c题全国二等奖——“输油管的布置”优化方案（黎照开、郑宗义、巫娜）

1、2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括 、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题.我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的， 如果引用别人的成果或其他共开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出.我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的共正、共平性.如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理.我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C题 我们的参赛报名号为（如果赛区设置

2、报名号的话）： 4112 所属学校（请填写完整的全名）： 中山职业技术学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 黎照开 2. 郑宗义 3. 巫娜 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 杨晶晶 日期：2010 年9月13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： “输油管的布置”优化方案摘要本文研究了当铺设管线费用为最低时的各种情形，以铺设管线总费用

3、最少为目标函数，建立共七个模型，并对其进行对比，结合实际提出了通用可行的模型及方案.对于问题一我们依靠镜面反射原理找出了没有共用管线时车站的位置.在已知两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离时，建立模型一求出管线铺设总费用的解.在实际问题二、三中，针对每个模型我们都考虑了两种方案来对比最少的管线铺设总费用. 本文用层次分析法给各个资质共司资格标准的影响因素确定了不同的权重，得出拆迁和工程补偿等附加费用为万元.为方便模型对比，我们约定，方案一为拆迁和工程补偿等附加费用万元的情形，方案二为万元的情形.问题二中单用管线与共用管线的铺设费用都相同.经分析我们建立了模型二及其优化模型三，并利用软件和编程，

4、对模型和算法进行了求解，最后得出模型二方案一的最优解为万元;模型二方案二的最优解为万元.问题三中单用管线与共用管线的铺设费用都是不同的，为此我们建立了模型四、模型五 、模型六及优化模型七，由于每个模型有两种不同的方案，因此我们共对八个方案进行比较，得出问题三中这四个模型的最优解为模型七，其中模型七方案一的最优解为万元;模型七方案二的最优解为万元.最后本文分析并检验了模型的合理性、模型的优缺点及可能的改进方向，同时提出了一些建议.Js! e& ; u, c关键字：优化 镜面反射 费马点 管线铺设总费用 层次分析法 = 1 * CHINESENUM3 一、问题重述某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油

5、厂，并在铁路线上增建一个车站，用来输送成品油.油田设计院希望在能找到解决这个问题的方案的同时，能使管线建设费用最少. = 1 * Arabic 1、由于两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，需要建立优化模型方案.在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形. = 2 * Arabic 2、现要求对一更为复杂的情形进行具体的设计.两炼油厂的具体位置由下图1.1所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），虚线表示两个区域的分界线.图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20.假

6、设所有的输油管的铺设费用为7.2万元/每平方米，铺设在城区的管线还需要支付一定的拆迁和工程补助附加的费用，聘请了三家工程咨询公司进行对此附加费用估算.估算的结果如题，结合具体情况，设计出管线布置方案及相应的费用是多少.表一3、在实际情况中，设计院为了进一步节省费用，根据炼油厂的生产能力，选择相适应的油管进行运送成品油.输送A厂成品油的管线铺设费用降到了5.6万元/每平方米，输送B的成品降至6.0万元/每平方米，共用管线的费用为7.2万元/每平方米，也许增加附加费用，附加费用如题.请结合具体情况，设计出管线布置的最优方案及求出相应的费用是多少.二、问题分析从题目中我们可以知道，有两家刚建造的炼油

7、厂向增建的车站输油，要求设计一个花费最少的管线铺设总费用方案.问题一中，在已知道炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离情况下，考虑有共用管道与没共用管线时的不同铺设方案，分别给不同管线铺设提供最优方案.从问题一中，我们引申出来的问题有：1、假设在没有用到共用管线的情况下，就是说要分别求出A、B厂铺设管线到车站的管线铺设总费用的最小值.而两个厂的管线铺设费用单价是固定的，实际上问题可以转化成求在铁路线上是否存在一点使得该点到两厂的路径之和最小.利用镜面反射原理我们可以求出这个点，从而解决这个问题.2、假设有用到共用管线的情况下，又需考虑单用管线与共用管线铺设费用相同与不相同的情形，可以建立一个求管线

8、铺设总费用最少的目标函数，利用软件和分别求出最小值；而当在两者费用相同时，因为铺设费用固定，我们转化为求A、B厂到车站组成的三角形中内是否存在一点，使得该点到A、B点与车站T点的路径之和最小 .建立一个求该路径之和最短的的目标函数，利用求解，可知求出的该点为三角形ABT的费马点.问题二中假设所有的输油管的铺设费用为万元/每平方米，并且管线总费用中，增加了附加费用（拆迁和工程补助等费用）.要求设计一个管线布置最优解与花费最少.其实问题二是相对于问题一增加了限制条件，但实质上还是与问题一中求三角形中的费马点是一致的，只是要通过分析给予影响共司资质的因素的权重求出附加费用，从而求出管线铺设总费用的最

9、小值.问题三又是在问题一、问题二的基础上，在A、B厂到车站T各自的铺设管线费用与共用管线铺设费用各不相同时的、情况下，求管线铺设总费用的最小值.该问题也是在前二个问题上的进一步深化，本问题中的关键是考虑好怎样使得拆迁段的路径最小，或者直线上是否存在一点使得管线布置花费最少. 三、模型假设1、地理环境因素不影响管线的铺设；2、输油管的体积、大小、厚度是一致的；3、地面对输油管的压强、比热容是一致的；4、铁路沿线一直保持是笔直的；5、管线与管线接口处在接口是损失量忽略不计；四、符号约定： 车站所在处； ： 过点作平行于铁路沿线且与两区域的分界线相交的点，坐标为；F： 为建立的直角坐标系中的某一点；

10、 ： 炼油厂的坐标； ： 炼油厂的坐标； ： 管线的铺设费用相同时的铺设费用； ： 非共用管线的铺设费用； ： 非共用管线的铺设费用； ： 共用管线的铺设费用； ： 拆迁和工程补偿等附加费用等附加费用；五、模型的建立、求解与分析5.1 问题一的求解5.1.1无共用管道 针对两炼油厂无共用管线的情况，两厂到铁路线的距离和两炼油厂间距离的各种不同情形来设计管线铺设的方案，在没有用到共用管线的情况下，对于、厂铺设管线到车站的各自管线铺设总费用的最小值，两个厂的管线铺设费用单价是一定的且相等的，实际上是转化成求在铁路线上是否存在一点使得该点到两厂的路径之和最小.由镜面反射原理可以找到车站的位置，使得两

11、炼油厂到车站的距离之和最短，这样铺设管线的成本也就最小.图1.2 在图1.2中可看到当或 时，由镜面反射原理知车站的位置.可知：，可解出点的坐标，从而可知道 与 的长度，铺设管线总费用最少为各自路径的长度乘上自身铺设管线的价格的总和，即.当、的铺设路费相等即时；铺设管线总费用最少为.图1.3当、分别到铁路线上的距离相等即时，由勾股定理可以很快的得到点的坐标，点的坐标为，铺设管线总费用最少为各自路径的长度乘上自身铺设管线的价格的总和，即有：当、的铺设路费相等即时，铺设管线总费用最少为： 5.1.2 存在共用管线对于在5.1.1的基础上再考虑两炼油厂在铺设管线的时候存在共用管线的情况，首先考虑成本

12、最低的情形.如下图1.4所示，这样问题就归结为：在铁路沿线上求一点（车站的位置），并且在直线与铁路之间找一点，即费马点，使得单用管线总长度乘以单用管线费用加上共用管线长度乘以共用管线费用之和最小.（1）这里先考虑非共用管线的费用是一致的情形.即考虑的情形.那么共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形也就是考虑、的取值是否相等的问题.当考虑共用管线费用与非共用管线相同的时候取=；当考虑共用管线费用与非共用管线费用不同的时候取.图1.4我们建立模型一如下:目标函数为 要使函数取得最小值，必有偏导数等于0： 经计算得：再把的值代入上面的目标函数即可得到所求解.（2）而当非共用管线的费用不一致时，

13、即的时候，此时目标函数变为： 类似地，我们也可以求得的值，把代入也同样地可得到最小值.问题三正是此种情形，我们可以利用Lingo软件来求解.5.2问题二的分析与建模 现在点固定且管线铺设的费用均为每千米7.2万元，但是，由于炼油厂在城区里面，在铺设管道的情况下还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，对三家工程咨询共司进行定量的分析：级别咨询单位的评定标准与该单位的基本条件、技术力量、技术水平和装备、管理水平四个方面有关，通过网上的调查分析，发现在对公司进行评定的过程中，各个资格标准对级别评定有很大的影响.结合网上的调查与分析，给各个资格标准划分权重.其中基本条件：技术力量：技术水平和装备：管理水平=

14、2：4：3：1.再通过赋值的方法，给公司一的基本条件这方面赋值为100分.根据甲级资质公司要从事工程咨询业务5年以上，独立承担国家或地方大型基本建设项目或技术改造限上项目的工程咨询任务不少于10项，社会信誉卓著，而乙级的基本条件从事工程咨询业务3年以上，独立承担国家或地方中型基本建设项目或技术改造限上项目的工程咨询任务不少于10项，社会信誉良好所以公司二、公司三的赋值是分；同样地给公司一的技术力量、技术水平和装备、管理水平分别赋值为100分.技术力量方面的，甲级评定要求是专职从事工程咨询业务的技术人员不得少于24人，其中具有高级专业技术职称或注册咨询工程师资格的人员不得少于30%，从事工程咨询

15、业务5年以上的技术骨干不得少于6人.乙级的评定标准是专职从事工程咨询业务的技术人员不得少于15人，其中具有高级专业技术职称或注册咨询工程师资格的人员不得少于20%，从事工程咨询业务3年以上的技术骨干不得少于3人，所以公司二、公司三在这方面的赋值为100分. 而在技术水平与装备方面甲级评定要求直接从事业务的专业技术人员人均配备计算机1台，通信及信息处理手段完备，能应用工程技术和经济评价系统软件开展业务，运用计算机完成工程咨询成果文件编制达到100%，经济评价系统软件的应用达到100%.乙级的需直接从事业务的专业技术人员中80%配备计算机，运用计算机完成工程咨询成果文件编制达到80%以上，经济评价

16、软件的应用达到80%以上，所以公司二、公司三的技术水平与装备方面的赋值为.管理方面的甲级需有完善的组织机构，健全的管理班子，严格的管理制度.建立了比较完善的质量管理体系和制度，或已通过ISO9000族质量管理体系认证.乙级需、有完善的组织机构，健全的管理班子，完备的管理制度，建立了以质量为中心的管理体系.所以公司二、公司三这方面的赋值为.每个公司的总分等于各个标准乘上各个标准的权重之和.详细情况如下表二通过以上分析得出附加费用=21.6（万元/千米）.而在生活实际中，经调查，人们在选择工程咨询公司的时候，通常会选择可靠性较高的具有甲级资质的公司的数据，对此在计算附加费用的时候直接选取甲级资质的

17、共司所估算的数据，即附加费用=21（万元/千米）.我们约定，以下的所有模型均设立两个方案，其中方案一为=21.6（万元/千米）的情形，其中方案二为=21.6（万元/千米）的情形.表二：公司资格标准评定公公共场所司资格标准公司一（甲级资质）公司二（乙级资质）公司三（乙级资质）基本条件100分60分60分技术力量100分62.5分62.5分技术水平和装备100分80分80分管理水平100分70分70分总分100分68分68分 通过观察分析可知：在城区铺设管线的成本每千米要比郊区铺设成本的费用要多出21.6万元，考虑到这巨大的差额，在城区铺设管道的时候线路尽可能的少，以降低铺设管道的成本和减少拆迁过

18、程中所造成的扰民可能性.如图1.5所示: 图1.5为城区铺设管线的最短路线.在郊区的部分尽可能考虑总的铺设线路最短，即存在一点F即费马点，使取得最小值，（管线的铺设费用均为每千米7.2万元）再加上城区的管线铺设费用与拆迁和工程补偿等附加费，建立目标函数为：模型二方案一 要使函数取得最小值，必有导数等于0：联立上述两式解得：把代入式得=284.3309万元管线的布置方案如下图1.6图1.6 模型二方案二目标函数为： 要使函数取得最小值，必有导数等于0：联立上述两式解得：把代入目标函数可得万元 5.2.2 问题二的优化 在郊区和城区的分界线上设动点，可以发现在这分界线上必定存在一点使整个管线布置方

19、案所需的总费用取得最小值，考虑到在模型二方案一中直接选取了点的不足，建立优化模型三方案一：在直线AB与铁路之间找一点F，使得（管线铺设的总费用）取得最小值，模型三方案一建立如下目标函数： 要使函数取得最少值，必有导数等于0：联立上述3个方程解得：， 总费用万元，管线的布置方案如下图1.7图1.7模型三方案二建立如下目标函数： 要使函数取得最少值，必有导数等于0：联立上述3个方程解得：， 总费用万元5.3问题三的分析与建模在考虑附加费用最小的情况下（城区管线的铺设路线为连线）.设当厂A到车站的连线与厂到车站的连线的交点在轴上时，即与重合时候，找到一个点使得、厂的总管线费用最少.此时管道铺设线路为

20、模型四方案一要使得总铺设的管线费用最少就要求出 A厂到车站的管道铺设费用加上B厂到车站的管道铺设费用、B厂铺设到点的管线铺设的费用与拆迁费用之和的最小值从而得到目标函数为：即:解得把代入目标函数z,求得该方案铺设管道的总费用万元模型四方案二目标函数为:即:解得把代入目标函数z求得该方案铺设管道的总费用万元当厂A到车站的连线与厂B到车站的连线的交点在直线与铁路之间，不包括交点在轨道x上时，找到一个点使得A、B厂的总管线费用最少， 路径如图1.9所示为：，要使得总铺设的管线费用最少就要求出 A厂到车站的管道铺设费用加上B厂到车站的管道铺设费用、B厂铺设到点的管线铺设的费用与拆迁费用、共用管线的铺设

21、费之和的最小值从而得到模型五方案一目标函数为：约束条件： 解得万元，管线的布置方案如下图1.8图1.8模型五方案二建立目标函数：约束条件： = 1 * GB3 = 2 * GB3 = 3 * GB3 解得万元如下图1.9所示，当厂A到车站的连线与厂B到车站的连线的交点不在直线与铁路之间时，管线的铺设总费用总是小于路径为的管线铺设总费用（间的距离直线最短），所以在这种情况下，路径为的管线铺设总费用是最少.要使到该路径管线铺设总费用是最少就要使A厂到车站（与原点重合）的共用管道铺设费用加上厂到A厂的管道铺设费用、B厂铺设到点的管线铺设的费用与拆迁费用之和的最小值从而得到目标函数为： 模型六方案一经

22、解得万元模型六方案二目标函数:经解得万元.综上所述，该模型中假设厂铺设到点的管线铺设与拆迁是必须要的前提条件下，当厂到车站的距离与厂到车站的距离的交点在轨道上时，铺设管线的总费用最少为模型五情形下的方案一: 万元，方案二:万元.图1.95.3.2 问题三的模型优化 对于第三个问题，前面的模型四、模型五、模型六均是有条件地建立模型，为了更加适应于实际的情况而且能具有通用性而提出建立问题三的优化模型，从成本最低的方向出发建立优化模型七，建立目标函数，使如图2.0所示4段铺设管线的线路所花费的成本最小：图2.0模型七方案一目标函数:要使函数取得最少值，必有导数等于0：；.经解得: 总费用Z=252.

23、4737万元，其中管线的布置方案如下图2.0图2.1模型七方案二要使函数取得最少值，必有导数等于0：；.经解得： 6.742378 0.1326963 ，7.265875 总费用Z=249.4422万元，对于问题三，可以发现四个模型中，模型七算出来的管线建设费用是最低的，是在模型四的基础上进行优化拓展，使得模型七不仅是能建立各种管线建设费用最省的一般数学模型，而且是能求出管线最短的的方案.六、模型的评价优点：1）能够定量地计算出铺设管道成本最低的费用值.2）模型能够推广到其他输油，输气管线，通讯光缆的合理铺设，道路规划与社区选址的优化配置等等. 3）除了成本最低的模型外还建立了符合生活实际的模

24、型缺点：1）并没有考虑到铁路是弯曲的情况； 2）没有对实际操作性作出定量的分析.模型的推广与改进：1）在实际问题中，可以根据炼油厂发展速度的预算来选用相适应的油管.既不要因为油管问题而制约厂的发展，也不要因为油管问题而造成厂资金的紧张. 2）模型可推广到铁路为曲线的情形，并通过测量数据来拟合出铁路曲线函数，再分段用切线代替来构造出一条连续折线.则可将每个直线视为铁路.七、参考文献1 王庚、 王敏生、 赵临龙， 北京：科学出版社，2008.2.2 谭永基、蔡志杰，数学模型， 上海：复旦大学出版社，2004.8.30.3 熊启才、 曹吉利、 张东生、 赵临龙，重庆：重庆大学出版社出版社，2005.

25、3.4 袁新生，邵大宏 郁时炼，Lingo和Excel在数学建模中的应用，北京：科学出版社，2007.八、附录费马点定义在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点. (1)若三角形ABC的3个内角均小于120，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角.所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心. (2)若三角形中有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点. 问题一模型一目标函数： 令为便于求解可化解为以下方程： = 1 * GB3 = 2 * GB3 由以上 = 1 * GB3 = 2 * GB3 解得：已知： = 1 * GB3 = 2 * GB3 = 3

26、* GB3 由 = 3 * GB3 得: = 4 * GB3 把 = 4 * GB3 代入 = 2 * GB3 得： = 5 * GB3 由 = 1 * GB3 得： = 6 * GB3 把 = 6 * GB3 代入 = 5 * GB3 得： = 7 * GB3 化简 = 7 * GB3 式得： = 8 * GB3 把 = 8 * GB3 代入 = 1 * GB3 式：代入 = 8 * GB3 得 问题二模型二方案一 7.2*(4.9019)2+(2.1699-5)2)(1/2)+(4.9019-15)2+(2.1699-8)2)(1/2)+2.1699)+5*28.8=284.3309模型二

27、方案二7.2*(4.9019)2+(2.1699-5)2)(1/2)+(4.9019-15)2+(2.1699-8)2)(1/2)+2.1699)+5*28.2=281.3309模型三方案一7.2*(2*v-27.32)/(2*(186.6-27.32*v+v2)(1/2)+1/2+(2*v+7.32)/(2*(13.4+7.32*v+v2)(1/2)+(v-8)/(25+(v-8)2)(1/2)*28.8=0;Feasible solution found at iteration: 0 Variable Value V 7.370011 Row Slack or Surplus 1 0.0

28、000007.2*(11.83-0.866*7.37)2+(-6.83+7.37/2)2)(1/2)-1.83+7.37/2+(-3.17-0.866*7.37)2+(-1.83-7.37/2)2)(1/2)+(25+(7.37-8)2)(1/2)*28.8=283.2013144模型三方案二程序：MIN=(x2+(y-5)2)(1/2)*7.2+(x-15)2+(y-v)2)(1/2)*7.2+7.2*y+(52+(v-8)2)(1/2)*28.2;x/(x2+(y-5)2)(1/2)+(x-15)/(x-15)2+(y-v)2)(1/2)=0;(y-5)/(x2+(y-5)2)(1/2)*

29、7.2+7.2+(y-v)/(x-15)2+(y-v)2)(1/2)*7.2=0;(v-y)/(x-15)2+(y-v)2)(1/2)*7.2+(v-8)/(25+(v-8)2)(1/2)*28.2=0;Local optimal solution found at iteration: 74 Objective value: 280.1771 Variable Value Reduced Cost X 5.459260 0.000000 Y 1.848085 0.000000 V 7.356437 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 280.

30、1771 -1.000000 2 -0.5624679E-06 0.4915081E-04 3 -0.9580842E-05 0.4795814E-05 4 -0.2578868E-05 -0.2199405E-05问题三模型四方案一用matlab求解 syms y x; y=5.6*(x2+25)(1/2)+6*(15-x)2+64)(1/2)+5*27; diff(y，x) ans = 28/5/(x2+25)(1/2)*x+3/(15-x)2+64)(1/2)*(-30+2*x)用lingo求解28/5/(x2+25)(1/2)*x+3/(15-x)2+64)(1/2)*(-30+2*x

31、)=0Feasible solution found at iteration: 0 Variable Value X 6.360285 Row Slack or Surplus 1 0.000000模型四方案二程序： syms y x; y=5.6*(x2+25)(1/2)+6*(15-x)2+64)(1/2)+5*27; diff(y，x)ans =28/5/(x2+25)(1/2)*x+3/(15-x)2+64)(1/2)*(-30+2*x)用lingo求解28/5/(x2+25)(1/2)*x+3/(15-x)2+64)(1/2)*(-30+2*x)=0Feasible solutio

32、n found at iteration: 0 Variable Value X 6.360285 Row Slack or Surplus 1 0.000000模型五方案一MIN=5.6*(i2+(j-5)2)(1/2)+6*(15-i)2+(8-j)2)(1/2)+7.2*(i-t)2+j2)(1/2)+27.6*5;5.6*i/(i2+(j-5)2)(1/2)+6*(i-15)/(15-i)2+(8-y)2)(1/2)=0;5.6*(j-5)/(i2+(j-5)2)(1/2)+6*(j-8)/(15-i)2+(8-y)2)(1/2)+7.2*j/(i-t)2+y2)(1/2)=0;t=i

33、;Local optimal solution found at iteration: 166 Objective value: 253.8742 Variable Value Reduced Cost I 6.279418 0.000000 J 0.4669131 0.1316849E-07 T 6.279418 0.000000 Y 0.4669136 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 253.8742 -1.000000 2 0.000000 -0.1050998E-03 3 -0.1312798E-07 0.1730524E-05 4

34、 0.000000 -0.2420586E-04模型五方案二MIN=5.6*(i2+(j-5)2)(1/2)+6*(15-i)2+(8-j)2)(1/2)+7.2*(i-t)2+j2)(1/2)+27*5;5.6*i/(i2+(j-5)2)(1/2)+6*(i-15)/(15-i)2+(8-y)2)(1/2)=0;5.6*(j-5)/(i2+(j-5)2)(1/2)+6*(j-8)/(15-i)2+(8-y)2)(1/2)+7.2*j/(i-t)2+y2)(1/2)=0;t=i;Local optimal solution found at iteration: 159 Objective value: 250.8742 Variable Value Reduced Cost I 6.279418 0.000000 J 0.4669131 0.1316849E-07 T 6.279418 0.000000 Y 0.4669136 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 250.8742 -1.000000 2 0.000000 -0.1050998E-03 3 -0.1312798E-07 0.1730524E-05 4 0