高考知识点分章复习之函数与导数

1、第三章 导数与函数一、【突破方法技巧】1讨论函数的性质时，必须坚持定义域优先的原则.对于函数实际应用问题，注意挖掘隐含在实际中的条件，避免忽略实际意义对定义域的影响.2对于含参数的函数，研究其性质时，一般要对参数进行分类讨论，全面考虑.如对二次项含参数的二次函数问题，应分a0和a0两种情况讨论，指、对数函数的底数含有字母参数a时，需按a1和0a1分两种情况讨论.3在理解极值概念时要注意以下几点：极值点是区间内部的点，不会是端点；若在（a，b）内有极值，那么在（a，b）绝不是单调函数；极大值与极小值没有必然的大小关系；一般的情况，当函数在a，b上连续且有有限个极值点时，函数在a，b内的极大值点和

2、极小值点是交替出现的；导数为0的点是该点为极值点的必要条件，不是充分条件（对于可导函数而言）.而充分条件是导数值在极值点两侧异号.4求函数最值分为以下几步：求出可疑点，即0的解x0；用极值的方法确定极值；将（a，b）内的极值与，比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值；当在（a，b）内只有一个可疑点时，若在这一点处有极大（小）值，则可以确定在该点处了取到最大（小）值.5利用求导方法讨论函数的单调性，要注意以下几方面：0是递增的充分条件而非必要条件（0亦是如此）；求单调区间时，首先要确定定义域；然后再根据0（或0）解出在定义域内相应的x的范围；在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其次运用

3、求导的方法来证明.二、【典型例题分析】考点一：导数与函数的小题1.函数的单调递增区间是( )A. B.(0,3) C.(1,4) D.解析：,令,解得,故选D2.已知直线y=x+1与曲线相切，则的值为( ) A.1 B. 2 C.-1 D.-2解：设切点，则,又.故答案 选B 3.已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是 ( )A. B. C. D.解析：由得，即，切线方程，即选A4. 设R，若函数y=eax+3x，R有大于零的极值点，则 （ B ）Aa-3 Ba-3 Ca- Da-5设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a等于 （ D ）A.2 B. C. D.-

4、26. 曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）A B C D7. 曲线在点处的切线方程为 ( ) A. B. C. D. 解,故切线方程为,即 故选B.8. 若函数在处取极值，则解析 f(x)， f(1)0 a39. 若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_. 解析：由题意可知，又因为存在垂直于轴的切线，所以。10. 设是定义在上的奇函数，当时，则 （A） (B) （）（）【解析】设是定义在上的奇函数，当时，=3，故选A.11. 设函数f（x）=则满足f（x）2的x的取值范围是（ ） （A）-1，2 （B）0，2 （C）1，+） （D）0，+）解析：不等式等价于或解不等式组，可得

5、或，即，故选D.12. 若，则的定义域为 A. B. C. D.【解析】要使原函数有意义,只须,即,解得,选A.13. 若，则的解集为 A. B. C. D. 【解析】因为,原函数的定义域为,所以由可得,解得,故选C.14. 曲线y=+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(A) (B) (C) (D)1【解析】： ，切线方程为由 则 故选A15. 设是周期为2的奇函数，当0 x1时，=，则= (A) - (B) (C) (D)【解析】 故选A16. 函数在处取得极小值.【解析】得。所以函数的单调递增区间为，减区间为，所以函数在x=2处取得极小值。17. 已知实数，函

6、数，若，则a的值为_解：因为,所以是函数的对称轴,所以,所以的值为.18设函数，则（ ）A. 为的极大值点 B.为的极小值点C. 为的极大值点 D. 为的极小值点【解析】，令，则，当时，当时，所以为极小值点，故选D.19. 已知函数yx-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1【解析】若函数的图象与轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有一个为0，函数的导数为，令，解得，可知当极大值为，极小值为.由，解得，由，解得，所以或，选A.20. 若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于A或 B或C或 D或【解析】设过的直线与相切于点，所以切线

7、方程为即，又在切线上，则或，当时，由与相切可得，当时，由与相切可得，所以选.21. 设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为ABCD【解析】由已知，而，所以故选A考点二：利用导数求解函数的单调性问题若f(x)在某区间上可导，则由f(x)0(f(x)0)可推出f(x)为增（减）函数，但反之则不一定，如：函数f(x)x3在R上递增，而f(x)0.f(x)在区间D内单调递增(减)的充要条件是f(x0)0(0)，且f(x)在(a，b)的任意子区间上都不恒为零.利用导数求解函数单调性的主要题型：(1)根据函数解析式，求函数的单调区间；(2)根据函数的单调性函数求解参数问题；(3)求解与函

8、数单调性相关的其它问题，如函数图象的零点、不等式恒成立等问题.【例1】2008全国（文、理）：已知函数，（）讨论函数的单调区间；（）设函数在区间内是减函数，求的取值范围解：（1），求导：当时，在上递增当，求得两根为即在递增，递减，递增（2），且，解得：【例2】2009全国（文）：已知函数.（）讨论的单调性；（）设点P在曲线上，若该曲线在点P处的切线通过坐标原点，求的方程【解析】本小题考查导数的应用、函数的单调性，综合题。解：（）令得或；令得或故在区间和为增函数；在区间和为减函数。（）设点，由过原点知，的方程为，因此，即，整理得，解得或。所以的方程为或【例3】2010课标全国理：设函数。（）若，

9、求的单调区间；（II）若当时，求的取值范围于是当时，.由可得.从而当时，故当时，而，于是当时，.综合得的取值范围为.考点三：求函数的极值问题极值点的导数一定为0，但导数为0的点不一定是极值点，同时不可导的点可能是极值点.因此函数的极值点只能在导数为0的点或不可导的点产生.利用导数求函数的极值主要题型：(1)根据函数解析式求极值；(2)根据函数的极值求解参数问题.解答时要注意准确应用利用导数求极值的原理求解.【例4】2010全国（文）：已知函数（= 1 * ROMANI）当时，求的极值;（= 2 * ROMANII）若在上是增函数，求的取值范围.解：（）当时，在内单调递减，在内单调增，在时，有极

10、小值。所以是的极小值。（）在上，单调增加当且仅当即（i）当时，恒成立；（ii）当时，成立，当且仅当，解得（iii）当时，成立，即成立，当且仅当解得综上，的取值范围是。【例5】2012重庆（文）：已知函数在处取得极值为（1）求a、b的值；（2）若有极大值28，求在上的最大值 【解析】（）因，故由于 在点 处取得极值，故有即 ，化简得解得（）由（）知，令 ，得当时，故在上为增函数；当 时， 故在 上为减函数当 时 ，故在 上为增函数。由此可知 在 处取得极大值， 在 处取得极小值由题设条件知 得此时，因此 上的最小值为【例6】2012安徽（理)：设，其中为正实数（）当时，求的极值点；（）若为上的单

11、调函数，求取值范围。【解析】：当时，由得解得由得，由得，当x变化时与相应变化如下表：x+0-0+极大值极小值所以，是函数的极大值点，是函数的极小值点。因为为上的单调函数，而为正实数，故为上的单调递增函数恒成立，即在上恒成立，因此，结合解得【解题指导】：极值点的判定一定要结合该点两侧导数的符号，不可盲目下结论。同时还要注意“极值”与“极值点”的区别避免画蛇添足做无用功。某区间（a,b）上连续可导函数单调性与函数导数符号之间的关系为：若函数在区间（a,b）上单调递增（递减），则（）；若函数的导数（），则函数在区间（a,b）上单调递增（递减）；若函数的导数恒成立，则函数在区间（a,b）上为常数函数。

12、考点四：求解函数的最值问题函数在闭区间上的最值是比较所有极值点与端点的函数值所得结果，因此函数在闭区间a，b上的端点函数值一定不是极值，但它可能是函数的最值.同时，函数的极值不一定是函数的最值，最值也不一定是极值.另外求解函数的最值问题，还可以直接结合函数的单调性来求解.利用导数求解函数最值问题的主要题型：(1)根据函数的解析式求函数的最大值；(2)根据函数在一个区间上的最值情况求解参数问题.【例7】2011全国（文）：已知函数（I）证明：曲线（II）若求a的取值范围.【分析】第(I)问直接利用导数的几何意义，求出切线的斜率，然后易写出切线方程.(II)第（II）问是含参问题，关键是抓住方程的

13、判别式进行分类讨论.解：（I），由得曲线在x=0处切线方程为：，故曲线在x=0处的切线过点（2，2）（II）由得.（i）当时，没有极小值； (ii)当或时，由得故.由题设知，当时，不等式无解；当时，解不等式得综合(i)(ii)得的取值范围是【例8】2010江西：设函数。（1）当a=1时，求的单调区间。（2）若在上的最大值为，求a的值。 解：对函数求导得：，定义域为（0，2）（1）当a=1时，令当为增区间；当为减函数。（2）区间上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定待定量a的值。当有最大值，则必不为减函数，且0，为单调递增区间。最大值在右端点取到。【例9】2011江西

14、（理) ：设（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围（2）当时，在的最小值为，求在该区间上的最大值解析：（1），因为函数在上存在单调递增区间，所以的解集与集合有公共部分，所以不等式解集的右端点落在内，即，解得（2）由得，又，所以，所以函数在上单调增，在上单调减，又，因为，所以，所以，所以最大值为考点五：函数与导数综合问题导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间。所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，对函数的命题已不再拘泥于一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等，对研究函数的目标也不仅限于求定

15、义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。【例10】2010全国（理）：已知函数.（）若，求的取值范围；（）证明： .【例11】2011全国（理）：（）设函数，证明：当时，（）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为，证明：证明：（）时，于是在上单调增，所以（） （共有对数相乘）由（），时，也有，故在上单调增，所以即即，