两矢量的矢量积

1、8两矢量的矢量积定义1设矢量c是由两个矢量“与方按下列方 式定出：c的模lcl=lal0lsin 0 ,其中0为“与力间的夹 角；c的方向垂直于“与方所决定的平面,c的指向按 右手规则从“转向方来确定，我们把这样的矢量c叫 做矢量“与力的矢量积,记作axb,即c=axb.从定义知矢量积有下列性质：ax=O对于两个非零矢量，力，如果axfe=O5则“方; 反之，如果“/饱则axb = 0.定理1两矢量”与力共线的充要条件是axft=0.证当“与方共线时，由于sin(a方)=0,所以 ayb-ab sin(a 力)=0,从而 axft=0；反之，当时，由足义知，a =0 ,或b =0,或allb,

2、因零矢可看 成与任矢量都共线，所以总有“方，即“与方共线.定理2矢量积满足下面的运算律：交换律axb=-bxa,分配律(u+b)xc=axc+方xc,数因子的结合律QM)yb=axQJb)=Xgb)(X为数).证(略).定理 3 设 “ =+ ak. b = bj + bJ + bk,则axb=(aybz -ab(abx -ab皿W证由矢量积的运算律可得axb=(aJ-a J+/)x (/?/+/? J +/)=a b ixi+a b ixi +a b ixkx x x yx zabjababjxk+a b kxi+a b kx +a b kxk.由于ixi=jxj=kxk=0, lxj=k,

3、 jxk=i, kxi所以axb=(a b -a b i+(a b -a b j+ (a b -a b )yz zy/zx xzxy yx为了邦助记忆，利用三阶行列式符号，上式可写成=a b i+a b j+a b k-a b k-a b j-a b iy z z x x y y x x z z y .-a b )k.例 1 设 a=(2, 1=(ay bz -az by)i+(az bx -ax b)j+(a by一1), b=(1, T, 2),计算 axb .i j k解a xb=2 -1 -22i-j-2k-k-4j-i =i-5j -3k.例2已知三角形ABC的顶点分别是A (1,

4、2, 3)、 B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7),求三角形 ABC 的面积.解 根据向量积的定义，可知三角形ABC的面积S=勺 ABII AC Isin ZA=| ABx AC IMBC 22.由于AB =(2, 2, 2), AC =(1, 2, 4),因此ABx AC=左2 4J2 212 1=4i-6j+2k.于是S.ABC =剽-6j + 2k|= 22 +(-6)2 +22 -14 .例3设刚体以等角速度绕l轴旋转，计算刚 体上一点M的线速度.解 刚体绕l轴旋转时,我们可以用在l轴上的 一个向量n表示角速度，它的大小等于角速度的大小, 它的方向由右手规则定出：即以右手握住l轴，当右手 的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时,大姆指 的指向就是的方向.设点M到旋转轴I的距离为c再在/轴上任取一点。作向量，二成，并以。表示II与T的夹角，那么a = Irl sin0 .设线速度为v,那么由物理学上线速度与角速度间的关 系可知的大小为lvl= I na =