线性代数课件：第4章 向量空间

1、第四章 向量空间4.1 向量及其线性组合 4.2 向量组的线性相关性 4.3 向量组的秩 4.4 矩阵的秩 4.5 向量空间 4.6 线性方程组解的结构 -2-4.1 向量及其线性组合三维空间的向量: 有向线段。建立标准直角坐标系后，它由一点 P 或一个三元数组 (x,y,z) 唯一确定。 我们还定义了向量的加法(即平行四边形法则)和向量的数乘两种运算。-3-建立坐标系的目的就是把向量的运算转化为数(坐标)的运算. 由于解线性方程组等实际的需要，我们要把三维空间中的向量进行推广(把几何向量代数化)。直接把 n 元的数组叫做(代数中的)向量，向量加法与数乘运算的定义直接平移三维向量坐标的运算。-

2、4-定义n 个数组成的有序数组称为一个 n 维行向量或 n 维列向量, 其中 称为该行(列)向量的第 i 个分量. 行向量与列向量统称为向量. 分量全是实数(复数)的向量称为实(复)向量, n 维实(复)向量的全体记为 . 以后如无特殊说明, 向量均指实向量. 约定:所书写的向量如无特殊说明均指列向量,而行向量用列向量的转置表示. 向量的加法运算和数乘运算同矩阵的这两种运算一样.或-5- 由若干个同维数的列(行)向量组成的集合称为一个向量组. 如无特殊说明,向量组总是指含有限个向量的向量组. 例如: mn 的矩阵 A 全体列向量是含 n 个 m 维列向量的向量组, 简称 A 的列组; 全体行向

3、量是含 m 个 n 维的行向量组,简称 A 的行组. 再如: 解的全体是一个含无穷多个 n 维列向量的向量组.定义-6-观察如图三维空间中的向量, 必有不可能再观察下面方程组增广矩阵的行组有如下关系这说明第(4)和第(5)个方程都是多余的,可以去掉.-7- 向量是矩阵的特例，向量的相等、加、减、数乘运算对应于矩阵的相应运算。 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。在Rn中的向量满足以下8条规律：其中 a、b、g 都是n维向量，k、l为实数。向量的线性运算-8-解，求使 例1-9-对于向量组 , 表达式则称向量 可由向量组 A 线性表示.通常写成称为向量组 A 的一个线性组合.又如果 是向

4、量组 A 的一个线性组合, 即存在数 使向量的线性表示-10-1零向量可由任一组向量线性表示。中每个向量都可由向量组本身2向量组线性表示，注意3任一n元向量都可由n元单位向量组线性表示，即想一想-12- n元线性方程组 可以用向量形式表示为a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxnb1b2bm=+(1)其中对应齐次方程组(2)可用向量形式表示为 , , ， ， 线性方程组的向量表示-13-向量 可由向量组 线性表示存在数 使即有解学会这种转换就可以了!注意:符号混用另外, 如果解唯一, 则表示方法是唯一的. 如果 (按定义)(转换为方程组)(用矩

5、阵的秩)方程组定理3.1.1例2解 设，且表示方法有无穷多种。方程组 与矩阵B相对应的同解方程组为则当c=1时，当c=-2时，-16-例3解记 不能由 A 线性表示; 能由 A 唯一表示; 能由 A 有无穷多种表示, 并求所有表示方法.设向量组 A:问 为何值时,向量只需讨论解的情况.具体解方程组过程略。时,方程组无解, 不能由 A 表示.时, 方程组有唯一解, 可由 A 唯一表示.-17-时, 方程组有无穷多解, 可由 A 无穷多种表示.通解为所有表示方法:其中 k 为任意实数.即定义如果向量组 中的每一个向量都可以被向量组 线性表示，即存在常数则称向量组 可由向量组 线性表示。如果两个向量

6、组可以相互线性表示，则称这两个向量组等价。记作利用矩阵的分块乘法(2)又可以写成如下矩阵乘法形式(2)记则矩阵B的列向量组可以由矩阵A的列向量组线性表示就是存在矩阵C使得B=AC。由此我们得到下面的结论定理4.1.1 矩阵B的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示的充要条件是矩阵方程AX=B有解。矩阵B的行向量组可由矩阵A的行向量组线性表示的充要条件是矩阵方程XA=B有解。定理4.1.2 行等价矩阵的行向量组等价 证： 设A与B行等价矩阵,即 ,也就是存在可逆矩阵P使得B=PA，从而 ，由定理4.1.1可知，B的行向量组可由A的行向量组线性表示，A的行向量组可以由B的行向量组线性表示，所以A和B

7、的行向量组等价。例4.1.7矩阵A用初等表换化成最简阶梯矩阵B如下记A的行向量组为 B的非零行向量组为则向量组 与行向量组 等价，即列向量组 与列向量组 等价-22-4.4 矩阵的秩矩阵的秩是矩阵的一个基本的量矩阵的台阶数即矩阵的秩同时矩阵秩的概念可以清楚地去阐述线性方程组的存在性问题和向量组的线性相关性等等问题一般矩阵的等价标准形的本质秩-23- 在矩阵 A 中, 任取 k 行 k 列, 位于这些行列交点上的元素按原次序构成的 k 阶行列式, 称为 A 的 k 阶子式.定义例如等等, 它们都是二阶子式.等等, 它们都是三阶子式.每一个元素都是一阶子式.问: 子式的最高阶数？-24- 矩阵A的

8、非零子式的最高阶数, 称为A的秩, 记做r(A).规定:零矩阵的秩是零.定义例如-25-根据定义回答下面问题：(2) mn 的矩阵 A , 其秩最大可能是?_r(A)min(m, n)(3) A 有一个 r 阶子式不为零,其秩至少是?_r(A)r(4) A 有一个 r 阶子式不为零, 且所有 r + 1 阶都等于零, 所有 r + 2 子式都等于_, A 的秩等于_。如果 A 的所有 r 阶子式都等于零, 则A 的秩最大可能是_。(5) r(A) ? = r(AT) _零r(6) n阶矩阵A为可逆矩阵的充要条件是 r(A) =_。 r(A) = r(AT)n(7) A = O 的充要条件是 r

9、(A) =_。0r -1(1) 矩阵的秩是否惟一?_当然惟一满秩矩阵-26-定理1设A为n阶方阵，则A可逆的充要条件是r(A)=n。解：例1-27-解例2-28-如何求矩阵的秩？阶梯形矩阵的秩就是其非零行数！-29-初等变换不改变矩阵的秩。秩的基本定理-30-例3求矩阵 A 的秩建议只用行变换阶梯形不唯一-31-例4求 和-32- 用初等变换必能将矩阵A化为如下相抵标准形（也称等价标准形）：等价标准形是唯一的。其中秩(A)=r。(等价标准形定理)定理2 下面讨论对一个矩阵实施初等变换(既可用行变换又可用列变换)能把任意一个矩阵化成最简单的形状是什么?-33-例5形状为-34-定理3(1)A 与

10、 B 等价(3)存在可逆矩阵 P 和 Q 使得(2) r(A)=r(B)A , B 均为m行n列矩阵，则以下条件等价：-35-(其中 P，Q 是可逆矩阵)推论1设秩(A)=r，存在有限个初等矩阵 和使得或表述为：-36-秩的重要性质-37-(2)的证明:-38-(4)的证明:只证阶梯形阶梯形考虑转置-39-证性质5-40-性质2(A称为列满秩矩阵)(A称为行满秩矩阵)性质4-41-设 A 为 n 阶方阵 , 证明(1)(2)(3)性质4的证明：-42-永远是奇异矩阵有可能是非奇异矩阵例6-43-证：例7-44-证例8-45-则(A) t = 6 时, 必有 r(P) = 1(B) t = 6

11、时, 必有 r(P) = 2(C) t 6 时, 必有 r(P) = 1(D) t 6 时, 必有 r(P) = 2首先, 又例9-46-4.2 向量组的线性相关性看看三维空间中的向量(如图)设 可表为, 说明这三个向量任何一个都不能由其它两个向量线性表示, 说明它们是异面的.这三个向量在一个平面内(共面).-47- 我们把上面这种向量之间的最基本的关系予以推广,并换一种叫法.定义向量可由其余的向量线性表示, 则称该向量组线性相关;否则,如果任一向量都不能由其余向量线性表示, 则称该向量组线性无关(或独立).设向量组,如果其中一个线性相关与线性表示之间的关系-48-当m2时，向量组线性无关 向

12、量组 中任一个向量都不能用其余m -1个向量线性表示。逆否命题等价定义如果存在不全为零的数使得则称该向量组线性相关. 否则,如果设便能推出则称该向量组线性无关.如何用数学式子表达,以便理论推导向量组的相关性?定义1-49-存在不全为零的数 使即有非零解.还是转换！转换线性无关向量组线性相关(按定义)(转化为方程组)齐次方程组(用矩阵的秩)把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性无关，否则如果矩阵的秩小于向量的个数就线性相关。定理1证明向量组线性相关性的基本方法（向量方程）-50-问向量组和的线性相关性?线性相关.线性无关.例1-51-例2设向量 可由线性无关的向量组线性表示,证明表法

13、是唯一的.证 设有两种表示方法由 线性无关-52- 证明向量组 线性无关.证利用条件设法推出即可.设(1) (1)式左乘得(1)式成为(2)(2)式左乘同理推出例3-53-(1) “部分相关,则整体相关.等价地”观察知 相关, 从而 相关.设相关,要证相关.使用方便的一些推论-54-(2) “个数大于维数必相关”A 的列组是 4 个 3 维向量, 必相关.设要证 A 的列组线性相关.如：-55-(3) 无关, 相关则 可由 A 唯一表示.这由有唯一解.为以后引用方便, 给它起个名子叫唯一表示定理.-56-写成矩阵乘积:从而(4) 向量 组 B 可由向量组 A 表示, 则(后者的 A, B是矩阵

14、)存在矩阵 C 使得 B = AC为以后引用方便, 给它起个名子叫表示不等式.-57-(5) 如果一个向量组能由向量个数比它少的向量组表示, 则必相关（Steinitz定理）.则必相关如果可由表示, 又 mn, 由表示不等式从而 B 必相关.-58-(6) “短的无关, 则长的也无关.等价地 ”是无关的.也是无关的.再如：-59-(7)含有n个向量的n元向量组线性相关（无关）由它构成的n阶矩阵的行列式t 取何值时,下列向量组线性相关 ?解记当 t = 5 时, 上面向量组线性相关.例4-60-A, B 为非零矩阵且 AB = O, 则(A) A 的列组线性相关, B 的行组线性相关(B) A

15、的列组线性相关, B 的列组线性相关(C) A 的行组线性相关, B 的行组线性相关(D) A 的行组线性相关, B 的列组线性相关 设 说明 Ax = 0 或 AX=O 有非零解, 故r(A)0, r(B)0, 得 r(A)n 和 r(B)n, 从而 A 的列组线性相关, B 的行组线性相关.例5解-61-设 线性无关, 问 满足什么条件, 线性相关.向量组: 分析:这是一个向量组表示另一向量组的问题, 就是矩阵乘法的关系。则例6-62-设(要讨论上面方程组何时有非零解)(由 )-63-线性相关-64-另证:由于 是列满秩矩阵, 故线性相关上面秩 3殊途同归-65-例7重要结论设向量组 能由

16、向量组线性表示为且A组线性无关。证明B组线性无关的充要条件是证法一(适用于一般的线性空间)设-66-上面方程组只有零解即由 线性无关,上式成立的充要条件是-67-证法二由 线性无关与上例一样-68-证明：例84.3 向量组的秩 对于给定的向量组(可以含无穷多向量), 如何把握向量之间的线性关系? ( 即哪些向量可由另外一些向量线性表示)，它们的本质不变量是什么？引例4.3.1 考察线性方程组其增广矩阵为记其行向量分别为则说明方程组中把第和第个方程去掉只保留第和第个方程仍是等价的. 即又容易验证又说明把方程组中第和第个方程去掉只保留第和第个方程仍是等价的. 即 一般地, 我们提出如下非常有意义的

17、问题：对于给定的一个向量组, 找出的一个子集, 满足下面两个条件：（1）中所有向量都可由线性表示；（2）所含向量个数尽可能地少. 条件（1）就是要求与等价. 条件（2）就是要求线性无关. 这是因为, 如果线性相关, 则中至少还有一个向量可由中其余向量线性表示. 因此, 我们给出下面极大无关组和向量组秩的概念. -73-(1) 线性无关, (2) A 中任意 r + 1 个向量(如果有的话)都线性相关.定义1如果在向量组 A 中找到 r 个向量 满足则称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组. (2) A 中任一向量都可由 A0 表示.定义(1) 线性无关, 如果在向量组 A 中找到 r

18、个向量 满足则称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组. -74- 向量组 A 的最大无关组所含向量的个数 r (显然是唯一的)称为向量组 A 的秩. 仍记为 r(A). 只含零向量的向量组无最大无关组, 规定其秩为0.定义3-75-例1求向量组的一个最大无关组和该向量组的秩. 同理, 等也是最大无关组.易求得说明 A 中有一个 2 阶子式不为零. 如取前两列前两行:那么 , 从而 线性无关.再看 A 的任意三列 , 因为所以任意三列都是线性相关的.根据定义 就是一个最大无关组 -76-阅读极大无关组秩的基本性质P.107-108，回答(以下向量组可无限) (1) 最大无关组所含向量个数

19、不会超过多少？最大无关组一定存在吗？ (2) 最大无关组唯一吗?它含向量个数唯一吗？ (3) 如果向量组的秩为 r ,则其任一 r 个线性无关的向量都是其最大无关组吗? (4) 向量组与其任一最大无关组等价吗? (5) 向量组的任意两个最大无关组等价吗? (6) 等价向量组的秩相等吗? (7) 相互等价的向量组中所含向量个数最少的是哪个向量组？-77-极大无关组的求法例2求向量组的一个最大无关组并把其余向量用该最大无关组表出. 接例1, 已求得一个最大无关组为要求 用 表出, 这相当于要解方程组解-78-你能将求最大无关组和把其余向量用该最大无关组表出一步完成吗?类似可求 用 表出.解矩阵的行

20、初等变换不改变矩阵的列向量组的线性关系。-79-例3求向量一个最大无关组,并把其余向量用该最大无关组表出.矩阵的秩=?线性无关吗?是最大无关组吗?-80-81-是右边的最大无关组是左边的最大无关组总结-82-定理 注: 以前我们把向量组与它们排成矩阵的符号混用，而且把它们的秩的符号也混用正是由于三秩相等这个原因。但对于无限向量组符号就不能混用了。向量组的秩与矩阵秩的关系三秩相等定理-83-4.5 向量空间集合 对于加法及乘数两种运算封闭指 设 为 维向量的集合，如果集合 非空，且集合 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合 为向量空间定义 维向量的全体是一个向量空间,记作只含零向量的集合是一

21、个向量空间(称为零空间)向量空间如果不是零空间必含有无穷多个向量-84-证明下列集合是向量空间证例1所以 构成了向量空间.-85-证例2证明齐次方程组的解集是一个向量空间. 以后称为齐次方程组的解空间.-86-例3证明非齐次方程组的解集不是向量空间.证设 , 而 S 对加法运算不封闭.或S 对数乘运算不封闭.-87-是向量空间.例4证-88-定义设 是一向量组, 称为由该向量组生成的(或张成的)向量空间.记为-89-例5设向量组 与向量组 等价,证明同理证-90- 向量空间 V 的一个最大无关组, 又称 V 的一个基(或坐标系). 基所含向量的个数 r 又称为 V 的维数.记为 dim(V)

22、= r . 此时称 V 是 r 维的向量空间. 设有向量空间 及 ，若 ，就称 是的子空间设 是由 维向量所组成的向量空间，则定义定义-91- 设向量空间 V 的一个基为 ,则对 V 中的任一向量 可唯一地表示为定义数组 或向量 称为向量 在基 下的坐标.的一个基显然就是向量组 的一个最大无关组，其维数就是该向量组的秩。-92-例6证明都是 V 的基. dim( V ) = ?, 并求向量在这两个基下的坐标.证显然线性无关, 又 V 中的任一向量所以 是 V 的一个基.dim( V ) = 2.V 中任意两个线性无关的向量都是 V 的一个基, 也是 V 的一个基所以-93-所以 在基 下的坐标

23、为 (3 , 5)为求 在基 下的坐标, 需解方程组 求得坐标为 ( 1 , 2 ).例如： 中任意n个线性无关的向量都是的一组基特别的称为的自然基。例6.设向量组求向量空间的一组基，并求dimV解法1把向量按列排成矩阵用初等变换化成阶梯形知是向量组的一个极大无关组，也是V的一组基，从而dimV=2.4.6 线性方程组的解的结构 一、 线性方程组解的存在性定理 二、 齐次线性方程组解的结构 三、 非齐次线性方程组解的结构一、 线性方程组解的存在性定理 在前面的章节学习中，我们已经研究的关于线性方程组的求解问题，本章将在整理前面知识点的同时，深入研究解的性质和解的结构。(4-1)(矩阵形式)(向

24、量形式)(原始形式)非齐次方程组解的存在性定理定理4.6.1对于非齐次方程组(4-1)推论4.6.1对于齐次方程组(1)A的列向量组线性无关(2)A的列向量组线性相关例1 设n(n2)阶方阵A是可逆矩阵，证明无解。例2 对于非齐次方程组证明:如果AX=b有唯一解，则AX=0仅有零解；(2) 如果AX=0仅有零解，则AX=b一定有唯一解吗？二、 齐次线性方程组解的结构(2) 解集的秩是多少? (3) 解集的最大无关组(又称为基础解系) 如何求?齐次方程组(假设有无穷多解)(1) 解集的特点?性质1：若 是(4-1)的解，解空间:的所有解向量的集合S，对加法和数乘都封闭，所以构成一个向量空间，称为

25、这个齐次线性方程组的解空间。性质2：注：如果(4-1)只有零解，解空间是零空间。如果(4-1)有非零解，解空间是非零空间。性质而在解空间中，基的概念我们在这里称为基础解系。首先回答问题(1)通过下面的例子, 针对一般的方程组例1回答所提问题.第一步:对系数矩阵 A 初等行变换化行最简形 B从行最简形能得到什么？第二步：写出同解的方程组(保留第一个未知数在方程的左边,其余的都移到右边. 右边的又叫自由变量)自由变量的个数=?第三步:令自由变量为任意实数写出通解，再改写成向量形式 是解吗?线性无关吗?任一解都 可由 表示吗?是基础解系吗?基础解系所含向量的个数 = ?第四步:写出基础解系再来分析一下基础解系的由来:第二步的同解方程组为第三步的通解为就是取代入同解方程组(1)中求得然后再拼成的解向量.类似的这就启发我们, 由于基础解系所含解向量的个数正好等于自由变量的个数(这里3个).只要令为三个线性无关的向量.代入同解方程组(1)中求得然后再拼成解向量.必然是线性无关的