加水量 X1 取 8 个水平，其余 3 个因素由于取值范围较小，只能取 4 个水平，对这 3 个因素采用拟水平法，每个水平重复两次，形式上也是取 8 个水平。因素水平见表 5-34，其中因素 X 2 的第 1，2 水平都是 7ml/min，其余的拟水平方式与之相似。表 5-34 因子水平表水平12345678X 1207102530405081530608.5204

22、0708.5204080925509092550X 278X 31015X42530选取U(*58均) 匀设计表，根据使用表的规定，选择其8中的 1，2，3，5 列组成U(*48表) ，把 X的 8 个水平安排81在第一列，其余 3 个按拟水平安排在后面的三列，试验的安排与试验的结果见表 5-35。表 5-35试验设计与结果试验号因素试验结果12345678X 1X 2X 3X4得率（%）207408.560710307082030808.51025909202541.845.357.761.377.481.291.394.8为b程归方线性回建立的，设所回归元线性先做多0 b1x 1b by2

23、xxb4x2334，这里n 8 ，m 4表由， -355 助借，EXCLE经计算得x1 55 ， x82 .x3 17. 。 66. ，5x43612，5.，25y68，85l yy2870 4200.1700 65751865 4.37515.175X X(Lij 4)l4 200.1700 18 .75737501070.1 031240.012063.00170. 100107. 403003.1 0180102. .019220502077.003.031 02982L1. 01007.4 00799501092.2 0.031024.00298. 26455 3438 0. 42.5

24、5 1. 0495Y B Y2084X，274.514410 .-44 -0.32b2yx b61xb 1x58794bx.b0123344所以回归方程为0y .6455 61.58794420840.4432得又计算4 b22l870S.43iiy回i12 287l066 .2S.S2870430.23yy残回2 /S24870.66/4F9229回.422 /S3 0.23/3残的对给定03值表) 得临界 137.0查01(，F4,.1由于 F ，所以H01即回归方程有意义，故可认为x1 、 x2 、 x3 、 x4 对 y 。响显著的线性影下面检验 x1 、 x2 、 x3 、 x4 变

25、量对中每一个 y 的影取统著性。响的显计量2ilib/F 1（ i, 2i,3 ）,4i S计算得 F4124nm1/2()残.,1,6F82281,78F330.8,535，59对给定的0 .1定3 。若给 0 .。12F3311034.0，5 查( F1 ，3值)临界表得0，1查( F1 ，3 界)值 表得临 由于168 F330424 F1 . 10. 218213F.2 55934，10 .17834，.12.85. 2. F34112 .10.133413 ，3412，故 x1 对 y 著，常显的影响非 x2 、 x3 、 x4 对 y 著。的影响显由 此可 以看 出所 得回归 方程 有意 义。 由于F4124.最16大8 ，且 x1 的回归系数是正值，为使 y 达到最大应取其最大值 x1 90 ml， x2 、 x3 、 x4 的回归系数 是 负 值 ， 为 使 y达 到 最 大 应 取 其 最 小 值x2 7.0 ml/min， x3 10 ml， x4 25。用均匀设计只做了 8 次试验就找到了最优条件。均匀设计基本步骤用均匀设计表来安排试验与正交设计的步骤相似，但也有一些不同之处。一般步骤如下：明确试验的目的，确定试验指标。如果试验要考虑多个指标，还要将各指标进行综合分析。选因素。根据经验和专业知识，挑选出对试验指标影响较大的因素。确