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1、 第九章 第三节一、方向导数 二、梯度 方向导数与梯度定义：存在,则一、方向导数说明：定理:则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,证明: 由函数且有在点 P 可微 ,得故对于二元函数为, ) 的方向导数为特别: 当 l 与 x 轴同向 当 l 与 x 轴反向向角函数可微,方向导数存在,但方向导数存在推不出可微,也推不出偏导数存在例1. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量的方向导数 .解: 向量 l 的方向余弦为例2例3、研究函数二、梯度 方向导数公式令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模 : f 的最大变化率之值方向导数取最大值：定义即同样可定义二元函数称为函数 f (P)

2、在点 P 处的梯度记作(gradient),在点处的梯度 说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量例4.证:试证处矢径 r 的模 ,例5.已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点试证证: 利用例6的结果 这说明场强:处所产生的电位为垂直于等位面,且指向电位减少的方向.内容小结1. 方向导数 三元函数 在点沿方向 l (方向角的方向导数为 二元函数 在点的方向导数为沿方向 l (方向角为2. 梯度 三元函数 在点处的梯度为 二元函数 在点处的梯度为3. 关系方向导数存在偏导数存在 可微梯度在方向 l 上的投影.思考与练习1. 设函数(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向 的夹角 .备用题 1. 函数在点处的梯度解:则注意 x , y , z 具有轮换对称性(92考研)指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是

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