安徽省合肥2021-2022学年高三下学期联考数学试题含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为

2、（ ）ABCD2已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则3已知集合，ByN|yx1，xA，则AB（ ）A1，0，1，2，3B1，0，1，2C0，1，2Dx1x24已知f(x)，g(x)都是偶函数，且在0,+)上单调递增，设函数F(x)=f(x)+g(1-x)-|f(x)-g(1-x)|，若a0，则（ ）AF(-a)F(a)且F(1+a)F(1-a)BF(-a)F(a)且F(1+a)F(1-a)CF(-a)F(a)且F(1+a)F(1-a)DF(-a)F(a)且F(1+a)F(1-a)5已知甲盒子中有个红球，个蓝球，乙盒子中有个红球，个蓝

3、球，同时从甲乙两个盒子中取出个球进行交换，（a）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为.（b）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为.则（ ）ABCD6已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的离心率为（ ）ABC3D47元代数学家朱世杰的数学名著算术启蒙是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若，则输出的（ ）A3B4C5D68定义在上的函数满足，则（）A-1B0C1D29已知函数的零点为m，若存在实数n使且，则实数a的取值范围是（ ）ABCD10我国古代数学名著九章算术有一问题：“今有

4、鳖臑(bi na)，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广；高七尺.问积几何？”该几何体的三视图如图所示，则此几何体外接球的表面积为( )A平方尺B平方尺C平方尺D平方尺11窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱下图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（ ）ABCD12已知定义在上的可导函数满足，若是奇函数，则不等式的解集是（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小

5、题5分，共20分。13如图，直线平面，垂足为，三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，在平面内，是直线上的动点，则点到平面的距离为_，点到直线的距离的最大值为_.14在平面直角坐标系中，点P在直线上，过点P作圆C：的一条切线，切点为T.若，则的长是_.15已知关于x的不等式（axa24）（x4）0的解集为A，且A中共含有n个整数，则当n最小时实数a的值为_16在边长为2的正三角形中，则的取值范围为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知点，若点满足.（）求点的轨迹方程； （）过点的直线与（）中曲线相交于两点，为坐标原点， 求面积的最大值及此时直线的方程.18

6、（12分）年，山东省高考将全面实行“选”的模式（即：语文、数学、外语为必考科目，剩下的物理、化学、历史、地理、生物、政治六科任选三科进行考试）.为了了解学生对物理学科的喜好程度，某高中从高一年级学生中随机抽取人做调查.统计显示，男生喜欢物理的有人，不喜欢物理的有人；女生喜欢物理的有人，不喜欢物理的有人.（1）据此资料判断是否有的把握认为“喜欢物理与性别有关”；（2）为了了解学生对选科的认识，年级决定召开学生座谈会.现从名男同学和名女同学（其中男女喜欢物理）中，选取名男同学和名女同学参加座谈会，记参加座谈会的人中喜欢物理的人数为，求的分布列及期望.，其中.19（12分）已知函数.（1）若，解关于

7、的不等式；（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.20（12分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，为等边三角形，平面底面，为的中点. （1）求证：平面平面；（2）点在线段上，且，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.21（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（）求的极坐标方程和的直角坐标方程；（）设分别交于两点（与原点不重合），求的最小值.22（10分）在四棱锥中，是等边三角形，点在棱上，平面平面（1）求证：平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值；（3）设直线与平面相交于

8、点，若，求的值参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【解析】先求出直线l的方程为y（xc），与yx联立，可得A，B的纵坐标，利用，求出a，b的关系，即可求出该双曲线的离心率【详解】双曲线1（ab0）的渐近线方程为yx，直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，kl，直线l的方程为y（xc），与yx联立，可得y或y，2，ab，c2b，e故选B【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题2B【解析】根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果.【详解】A选项，若，则或与相交；故A错；B

9、选项，若，则，又，是两个不重合的平面，则，故B正确；C选项，若，则或或与相交，又，是两个不重合的平面，则或与相交；故C错；D选项，若，则或或与相交，又，是两个不重合的平面，则或与相交；故D错；故选B【点睛】本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常考题型.3A【解析】解出集合A和B即可求得两个集合的并集.【详解】集合xZ|2x31，0，1，2，3，ByN|yx1，xA2，1，0，1，2，AB2，1，0，1，2，3故选：A【点睛】此题考查求集合的并集，关键在于准确求解不等式，根据描述法表示的集合，准确写出集合中的元素.4A【解析】试题分析：由题意得，F(x)=2

10、g(1-x),f(x)g(1-x)2f(x),f(x)g(1-x)，F(-a)=2g(1+a),f(a)=f(-a)g(1+a)2f(-a),f(a)=f(-a)g(1+a)，F(a)=2g(1-a),f(a)g(1-a)2f(a),f(a)0，(a+1)2-(a-1)2=4a0，|1+a|a-1|g(1+a)g(1-a)，若f(a)g(1+a)：F(-a)=2g(1+a)，F(a)=2g(1-a)，F(-a)F(a)，若g(1-a)f(a)g(1+a)：F(-a)=2f(-a)=2f(a)，F(a)=2g(1-a)，F(-a)F(a)，若f(a)g(1-a)：F(-a)=2f(-a)=2f(

11、a)，F(a)=2f(a)，F(-a)=F(a)，综上可知F(-a)F(a)，同理可知F(1+a)F(1-a)，故选A.考点：1.函数的性质；2.分类讨论的数学思想.【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质，避免了由于单调性不同导致1-a与1+a大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化，另外，不要忘记定义域，如果要研究奇函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上.5A【解析】分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的

12、值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望.详解：根据题意有，如果交换一个球，有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球，红球的个数就会出现三种情况；如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，对应的红球的个数就是五种情况，所以分析可以求得，故选A.点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果.6A【解析】根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，由此可得双曲

13、线的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得，解可得，由离心率公式计算可得答案【详解】根据题意，抛物线的焦点为，则双曲线的焦点也为，即，则有，解可得，双曲线的离心率.故选：A【点睛】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程，关键是求出抛物线焦点的坐标，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平7B【解析】分析：根据流程图中的可知，每次循环的值应是一个等比数列，公比为；根据流程图中的可知，每次循环的值应是一个等比数列，公比为，根据每次循环得到的的值的大小决定循环的次数即可.详解： 记执行第次循环时，的值记为有，则有；记执行第次循环时，的值记为有，则有.令，则有，故，故选B.点睛：本题为算法中的循环结构和数列通项的

14、综合，属于中档题，解题时注意流程图中蕴含的数列关系（比如相邻项满足等比数列、等差数列的定义，是否是求数列的前和、前项积等）.8C【解析】推导出，由此能求出的值【详解】定义在上的函数满足，故选C【点睛】本题主要考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题.9D【解析】易知单调递增,由可得唯一零点,通过已知可求得,则问题转化为使方程在区间上有解,化简可得,借助对号函数即可解得实数a的取值范围.【详解】易知函数单调递增且有惟一的零点为，所以，问题转化为：使方程在区间上有解，即在区间上有解，而根据“对勾函数”可知函数在区间的值域为，.故选D【点睛】本题考查了函数的零点问题,考

15、查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难.10A【解析】根据三视图得出原几何体的立体图是一个三棱锥，将三棱锥补充成一个长方体，此长方体的外接球就是该三棱锥的外接球，由球的表面积公式计算可得选项.【详解】由三视图可得，该几何体是一个如图所示的三棱锥，为三棱锥外接球的球心，此三棱锥的外接球也是此三棱锥所在的长方体的外接球，所以为的中点， 设球半径为，则,所以外接球的表面积，故选：A【点睛】本题考查求几何体的外接球的表面积，关键在于由几何体的三视图得出几何体的立体图，找出外接球的球心位置和半径，属于中档题.11D【解析】由几何概型可知,概率应

16、为非小正方形面积与窗花面积的比,即可求解.【详解】由题,窗花的面积为,其中小正方形的面积为,所以所求概率,故选:D【点睛】本题考查几何概型的面积公式的应用,属于基础题.12A【解析】构造函数，根据已知条件判断出的单调性.根据是奇函数，求得的值，由此化简不等式求得不等式的解集.【详解】构造函数，依题意可知，所以在上递增.由于是奇函数，所以当时，所以，所以.由得，所以，故不等式的解集为.故选：A【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13 【解析】三棱锥的底面边长和侧棱长都为4

17、，所以在平面的投影为的重心，利用解直角三角形，即可求出点到平面的距离；，可得点是以为直径的球面上的点，所以到直线的距离为以为直径的球面上的点到的距离，最大距离为分别过和的两个平行平面间距离加半径，即可求出结论.【详解】边长为，则中线长为，点到平面的距离为，点是以为直径的球面上的点，所以到直线的距离为以为直径的球面上的点到的距离，最大距离为分别过和的两个平行平面间距离加半径.又三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，以下求过和的两个平行平面间距离，分别取中点，连，则，同理，分别过做，直线确定平面，直线确定平面，则，同理，为所求，所以到直线最大距离为.故答案为:；.【点睛】本题考查空间中的距离、正四面体的

18、结构特征，考查空间想象能力，属于较难题.14【解析】作出图像，设点，根据已知可得，且，可解出，计算即得.【详解】如图，设，圆心坐标为，可得，解得，即的长是.故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，以及求平面两点间的距离，运用了数形结合的思想.15-1【解析】讨论三种情况，a0时,根据均值不等式得到a（a）14，计算等号成立的条件得到答案.【详解】已知关于x的不等式（axa14）（x4）0，a0时，x（a）（x4）0，其中a0，故解集为（a，4），由于a（a）14，当且仅当a，即a1时取等号，a的最大值为4，当且仅当a4时，A中共含有最少个整数，此时实数a的值为1；a0时，4（x4）0，解

19、集为（，4），整数解有无穷多，故a0不符合条件； a0时，x（a）（x4）0，其中a4，故解集为（，4）（a，+），整数解有无穷多，故a0不符合条件；综上所述，a1故答案为：1【点睛】本题考查了解不等式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.16【解析】建立直角坐标系，依题意可求得，而，故可得，且，由此构造函数，利用二次函数的性质即可求得取值范围【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，根据，即，则，即，则，所以，且，故，设，易知二次函数的对称轴为，故函数在，上的最大值为，最小值为，故的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查函数与方程思想、转化与化归

20、思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意通过设元、消元，将问题转化为元二次函数的值域问题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（）；（）面积的最大值为，此时直线的方程为.【解析】（1）根据椭圆的定义求解轨迹方程；（2）设出直线方程后，采用（表示原点到直线的距离）表示面积，最后利用基本不等式求解最值.【详解】解：（）由定义法可得，点的轨迹为椭圆且，. 因此椭圆的方程为. （）设直线的方程为与椭圆交于点， ，联立直线与椭圆的方程消去可得，即，. 面积可表示为令，则，上式可化为，当且仅当，即时等号成立，因此面积的最大值为，此时直线的方程为.【点睛】常见的利用定义法

21、求解曲线的轨迹方程问题：（1）已知点，若点满足且，则的轨迹是椭圆；（2）已知点，若点满足且，则的轨迹是双曲线.18（1）有的把握认为喜欢物理与性别有关；（2）分布列见解析，.【解析】（1）根据题目所给信息，列出列联表，计算的观测值，对照临界值表可得出结论；（2）设参加座谈会的人中喜欢物理的男同学有人，女同学有人，则，确定的所有取值为、根据计数原理计算出每个所对应的概率，列出分布列计算期望即可【详解】（1）根据所给条件得列联表如下：男女合计喜欢物理不喜欢物理合计，所以有的把握认为喜欢物理与性别有关；（2）设参加座谈会的人中喜欢物理的男同学有人，女同学有人，则，由题意可知，的所有可能取值为、，.所

22、以的分布列为：所以.【点睛】本题考查了独立性检验、离散型随机变量的概率分布列离散型随机变量的期望属于中等题19（1）（2）【解析】（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.（2）对分成三种情况，求得的最小值，由此求得的取值范围.【详解】（1）当时，由此可知，的解集为（2）当时，的最小值为和中的最小值，其中，.所以恒成立.当时，且，不恒成立，不符合题意.当时，若，则，故不恒成立，不符合题意；若，则，故不恒成立，不符合题意.综上，.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.20（1）见解析（2）【解析】（1）根据等边三角形的性质证得，根据面面垂直的性质定理，证得底面，由此证得，结合证得平面，由此证得：平面平面.（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【详解】（1）证明：为等边三角形，为的中点，平面底面，平面底面，底面平面，又由题意可知为正方形，又，平面平面，平面平面（2）如图建立空间直角坐标系，则，由已知，得，设平面的法向量为，则令，则，由（1）知平面的法向量可取为平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理