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文档简介
1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1在直角坐标平面上,点的坐标满足方程,点的坐标满足方程则的取值范围是( )ABCD2函数()的图像可以是( )ABC
2、D3已知数列,是首项为8,公比为得等比数列,则等于( )A64B32C2D44函数的图象大致是()ABCD5已知,满足条件(为常数),若目标函数的最大值为9,则( )ABCD6执行如图所示的程序框图后,输出的值为5,则的取值范围是( ). ABCD7生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人,这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系,具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化,某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座,每艺安排一节,连排六节,则满足“数”必须排在前两节,“礼”和“乐”必须分开安排的概率为( )ABCD8已知函数是定义域为的偶函数,且满足,当时
3、,则函数在区间上零点的个数为( )A9B10C18D209是定义在上的增函数,且满足:的导函数存在,且,则下列不等式成立的是( )ABCD10下列四个结论中正确的个数是(1)对于命题使得,则都有;(2)已知,则 (3)已知回归直线的斜率的估计值是2,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为;(4)“”是“”的充分不必要条件.A1B2C3D411已知是椭圆和双曲线的公共焦点,是它们的-一个公共点,且,设椭圆和双曲线的离心率分别为,则的关系为( )ABCD12在直三棱柱中,己知,则异面直线与所成的角为( )ABCD二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13设实数x,y满足,则点表示的区
4、域面积为_.14在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有100名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率为70%,女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%,女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试,给出下列三个结论:甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中,所有正确结论的序号是_.15满足线性的约束条件的目标函数的最大值为_16给出以下式子:tan25+tan35tan25tan35;2(sin35cos25+cos35cos65);其中,结果为
5、的式子的序号是_.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知函数(1)时,求不等式解集;(2)若的解集包含于,求a的取值范围18(12分)已知抛物线:,点为抛物线的焦点,焦点到直线的距离为,焦点到抛物线的准线的距离为,且.(1)求抛物线的标准方程;(2)若轴上存在点,过点的直线与抛物线相交于、两点,且为定值,求点的坐标.19(12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线l的参数方程为(为参数),以原点O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为4sin.(1)求曲线C的普通方程;(2)求曲线l和曲线C的公共点的极坐标.20(12分)2019年是
6、中华人民共和国成立70周年为了让人民了解建国70周年的风雨历程,某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查,将他们的年龄分成6段:,并绘制了如图所示的频率分布直方图(1)现从年龄在,内的人员中按分层抽样的方法抽取8人,再从这8人中随机选取3人进行座谈,用表示年龄在)内的人数,求的分布列和数学期望;(2)若用样本的频率代替概率,用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查,其中有名市民的年龄在的概率为当最大时,求的值21(12分)设,函数,其中为自然对数的底数.(1)设函数.若,试判断函数与的图像在区间上是否有交点;求证:对任意的,直线都不是的切线;(2)设函数,试判断函数是否存在极小值
7、,若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.22(10分)已知.()当时,解不等式;()若的最小值为1,求的最小值.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1B【解析】由点的坐标满足方程,可得在圆上,由坐标满足方程,可得在圆上,则求出两圆内公切线的斜率,利用数形结合可得结果.【详解】点的坐标满足方程,在圆上,在坐标满足方程,在圆上,则作出两圆的图象如图,设两圆内公切线为与,由图可知,设两圆内公切线方程为,则,圆心在内公切线两侧,可得,化为,即,的取值范围,故选B.【点睛】本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形
8、结合思想的应用,属于综合题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法,尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象,充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简,并迎刃而解.2B【解析】根据,可排除,然后采用导数,判断原函数的单调性,可得结果.【详解】由题可知:,所以当时,又,令,则令,则所以函数在单调递减在单调递增,故选:B【点睛】本题考查函数的图像,可从以下指标进行观察:(1)定义域;(2)奇偶性;(3)特殊值;(4)单调性;(5)值域,属基础题.3A【解析
9、】根据题意依次计算得到答案.【详解】根据题意知:,故,.故选:.【点睛】本题考查了数列值的计算,意在考查学生的计算能力.4C【解析】根据函数奇偶性可排除AB选项;结合特殊值,即可排除D选项.【详解】,函数为奇函数,排除选项A,B;又当时,故选:C.【点睛】本题考查了依据函数解析式选择函数图象,注意奇偶性及特殊值的用法,属于基础题.5B【解析】由目标函数的最大值为9,我们可以画出满足条件 件为常数)的可行域,根据目标函数的解析式形式,分析取得最优解的点的坐标,然后根据分析列出一个含参数的方程组,消参后即可得到的取值【详解】画出,满足的为常数)可行域如下图:由于目标函数的最大值为9,可得直线与直线
10、的交点,使目标函数取得最大值,将,代入得:故选:【点睛】如果约束条件中含有参数,我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域,分析取得最优解是哪两条直线的交点,然后得到一个含有参数的方程(组,代入另一条直线方程,消去,后,即可求出参数的值6C【解析】框图的功能是求等比数列的和,直到和不满足给定的值时,退出循环,输出n.【详解】第一次循环:;第二次循环:;第三次循环:;第四次循环:;此时满足输出结果,故.故选:C.【点睛】本题考查程序框图的应用,建议数据比较小时,可以一步一步的书写,防止错误,是一道容易题.7C【解析】分情况讨论,由间接法得到“数”必须排在前两节,“礼”和“乐”必须分开的事件
11、个数,不考虑限制因素,总数有种,进而得到结果.【详解】当“数”位于第一位时,礼和乐相邻有4种情况,礼和乐顺序有2种,其它剩下的有种情况,由间接法得到满足条件的情况有 当“数”在第二位时,礼和乐相邻有3种情况,礼和乐顺序有2种,其它剩下的有种,由间接法得到满足条件的情况有共有:种情况,不考虑限制因素,总数有种,故满足条件的事件的概率为: 故答案为:C.【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则:按元素(或位置)的性质进行分类;按事情发生的过程进行分步具体地说,解排列组合问题常以元素(或位置)为主体,即先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置)8B【解析】由已知可得函数f(x)的周期与对称轴,函
12、数F(x)f(x)在区间上零点的个数等价于函数f(x)与g(x)图象在上交点的个数,作出函数f(x)与g(x)的图象如图,数形结合即可得到答案.【详解】函数F(x)f(x)在区间上零点的个数等价于函数f(x)与g(x)图象在上交点的个数,由f(x)f (2x),得函数f(x)图象关于x1对称,f(x)为偶函数,取xx+2,可得f(x+2)f(x)f(x),得函数周期为2.又当x0,1时,f(x)x,且f(x)为偶函数,当x1,0时,f(x)x,g(x),作出函数f(x)与g(x)的图象如图:由图可知,两函数图象共10个交点,即函数F(x)f(x)在区间上零点的个数为10.故选:B.【点睛】本题
13、考查函数的零点与方程根的关系,考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法,属于中档题.9D【解析】根据是定义在上的增函数及有意义可得,构建新函数,利用导数可得为上的增函数,从而可得正确的选项.【详解】因为是定义在上的增函数,故.又有意义,故,故,所以.令,则,故在上为增函数,所以即,整理得到.故选:D.【点睛】本题考查导数在函数单调性中的应用,一般地,数的大小比较,可根据数的特点和题设中给出的原函数与导数的关系构建新函数,本题属于中档题.10C【解析】由题意,(1)中,根据全称命题与存在性命题的关系,即可判定是正确的;(2)中,根据正态分布曲线的性质,即可判定是正确的;(3)中,由回归直线方
14、程的性质和直线的点斜式方程,即可判定是正确;(4)中,基本不等式和充要条件的判定方法,即可判定【详解】由题意,(1)中,根据全称命题与存在性命题的关系,可知命题使得,则都有,是错误的;(2)中,已知,正态分布曲线的性质,可知其对称轴的方程为,所以 是正确的;(3)中,回归直线的斜率的估计值是2,样本点的中心为(4,5),由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程,可得回归直线方程为是正确;(4)中,当时,可得成立,当时,只需满足,所以“”是“”成立的充分不必要条件【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用,其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质,以及基本不等式的应用等
15、知识点的应用,逐项判定是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题11A【解析】设椭圆的半长轴长为,双曲线的半长轴长为,根据椭圆和双曲线的定义得: ,解得,然后在中,由余弦定理得:,化简求解.【详解】设椭圆的长半轴长为,双曲线的长半轴长为 ,由椭圆和双曲线的定义得: ,解得,设,在中,由余弦定理得: , 化简得,即.故选:A【点睛】本题主要考查椭圆,双曲线的定义和性质以及余弦定理的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.12C【解析】由条件可看出,则为异面直线与所成的角,可证得三角形中,解得从而得出异面直线与所成的角【详解】连接,如图:又,则为异面直线与所成的角.因为且三棱柱
16、为直三棱柱,面,又,解得.故选C【点睛】考查直三棱柱的定义,线面垂直的性质,考查了异面直线所成角的概念及求法,考查了逻辑推理能力,属于基础题二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13【解析】先画出满足条件的平面区域,求出交点坐标,利用定积分即可求解.【详解】画出实数x,y满足表示的平面区域,如图(阴影部分):则阴影部分的面积,故答案为:【点睛】本题考查了定积分求曲边梯形的面积,考查了微积分基本定理,属于基础题.14【解析】根据局部频率和整体频率的关系,依次判断每个选项得到答案.【详解】不能确定甲乙两校的男女比例,故不正确;因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率,故甲、乙两校
17、所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率,故正确;因为不能确定甲乙两校的男女比例,故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系,故正确.故答案为:.【点睛】本题考查局部频率和整体频率的关系,意在考查学生的理解能力和应用能力.151【解析】作出不等式组表示的平面区域,将直线进行平移,利用的几何意义,可求出目标函数的最大值。【详解】由,得,作出可行域,如图所示:平移直线,由图像知,当直线经过点时,截距最小,此时取得最大值。由 ,解得 ,代入直线,得。【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题的解法平移法。16【解析】由已知分别结合和差角的正切及正弦余弦公式进行
18、化简即可求解.【详解】tan60tan(25+35),tan25+tan35tan25tan35;tan25tan35,2(sin35cos25+cos35cos65)2(sin35cos25+cos35sin25),2sin60;tan(45+15)tan60;故答案为:【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角公式在三角化简求值中的应用,属于中档试题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(1)(2)【解析】(1) 代入可得对分类讨论即可得不等式的解集; (2)根据不等式在上恒成立去绝对值化简可得再去绝对值即可得关于 的不等式组解不等式组即可求得的取值范围【详解】(
19、1)当时,不等式可化为,当时,不等式为,解得;当时,不等式为,无解;当时,不等式为,解得,综上,原不等式的解集为(2)因为的解集包含于,则不等式可化为,即解得,由题意知,解得,所以实数a的取值范围是【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法分类讨论解绝对值不等式的应用,含参数不等式的解法.难度一般.18(1)(2)【解析】(1)先分别表示出,然后根据求解出的值,则的标准方程可求;(2)设出直线的方程并联立抛物线方程得到韦达定理形式,然后根据距离公式表示出并代入韦达定理形式,由此判断出为定值时的坐标.【详解】(1)由题意可得,焦点,则,解得.抛物线的标准方程为(2)设,设点,显然直线的斜率不为0.设直
20、线的方程为联立方程,整理可得,要使为定值,必有,解得,为定值时,点的坐标为【点睛】本题考查抛物线方程的求解以及抛物线中的定值问题,难度一般.(1)处理直线与抛物线相交对应的定值问题,联立直线方程借助韦达定理形式是常用方法;(2)直线与圆锥曲线的问题中,直线方程的设法有时能很大程度上起到简化运算的作用。19(1)(2)(2,)【解析】(1)利用极坐标和直角坐标的转化公式求解.(2)先把两个方程均化为普通方程,求解公共点的直角坐标,然后化为极坐标即可.【详解】(1)曲线C的极坐标方程为,则,即.(2),联立可得,(舍)或,公共点(,3),化为极坐标(2,)【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的转化
21、及交点的求解,熟记极坐标和直角坐标的转化公式是求解的关键,交点问题一般是统一一种坐标形式求解后再进行转化,侧重考查数学运算的核心素养.20(1)分布列见解析,(1)【解析】(1)根据频率分布直方图及抽取总人数,结合各组频率值即可求得各组抽取的人数;的可能取值为0,1,1,由离散型随机变量概率求法即可求得各概率值,即可得分布列;由数学期望公式即可求得其数学期望.(1)先求得年龄在内的频率,视为概率.结合二项分布的性质,表示出,令,化简后可证明其单调性及取得最大值时的值【详解】(1)按分层抽样的方法拉取的8人中,年龄在的人数为人,年龄在内的人数为人年龄在内的人数为人所以的可能取值为0,1,1所以,所以的分市列为011 (1)设在抽取的10名市民中,年龄在内的人数为,服从二项分布由频率分布直方图可知,年龄在内的频率为,所以,所以设,若,则,;若,则,所以当时,最大,即当最大时,【点睛】本题考差了离散型随机变量分布列及数学期望的求法
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