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1、5 微积分学基本定理 一、变限积分与原函数的存在性 本节将介绍微积分学基本定理, 并用以证明连续函数的原函数的存在性. 在此基础上又可导出定积分的换元积分法与分部积分法. 三、泰勒公式的积分型余项 二、换元积分法与分部积分法返回一、变限积分与原函数的存在性积分; 类似称为变下限的定积分.定理9.9 ( 变上限定积分的连续性 )证则为变上限的定于是定理9.10（微积分学基本定理)若 f 在 a, b 上连续,上处处可导,且由 x 的任意性, f 在 a, b 上连续.证由于 f 在 x 处连续，因此注1 本定理沟通了导数与定积分这两个表面上似续函数必存在原函数”这个重要结论.乎不相干的概念之间的

2、内在联系, 也证明了“连注2 由于 f 的任意两个原函数只能相差一个常数,定理9.11(积分第二中值定理)设 f 在a, b上可积.(i) 若函数 g 在 a, b 上单调减,且则存所以当 f 为连续函数时, 它的任一原函数 F 必为(ii) 若函数 g 在 a, b 上单调增, 且则存证这里只证 (i), 类似可证 (ii). 证明分以下五步:(1) 对任意分割 T：(4) 综合 (2), (3), 得到推论即证 若 g 为单调递减函数，则 h 非负、单调减,由定理 9.11(i)，因此即得二、 换元积分法与分部积分法则证定理9.12（定积分换元积分法）的一个原函数.因此注 与不定积分不同之

3、处: 定积分换元后不一定要例1解（不变元,不变限）元积分法时，引入了新变量，此时须改变积分限.保留原积分变量，因此不必改变积分限;用第二换用原变量代回.一般说来，用第一换元积分法时，例2解（变元,变限）例3解（必须注意偶次根式的非负性）例4解因此,定理9.13（定积分分部积分法）若 u(x),v(x)为 a, b 上的连续可微函数,则有定积分的分部积分公式：证因为 uv 是在 a, b 上的一个原函数,移项后则得所以例5解例6解于是其中若 u(x),v(x) 在 a, b 上有 (n+1) 阶连续导函数,则三、泰勒公式的积分型余项由此可得以下带积分型余项的泰勒公式.阶连续导数, 则则定理9.14注 由推广的积分第一中值定理,可得拉格朗日型由积分第一中值定理,可得此式称为泰勒公式的柯西型余项.若

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