131（1）函数的单调性ok

1、1.3.1单调性与最大（小）值（1）-函数的单调性 一.引入课题观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1问：随x的增大，y的值有什么变化？Oxy如何描述函数图象的“上升”“下降”画出下列函数的图象，观察其变化规律：1f(x) = x 从左至右图象上升还是下_?在区间 _ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 _ 2f(x) = -2x+1 从左至右图象上升还是下降 _?在区间 _ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 _ 3f(x) = x在区间 _ 上，f(x)的值随着x的

2、增大而 _ 在区间 _ 上，f(x)的值随着x的增大而 _ 2x-4-3-2-101234f(x)=x216941014916二.新课教学（一）函数单调性定义思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义 1增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x ,x ，当x x 时，都有f(x )f(x )，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）12 21 12如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1, x2, 当x1x2时，都有f(x1 )f(x2 )，那么就说在这个区间上是增函数如果对于定义域I内某个

3、区间D上的任意两个自变量的值x1,x2， 当x1f(x2 )，那么就说在这个区间上是减函数设f(x)的定义域为I:OxyOxy注意：1.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2) 分别是增函数和减函数.函数单调性是函数在某个区间上的性质(1)这个区间可以是整个定义域 如y=x在定义域上是增函数,y=-x是减函数(3)有的函数没有单调性区间(2)这个区间也可以是定义域的真子集 如y=x2在定义域上没有单调性,但在(-,0是减函数,在 0,+)是增函数.2单调性与单调区间 如果函数y=f

4、(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：注意：函数的单调区间是其定义域的子集；应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在那样的特定位置上，虽然使得f( )f( )，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.结论1：一次函数 的单调性，单调区间：结论2：二次函数 的单调性，单调区间：例1、下图是定义在区间-5，5上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在

5、每个区间上，它是增函数还是减函数？解：函数y=f(x)的单调区间有 -5,-2),-2,1),1,3),3,5 其中y=f(x)在区间-5,-2), 1,3)是减函数， 在区间-2,1), 3,5 上是增函数。注意：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；例2作出函数的图象并指出它的的单调区间例3物理学中的玻意定律 (k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当体积V减小时,压强P将增大.试用函数的

6、单调性证明之. 例2、物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+)上的任意两个实数，且V1V2，则由V1，V2 (0，+)且V10, V2- V1 0又k0,于是 所以，函数 是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.取值定号变形作差结论定号:（判断符号）证明函数单调性的步骤取值：对于x1,x2D，且x1x2 作差： f(x1)- f(x2) 变形: 通过因式分解、通分、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形.判断.探究：P30 画出反比例函数的图象这个函数的

7、定义域是什么？它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论结论3：反比例函数 的单调性，单调区间： yoxoyxyoxyoxyox在 增函数在 减函数在 增函数在 减函数在(-,+)是减函数在(-,0)和(0,+)是减函数在(-,+)是增函数在(-,0)和(0,+)是增函数yox例4证明函数在（1，+）上为增函数 例5讨论函数在(-2,2)内的单调性.三.归纳小结1、函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取 值 作 差 变 形 定 号 下结论2、直接利用初等函数的单调区间。 此时f（x）为减函数.当a0时，f(x1)f(x2)，此时f(x)为增函数.2.讨论函数f(x)= (a0)在(1,