5解三角形-1981-2018年历年数学联赛48套真题分类汇编含详细答案

1、1981年2018年全国高中数学联赛一试试题分类汇编5、解三角形部分2018A7、设O为ABC的外心，若AOAB2AC，则sinBAC的值为答案：104解析：取AC的中点D，则ODAC。由AOAB2AC得AOAB2ACBO，知ODBO，且B,A在直线OD同侧。不妨设圆O的半径为2，则AC12OB1,MC1cosBOCcos900DOCsinDOC，在BOC中，有余弦定理得OC4BC10,在ABC中，由正弦定理得sinBACBC10。2R4解析：由正弦定理知，a2017B4、在ABC中，若sinA2sinC，且三条边a,b,c成等比数列，则cosA的值为答案：24sinA2，又b2ac，于是a:

2、b:c2:2:1，从而由余弦定理得：csinCb2c2a2(2)212222cosA2bc2214.2016B10、（本题满分20分）在ABC中，已知ABAC2BABC3CACB（1）将BC,CA,AB的长分别记为a,b,c，证明：a22b23c2；（2）求cosC的最小值（解析：1）由数量积的定义及余弦定理知，ABACcbcosAb2c2a22.同理得，BABCa2c2b2a2b2c2,CACB.故已知条件化为22,b2c2a22a2c2b23a2b2c2即a22b23c2.a2b2c2a2b2cosC3，故（2）由余弦定理及基本不等式，得1a22b232ab2ababab22,3b6a3b

3、6a3等号成立当且仅当a:b:c3:6:5.因此cosC的最小值为2.32014A7、设等边三角形ABC的内切圆半径为2，圆心为I。若点P满足|PI|1，则APB与APC的面积之比最大值为答案：352解析：由PI=1知点P在以I为圆心的单位圆K上。设BAP，在圆K上取一点P，使得取到最大值，此时P应落在IAC内，且是AP与圆K0000的切点。由于002sin()APABsin623336SSAPBAPC11sinsin0APACsin()sin()sin()sin()0其中，06IAP02知，sin由API0IP110，于是cot15，所以AI2r4cot315335262sin()13cot

4、3153cossin2213sin()cossin26根据、可知，当PP时，0SSAPB的最大值为APC3522014B4、若果三角形ABC的三个内角A,B,C的余切值cotA,cotB,cotC依次成等差数列，则角B的最大值是答案：3解析：记xcotA，ycotB，zcotC，它们成等差数列，即2yxz，由于三个内角和为，所以x,y,z中至多有一个小于等于0，这说明y0.另一方面，ABC，即xy1z，xy即xyyzzx1，联立消去z得x22yx(12y2)0，有12y240，得y3，解得B，当且仅当ABC时，角B取得最大值。即cotB33333，2013A3、在ABC中，已知sinA10si

5、nBsinC，cosA10cosBcosC，则tanA的值为答案：11解析：由于sinAcosA10sinBsinCcosBcosC10cosBC10cosA，即tanA112013B1、已知锐角三角形的三条边长都是整数，其中两条边长分别为3和4，则第三条边的边长为答案：3或4解析：设第三条边长为c。因为是锐角三角形，所以c2433322，且c2324252，即2c5，因为c是整数，得c3或42012A2、设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足acosBbcosA值为答案：43tanAc，则5tanB的取解析：由题设及余弦定理得ac2a2b2b2c2a33bc,即a2b2c2，

6、2ca2bc55ac25tanAsinAcosBc2a2b2tanBsinBcosAb2c2a2b2c2a22故a2c2b282ac2bc5bc242012B5、在ABC中，若ABAC7,ABAC6,则ABC面积的最大值为答案：12解析：记BC的中点为M，则AM12ABAC,因为ABACABAC4ABAC64，所以ABAC8，从而AM422所以SABC12BCAM12（当且仅当AMBC，即ACAB5时，取等号）故所求面积最大值为12。另法：由ABAC7得bccosA7，由ABAC6，平方可得b2c250，ABC1bcsinAb2c2bccosA21b2c24912（当且仅当bc5时，12222

7、所以S2等号成立），所以所求面积最大值为12。2008AB6、设ABCD的内角A,B,C所对的边a,b,c成等比数列，则（）sinAcotCcosAsinBcotCcosB的取值范围为A.(0,)B.(0,51515151)C.(,)D.(,)2222q51或q51.答案：C解析：设a、b、c的公比为q，则baq,caq2，而sinAcotCcosAsinAcosCcosAsinCsin(AC)sin(B)sinBbqsinBcotCcosBsinBcosCcosBsinCsin(BC)sin(A)sinAa因此，只需求q的取值范围因为a、b、c成等比数列，最大边只能是a或c，因此a、b、c要

8、构成三角aaqaq2,q2q10,形的三边，必须且只需abc且bca即有不等式组即aqaq2aq2q10.1551q,q225151得从而，2222,)因此所求的取值范围是(5151222007*8、在ABC和AEF中，B是EF的中点，ABEF1，BC6，CAABAEACAF2，则EF与BC的夹角的余弦值为33，若答案：23解析：因为ABAEACAF2，所以AB(ABBE)AC(ABBF)2，即AB2ABBEACABACBF2。因为AB21，ACAB3313313623311，BEBF，所以1BF(ACAB)12，即BFBC2。设EF与BC的夹角为，则有2|BF|BC|cos2，即3cos2，

9、所以cos。32006*1、已知ABC，若对任意tR,BAtBCAC，则ABC一定为A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.答案不确定答案：C解析：令ABC，过A作ADBC于D。由BAtBCAC，推出BA22tBABCt2BC2AC2,令tBABCBC2，代入上式，得BA2BAcos2cos2BAAC，即BA2sin2AC2,2222也即BAsinAC。从而有ADAC。由此可得ACB2。222222222所以AAcos2coscoscoscossinCsinB，22222222所以AAcosBBcosCCcos2sinAsinBsinC，即可求得。2222005*3、ABC内接于单位圆，

10、三个内角A,B,C的平分线延长后分别交此圆于A,B,C.则111ABCAAcosBBcosCCcos111的值为sinAsinBsinCA.2B.4C.6D.8答案：A解析：如图，连BA，则1AABCBCBCAA2sin(B)2sin()2cos().1ABCAABCACB1BCBBcossinAsinC,CCcossinAsinB。11ABC1112001*4、如果满足ABC600，AC12，BCk的ABC恰有一个，那么k的取值范围是A.k83B.0k12C.k12D.0k12或k83答案：D解析：根据正弦定理得ACksin600sinA,得k83sinA，显然A(00,1200)，要使得A

11、BC恰有一个，则A(00,600)或A900，得0k12或k831999*9、在ABC中，记BCa，CAb，ABc，9a29b219c20，则答案：59cotCcotAcotB_解析：cotCsinAsinBcosCaba2b2c2a2b2c25cotAcotBsin2Cc22abc291993*5、在ABC中，角A,B,C的对边长分别为a,b,c，若ca等于AC边上的高h，则CACAsincos22的值是()A.1B.C.D.1即2cosCAsincos(CA)cos(CA)12sin22cos21cos1，又sin0，故选A整理得sincos22221123答案：A解析：由题设得2Rsin

12、CsinAcsinA2RsinCsinA，即sinCsinAsinCsinA，CA11CACA222222CACA2CACA1992*4、在ABC中，角A,B,C的对边分别记为a,b,c(b1)，且C,sinBAsinA都是方程logbxlog(4x4)的根，则ABC()bA.是等腰三角形，但不是直角三角形B.是直角三角形，但不是等腰三角形C.是等腰直角三角形D.不是等腰三角形，也不是直角三角形答案：B解析：由题意得x24x4根为x2C2A，B18003A，sinB2sinA所以sin3A2sinA，即34sin2A2得A300,B900,C600选B1991*8在ABC中，已知三个角A,B,

13、C成等差数列，假设它们所对的边分别为a,b,c，并且ca等于AC边上的高h，则sin1答案：2CA21CACACA3hh解析：易知hca，sinAsinCsinCsinA，由已知，AC1200sinAsinCcosCAcos12002sincos600，即sin2sin0，22224CA3CA1即sin(舍去)，sin22221988*8在ABC中，已知A，CD、BE分别是AB、AC上的高，则答案：cosDEAD解析：注意到AEDABC，cosBCACDEBC1t1986*6、边长为a,b,c的三角形，其面积等于，而外接圆半径为1，若sabc，4111，abc解析：S124R4t1111则s与

14、t的大小关系是（）A.stB.stC.stD.不确定答案：Cabc1absinC，由R1，S，知abc1且三角形不是等边三角形11abcabcs(且等号不成立)选Cabcabcbacabc1985*7、在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若角A,B,C的大小成等比数列，且b2a2ac，则角B的弧度为等于答案：27解析：由余弦定理，b2a2c22accosB故acc22accosB即ac2acosB所以sinAsinAB2sinAcosBsinBA由ba，得BAABA，即B2A，C4A或ABA(不可能)B271985*一、在直角坐标系xOy中，点A(x,y)和点B(x,y)的坐标均为

15、一位的正整数OA与x轴正方1122向的夹角大于450，OB与x轴正方向的夹角小于450，B在x轴上的射影为B/，A在y轴上的射影为A/，OBB/的面积比OAA/的面积大33.5，由x,y,x,y1122组成的四位数xxyyx103x102y10y试求出所有这样的四位数，并写出求解过程12211221解析：由题意得xyxy67，xy，xy，22111122且x,y,x,y都是不超过10的正整数1122xy67，则xy72或81但xy，故xy81舍去22222222xy72即x9，y82222xy72675x1，y5，xxyy1985111112211984*9、如图，AB是单位圆的直径，在AB上

16、任取一点D，作DCAB，交圆周于C，若点D的坐标为D(x,0)，则当x时，线段AD、BD、CD可以构成锐角三角形答案：25,52解析：由对称性，先考虑0 x1的情况，设ADa,BDb,CDc，则ab2，abc2，且必有acb，于是只要考虑c2b2a2，1即1xx1x21x2，解得0 x52Ay1CBOD1x25x521983*3、已知等腰三角形ABC的底边BC及高AD的长都是整数，那么，sinA和cosA中（）A.一个是有理数，另一个是无理数；B.两个都是有理数；C.两个都是无理数；D.是有理数还是无理数要根据BC和AD的数值来确定。答案：B解析：tanA为有理数，得sinA和cosA都是有理数选B21983*8、任意ABC，设它的周长、外接圆半径长与内切圆半径长分别为l、R与r，那么（）AlRrBlRrC答案：Cl6Rr6lDA,B,C三种关系都不对解析：Ra2sinA，当A1800时，a最大，而R可大于任意指定的正数M从而可有R6l，否定A、C又正三角形中，rR32al，否定B故选D1983*9、在AB