第七章-非线性动力学与混沌-讲义课件

1、第七章 非线性动力学与混沌Chapter 7 Nonlinear Dynamics and Chaos宋若龙吉林大学物理学院参考书刘秉正， 非线性动力学与混沌基础，东北师范大学出版社，1994林振山，非线性力学与大气科学，南京大学出版社，1993刘式达，刘式适，非线性动力学和复杂现象，气象出版社，19897.1 引言一. “非线性动力学”的表观含义数学上：线性非线性 定义：力或微分方程含有坐标或速度的非线性项的系统，称为非线性动力学系统，反之称为线性动力学系统。例：二. 决定性系统与不可预测性存在且唯一，可预测性1. 力学决定论及其伟大成就1757年，哈雷慧星（Hally comet）按预测回

2、归。1846年，海王星在预言的位置被发现。今天，日月蚀的准确预测，宇宙探测器的成功发射与回收。 设想一位智者在某一瞬间得知激励大自然所有力及组成它的物体的相互位置，如果这位智者又能对众多的数据进行分析，把宇宙间最庞大的物体和最轻微的原子的运动凝聚在一个公式中，没有什么事物是不确定的，将来就像过去一样清晰地展现在眼前。 拉普拉斯（Laplace，法国数学家，1749-1827）2. 力学决定论不断受到挑战1883年，英国流体力学家雷诺(Reynolds)的湍流实验。 （香烟）1903年，法国数学家昂利庞伽莱（Henri Poincare）从动力系统和拓扑学的全局思想出发，指出动力学系统可能存在混

3、沌特征。1963，美国气象学家洛仑兹（Lorenz）在研究天气预报中大气流动问题时发现了天气“对初始条件的极端敏感性”，将使长时间的预测无法进行。后被形象地称为“蝴蝶效应” ：一只蝴蝶在巴西扇一下翅膀，就可能在美国得克萨斯州引起龙卷风。初值敏感性不可预测性，混沌洛仑兹方程初值敏感演示杜芬（Duffing）方程： （带阻尼弹性系统的强迫振动）三. 常微分方程的一般形式1. 自治方程与非自治方程不显含时间，自治的显含时间，非自治的2. 常微分方程一般形式（1）自治的2阶，1维1阶，2维（2）非自治的n维非自治n+1维自治Duffing方程一阶常微分方程组数值计算系统的状态相空间优点：四. 相空间（

4、相图）的概念 相空间，也就是状态空间，是由广义坐标和广义动量（速度）张成的空间，也称相宇。相空间中运动状态的变化轨迹称为相图。弹簧振子通解相图时空轨迹阻尼弹簧振子通解代入方程当阻尼为正阻尼且很小时时空轨迹相图非线性动力学系统决定性系统与不可预测性（初值敏感性）一阶自治常微分方程组相空间小结7.2 运动稳定性分析一. 非线性方程解的各种形式1. 定态解平衡点，奇点2. 发散解之一或几个随时间无限地偏离初值爆炸，散射3. 振荡解既不趋于无穷大，也不终止于某一点，而是在一定区域内不断变化。周期振荡混沌相轨迹没有确定的形状周期、貌似随机的运动。闭合曲线非闭合曲线准周期振荡二. 解的稳定性Lyapuno

5、v稳定性定义：(1) 设t=t0时方程的解为 ，t时为 ，另一受扰动而偏离它的解t0时为 ， t时为 。如果对于任意小的数 ，总有一小数 存在，使得当 时，必有则称解 是Lyapunov意义下稳定的，简称Lyapunov稳定的或稳定的。两矢量间的距离(2) 如果解 是稳定的，且 则称此解是渐进稳定的。(3) 不满足上述条件的解是不稳定的。例1.解：是Lyapunov稳定的例2.解：渐进稳定的三. 线性稳定性分析1. 线性稳定性定理设 为方程的一个解(参考解)， 为研究该解的稳定性，令 为此解附件另一解，称扰动解 。 非线性方程组在参考态 附近的线性化方程组若线性化方程的原点 是渐进稳定的，则原

6、非线性方程的参考态 是渐进稳定的；若线性化方程的原点 是不稳定的， 则原非线性方程的参考态 是不稳定的。Lyapunov间接法2. 线性化方程组的解及其稳定性试探解：系数矩阵的迹系数行列式的值特征矩阵 特征根 (1) 两特征根实部都是负的参考态 也是渐进稳定的。原点 是渐进稳定的(2) 两特征根中至少有一个实部为正原点 是不稳定的参考态 也是不稳定的。(3) 两特征根中至少有一个实部为零，另一个实部为负原点 是Lyapunov稳定的参考态 处于临界情况。渐进稳定不稳定不稳定不稳定临界情况3. 奇点的分类 （取非线性方程的奇点为参考态）(1)两根都是实的，且符号相同，此时奇点称为结点。不稳定的结

7、点稳定的结点(2)两根都是复的，此时奇点称为焦点。不稳定的焦点稳定的焦点(3)两根都是纯虚数，解是等幅振荡，此时奇点称为中心。中心(4)两根都是实数，一正一负，此时奇点称为鞍点。鞍点不稳焦点稳定焦点中心稳定结点不稳结点鞍点例： 分析阻尼单摆定态的稳定性解：令求定态解两奇点1. 在奇点(0,0)处线性化方程组为不稳焦点稳定焦点中心稳定结点不稳结点鞍点奇点(0,0)为结点奇点(0,0)为焦点奇点(0,0)为中心（过阻尼）（欠阻尼）（无阻尼）2. 在奇点 处线性化方程组为奇点 为鞍点线性稳定性定理只适用于分析非线性方程奇点及其附近的解的性质，离奇点越远，线性化误差越大。7.3 极限环渐进稳定的周期振

8、荡一. 定义相空间里孤立的闭曲线，称为极限环守恒的（与初始条件有关的）周期振荡不是极限环极限环例：Van der Pol 方程（电子管振荡）阻尼力与速度同向，负阻尼，对系统供能，振幅逐渐增大，振幅终将大于1。阻尼力与速度反向，正阻尼，消耗能量，振幅逐渐减小。与初始条件无关演示 Van Der Pol此轨道极小邻域内不出现其它闭轨道二. 极限环存在的判据庞伽莱-班狄克生判据 (Poincare-Bendixson theorem):有一解的相轨迹总是局限于相平面中不包含任何奇点的有限区域D内，则此轨迹或者是一极限环，或者趋于一极限环。 如果方程（二维自治系统）DNR=D-N三. 极限环的稳定性定

9、义:稳定环不 稳 环半稳环 如果从包含极限环L的环形域（L的内侧和外侧）出发的任何轨线在 时都渐近地趋于该极限环，则称极限环L是稳定的，否则称为不稳定的。如果从包含L的环域内L的某一侧出发的轨线在 时都渐近地逼近L，而从另一侧出发的轨线都远离L，则称L是半稳定的。半稳定的极限环是不稳定极限环的一种。例：求非线性系统的极限环性解及其稳定性，c为参数。解：令微分得代入方程得联立，令等式两侧 的系数分别相等，得极坐标下方程：在极坐标中系统相轨迹以常角速度旋转，由 可求平衡态为：奇点极限环（ 为实数时）为复数，只有平衡态为稳定的焦点。有 两个平衡态都有为半稳环（不稳环）。有三个平衡态为稳定的焦点，为稳

10、定的焦点，为不稳定极限环，为稳定极限环。 硬激励（心脏）有 两个平衡态为不稳定的焦点，为稳定极限环。软激励四. 极限环的特点非线性系统周期振荡独有的特征；极限环在相空间中是孤立的；由系统的固有性质（运动方程及其参数）决定，与初始状态无关；包围不稳定奇点的极限环一定是稳定的，而包围稳定奇点的极限环一定是不稳定的；极限环只能包围结点和焦点，而不能包围鞍点。Homework: 1. 用线性稳定性定理讨论中心力场中圆轨道的稳定性。2. 求解如下常微分方程组的定态解、极限环型解，分析其稳定性，若有分岔现象，说明其分岔的类型。3.用摄动方法求至1级近似解7.4 含弱非线性作用的一维振动摄动方法一. 无阻尼

11、、无强迫力的一维弱非线性振动（板书）为弱非线性作用无因次化摄动方法，设解为：零级解一级解二级解代入方程的同次项相等第一式为简谐振动方程，其解为由 得各级解初始条件为可得零级解为将零级解代入第二式，得一级解满足的方程伪共振非线性项系统固有频率改变小量，可正可负为小量，令回到原运动微分方程原方程表示为将代入得零级解为一级解满足的方程为避免伪共振，必有一级方程变为特解 代入一级方程有齐次方程通解非齐次方程特解一级方程齐次方程 通解可写为非齐次方程解为一级解为把 代入二级方程，可得二级解。当仅求至一级解时，非线性方程的解为若非线性作用下非线性振动的特点：固有振动的频率由 变为 ，且改变量与振幅a有关；

12、整个振动除基频 外，还有谐频 ，当进一步顾及高级近似解时，还有出现 等奇数倍高次谐频振动；可推当非线性作用力为 时会出现 等偶数倍谐频振动；系统本来不受强迫力，但一级解满足的方程 出现了强迫力，并且是3倍频的，这是由于非线性振动引起的。二. 非线性强迫振动振幅破裂Duffing方程假定 为小量，设试探解为将试探解代入方程，仅保留至 的一次项利用关系式令方程两端线性无关项的系数分别相等，可等待定系数 满足的方程：振幅A（近似为系统的振幅）随驱动频率 的变化 当 时 当 时（考虑非线性），用数值方法求解，画出振幅频率响应曲线：AAAA在 段，同一频率下，振幅出现多值现象，CD段表示不稳定振动。驱动

13、频率逐渐增大或减小时，出现振幅跳跃（振幅破裂）现象。 例：洗衣机甩干过程 机械（汽车、飞机）三. 分谐振、组合频率谐振取特解小量代入方程并保留到 的一阶量令方程两端线性无关项 的系数分别相等：分谐振 非线性系统受两个不同频率的外力同时作用时，系统除了以主要的频率 振动外，还包含有频率为等组合谐振成份，若非线性项不太弱需要考虑高阶项时，振动将包含各种频率为 的成份。 即谐频， 则称组合频。例：耳膜。当 时，B有实根，特解存在，出现频率为 的分谐振，也称为分频，且为主要振动。例：石英钟。四. 非线性受迫振动的特点驱动频率连续变化时出现振幅跳跃现象。驱动频率在某值处的微小改变，系统振幅发生剧烈变化。

14、谐频振动：基频（驱动频率）为 时，当非线性项为x的奇次幂时，会出现 等奇数倍谐频；当非线性项为x的偶次幂时，会出现 等偶数倍谐频。当驱动频率远大于系统固有频率时（ ），会出现分频，也称为倍周期。 x的奇次幂 ， x的偶次幂 。当强迫力为两不同频率 时，有组合频 出现。如耳膜。7.5 分岔 (bifurcation)一. 分岔的概念1. 定义：对常微分方程组 为参数。如果参数 在某一值 附近的微小变化将引起解的性质（相轨线的拓扑结构）发生突变，则此现象称为分岔。 称为临界值或分岔值。在 坐标轴上其对应点为分岔点，其余点称为常点。例：极限环求解2. 解的结构稳定性 指在参数发生微小变化时解的轨线仍

15、维持在原轨线某一邻域内。因次非线性系统在常点的解具有结构稳定性，而分岔点附近的解是结构不稳定的。二. 分岔的类型1. 叉式分岔系统参数发生微小变化时，一个稳定的定态 两个稳定的定态例1：水平滑动摆，弹簧原长 ，参数 变化定态线性稳定性定理：（1）奇点1个奇点3个奇点(0,0)为中心，Lyapunov稳定的(0,0)为鞍点，不稳定的不稳焦点稳定焦点中心稳定结点不稳结点鞍点两奇点均为中心，Lyapunov稳定的（2）奇点叉式分岔2. 霍普夫（Hopf）分岔系统参数发生微小变化时，稳定的定态 稳定的极限环例：Van der Pol方程定态为(0,0),其线性化方程组为奇点(0,0)为稳定定态（结点、

16、焦点或中心）奇点(0,0)为不稳定定态，由极限环一节的分析，此时出现了稳定的极限环。不稳定的定态 不稳定的极限环3. 倍周期分岔 系统参数变化时，解的振动周期依次加倍的分岔现象，称为倍周期分岔。例1：Duffing方程取定 ，令 逐渐增大，数值求解。演示T 2T 22T 2T 混沌例2： Logistic映射（虫口模型）某代虫口（数量）亲代虫口1点（倍）周期2点（倍）周期1点（倍）周期2点（倍）周期4点（倍）周期非周期（混沌）演示Logistic映射自相似费根鲍姆(Feigenbaum)数：在第n次分岔点的参数 的取值 满足：出现混沌的分岔点处的 值， 为系统参数。费根鲍姆数普适常数7.6 混

17、沌的概念、特点及描述方法一. 混沌的概念 1. 定义：确定性非线性系统的不是由于随机性外因引起的，而是由系统内在的非线性作用产生的具有随机性的、非周期的运动状态，称为混沌。例1：阻尼单摆的受迫振荡方程两边除以mg，令无因次化：令令 仍记演示F=1.02 单周期极限环F=1.07 2倍周期极限环F=1.077 4倍周期极限环F=1.15 混沌 (300-700)F=1.35 单周期极限环F=1.45 2倍周期极限环F=1.47 4倍周期极限环F=1.50 混沌 (300-700)混沌运动是服从一定规律的随机运动，是决定性和随机性矛盾统一体； 对初始状态敏感依赖；只有（3维以上自治、2维以上非自治

18、）非线性系统才有可能做混沌运动；倍周期分岔可以通向混沌。例2：小行星Kirkwood间隙二. 自然界中混沌现象n= 0 1 2 4 5 行星與太陽間的距離 金星地球火星木星土星 6天王星3小行星带 处于Kirkwood间隙处的小行星与木星的轨道共振，产生混沌运动，轨道离心率增大，穿越了火星和地球的轨道 (Jack Wisdom模型) 。6500万年前，估计一颗直径10公里的小行星冲撞地球，全球滔天大火，恐龙等大型生物在这悲剧中消失，全球5080%生态物种从此绝灭，后来哺乳类动物得以繁衍。 例4：贝纳对流例5：卡曼涡流例3：土星卡西尼环缝 例6：天气，虫口模型，香烟烟雾，心脏跳动，脑电波1倍周期

19、相图Poincare 截面三. 庞加莱(Poincare)截面 在多维相空间 中适当选取一截面（有利于观察系统的运动特征和变化，不与轨线相切，更不包含轨线面），在此截面上，某一对共轭变量 取固定值，称此截面为庞加莱截面. 对于单变量系统 ，截面常常取为垂直与时间轴的周期性截面。相空间的轨线 轨线与庞加莱截面的交点2倍周期相图Poincare 截面演示单摆F=1.35 F=1.452变量系统周期运动Poincare 截面为无理数 准周期运动混沌运动Poincare 截面为一闭曲线Poincare 截面为一片或多片密集的点分别为 方向运动的频率为有理数Poincare 截面有有限个离散点周期运动周

20、期运动Poincare 截面上为一不动点四. 相体积演化，李雅普诺夫(Lyapunov)指数例：一维线性系统运动时相面积的变化1. 相体积演化，也就是相空间中状态密度随时间的变化。2. 李雅普诺夫(Lyapunov)指数高维空间相体积（状态密度）演化，利用流体力学理解物质坐标对任一体积元 单位时间流出量单位时间 内流体质量变化为Gauss定理任意双角标求和将这一结果推广到2f维相空间：状态密度耗散系统正则方程将正则方程代入由状态量守恒对保守系统 相体积守恒刘维定理不求和Lyapunov指数该方向相轨线指数地相互远离该方向相轨线指数地收缩到一起非保守系统设 时， 时(1)定常吸引子：2维空间中稳定的结点和焦点五. 吸引子，奇怪吸引子耗散系统混沌1. 吸引子 经足够长的时间后，相空间中系统轨线所趋向的有限区域（如不动点、闭曲线、高维环面等），称为吸引子。结点焦点(2) 周期吸引子：2维和3维空间中稳定的极限环。(3) 准周期吸引子：3维空间中的环面。该系统相体积随时间演化为整体稳定性和局部不稳定性。将3维或3维以