第二节直线的交点与距离公式课件

1、第二节 直线的交点与距离公式课标版 文数1.两条直线的交点教材研读ccc点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|=点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=2.三种距离ccc1.两条直线l1:2x+y-1=0和l2:x-2y+4=0的交点为()A.B.C.D.答案B解方程组得所以两直线的交点为.2.原点到直线x+2y-5=0的距离为()A.1B. C.2D.c答案D由相应距离公式易得d=.3.已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1,l2之间的距离为()A.1B.C.D.2

2、答案B由题意可知l1与l2平行,故l1与l2之间的距离d=,故选B.4.若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+by=0相交于一点,则b=.答案-解析由解得将其代入x+by=0,得b=-.cc5.已知坐标平面内两点A(x,-x)和B,那么这两点之间距离的最小值是.答案解析由题意可得两点间的距离d=,即最小值为.c 直线的交点典例1(1)经过直线l1:x+y+1=0与直线l2:x-y+3=0的交点P,且与直线l3:2x-y+2=0垂直的直线l的方程是.(2)已知三条直线l1:4x+y-4=0,l2:mx+y=0,l3:2x-3my-4=0,若它们不能围成三角形,则m的取值构成的集合是.

3、答案(1)x+2y=0(2)解析(1)解法一:由方程组解得即点P(-2,1),由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-1=k(x+2),l3l,k=-,考点突破c直线l的方程为y-1=-(x+2),即x+2y=0.解法二:因为直线l过直线l1和l2的交点,所以可设直线l的方程为x+y+1+(x-y+3)=0,即(1+)x+(1-)y+1+3=0.因为l与l3垂直,所以2(1+)-(1-)=0,所以=-,所以直线l的方程为x+y=0,即x+2y=0.(2)由已知易知l2与l3相交,且交点为,若l1、l2、l3交于一点,则易得m=-1或;若l1l2,则m=4;若l1l3,则m=-.综上可得,

4、m=-1或或4或-.经过两条直线交点的直线方程的设法经过两相交直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(这个直线系不包括直线A2x+B2y+C2=0).1-1若将本例(1)的“垂直”改为“平行”,试求l的方程.解析由方程组解得即点P(-2,1).设直线l的方程为y-1=k(x+2),因为ll3,所以k=2,故直线l的方程为y-1=2(x+2),即2x-y+5=0. 距离问题典例2正方形的中心为点C(-1,0),一条边所在直线的方程为x+3y-5=0,求其他三边所在直线的方程.解析点C到直线x+3y-5=0的距离

5、d1=.cc设与直线x+3y-5=0平行的边所在直线的方程是x+3y+m=0(m-5),则点C到直线x+3y+m=0的距离d2=,解得m=-5(舍去)或m=7,所以与直线x+3y-5=0平行的边所在直线的方程是x+3y+7=0.设与x+3y-5=0垂直的边所在直线的方程是3x-y+n=0,则点C到直线3x-y+n=0的距离d3=,解得n=-3或n=9,所以与直线x+3y-5=0垂直的两边所在直线的方程分别是3x-y-3=0和3x-y+9=0.正方形的四条边两两平行或垂直,设平行直线系和垂直直线系可以较方便地解题.运用点到直线的距离公式时,需把直线方程化为一般式;运用两平行线间的距离公式时,需先

6、把两平行线方程中x,y的系数化为相同的形式.2-1已知点P(2,-1).(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程;(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程,并求出最大距离;(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.解析(1)过P点的直线l与原点距离为2,又P点坐标为(2,-1),可见,过P(2,-1)且垂直于x轴的直线满足条件.此时l的斜率不存在,其方程为x=2.若斜率存在,则设l的方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.c则=2,解得k=.此时l的方程为3x-4y-10=0.综上,直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.(2

7、)由题意可知过P点且与原点距离最大的直线l是过P点且与PO(O为坐标原点)垂直的直线,由lOP,得klkOP=-1,所以kl=-=2.由点斜式得直线l的方程为y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.所以2x-y-5=0是过P点且与原点距离最大的直线的方程,最大距离为=.(3)不存在.由(2)可知,过P点不存在与原点距离超过的直线,因此不存在过P点且与原点距离为6的直线. 对称问题命题角度一点关于点的对称典例3过点P(0,1)作直线l使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,求直线l的方程.解析设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P

8、的对称点B(-a,2a-6)在l2上,将其代入l2的方程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,则A(4,0),又P(0,1),所以由两点式可得直线l的方程为x+4y-4=0.c命题角度二点关于线的对称典例4求点A(-1,-2)关于直线l:2x-3y+1=0的对称点A的坐标.解析设A(x,y),则由已知得解得A.命题角度三线关于点的对称典例5求直线l:2x-3y+1=0关于点A(-1,-2)对称的直线l的方程.解析设P(x,y)为l上任意一点,则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P(-2-x,-4-y),点P在直线l上,2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,cc即2x-3y

9、-9=0.则直线l的方程为2x-3y-9=0.命题角度四线关于线的对称典例6求直线m:3x-2y-6=0关于直线l:2x-3y+1=0的对称直线m的方程.解析在直线m上任取一点,如点M(2,0),则点M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上.设点M的对称点M的坐标为(a,b),则解得故点M的坐标为.c设直线m与直线l的交点为N,由解得则N(4,3).由两点式可得直线m的方程为9x-46y+102=0.命题角度五对称问题的应用典例7 (2013湖南,8,5分)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线

10、QR经过ABC的重心,则AP等于()A.2B.1C.D.答案D解析以AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立如图所示的坐标系,由题意可知B(4,0),C(0,4),A(0,0),则直线BC的方程为x+y-4=0.设P(t,0)(0t4),由对称知识可得点P关于直线BC的对称点P1的坐标为(4,4-t),点P关于y轴的对称点P2的坐标为(-t,0),根据反射定理可知直线P1P2就是光线RQ所在直线.由P1、P2两点坐标可得直线P1P2的方程为y=(x+t),设ABC的重心为G,易知G.因为重心G在光线RQ上,所以=,即3t2-4t=0,解得t=0或t=,因为0t4,所以t=,即AP=,故选D.常见对称问题的求解方法:(1)中心对称若点M(x1,y1)与N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式得若直线关于点对称,则在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用原直线与其关于点对称的直线平行,由点斜式得到所求直线方程.(2)轴对称点关于直线的对称若两点P1(