2022届高三优质模拟试题分类汇编：球

1、2022届高三优质模拟试题分类汇编：球一基本原理1三角形的外心: .注：等边三角形的外心，直角三角形的外心，正方形，长方形的外心.三正方体，长方体的外接球.正长体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点2正棱柱，直棱柱的外接球.1.基本定义：棱柱：上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭 HYPERLINK /item/%E5%87%A0%E4%BD%95%E4%BD%93 t /item/_blank 几何体叫棱柱.直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱.正棱柱：底面是正多边形的直 HYPERLINK /item/%E6%A3%B1%E6%9F%B1 t /item/%E6%AD%A3%E6

2、%A3%B1%E6%9F%B1/_blank 棱柱叫做正棱柱.正棱柱是 HYPERLINK /item/%E4%BE%A7%E6%A3%B1/20402568 t /item/%E6%AD%A3%E6%A3%B1%E6%9F%B1/_blank 侧棱都垂直于底面，且底面是正多边形的棱柱.2.外接球球心：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点.正棱柱外接球的球心是上下底面中心连线的中点。3.计算公式：设底面小圆的半径为，棱柱高为，则.2.墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径） 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出3.垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1

3、题设：如图5，平面解题步骤：第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径，连接，则必过球心；第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： = 1 * GB3 ； = 2 * GB3 4.几个特殊的四面体1.1正四面体：由四个全等 HYPERLINK /item/%E6%AD%A3%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2/713720 t /item/%E6%AD%A3%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93/_blank 正三角形围成的空间 HYPERLINK /

4、item/%E5%B0%81%E9%97%AD%E5%9B%BE%E5%BD%A2/4256736 t /item/%E6%AD%A3%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93/_blank 封闭图形，所有 HYPERLINK /item/%E6%A3%B1%E9%95%BF/335467 t /item/%E6%AD%A3%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93/_blank 棱长都相等.1.2 正四面体的外接球和内切球.假设正四面体棱长为,其外接球半径为，内切球半径为，则.2.等腰四面体：四面体中中，.性质1：顶点在底面的投影为底面外接圆圆心.性质2：二典例分析一

5、四面体模型1.（合肥二模）在四面体中， ，二面角的大小为，则四面体外接球的表面积为（）ABCD解析：取中点，中点，连接，则，所以是直角的外心，所以，所以是二面角的平面角，是中点，则是直角的外心，由，平面得平面，平面，所以平面平面，同理平面平面，平面平面，平面平面，在平面内过作，则平面，在平面内过作，则平面，与交于点，所以为四面体的外接球的球心，中，所以，所以，所以外接球表面积为故选：B2.（苏锡常镇一模）正四面体的棱长为，是棱的中点，以为球心的球面与平面的交线和相切，则球的体积是（）ABCD解析点在平面内的射影为点，则为的中心，取的中点，连接，则，取线段的中点，连接，因为、分别为、的中点，则且

6、，因为平面，则平面，因为平面，则，正的外接圆半径为，所以，易知球被平面所截的截面圆圆心为点，且，故，因为为等边三角形，为的中点，则，因为以为球心的球面与平面的交线和相切，则切点为点，则球的半径为，因此，球的体积是.故选：D.二棱台模型3.（青岛一模）已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，母线长为2，为母线中点，则下列结论正确的是（）A圆台母线与底面所成角为60B圆台的侧面积为C圆台外接球半径为2D在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为5解析：对于A：过A作交底面于F，则底面，所以即为母线与底面所成角.在等腰梯形ABCD中，,所以.因为为锐角，所以.故A正确；对于B：由题意，圆台的侧

7、面展开图为半圆环，其面积为.故B错误；对于C：设圆台外接球的球心为O，半径R.由题意可得：.设，则，由，即，解得：a=0.即OO1重合，所以.故C正确；对于D：如图示，在在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为CE.由题意可得：.由为中点，所以，所以.故D正确.故选：ACD4（成都三诊）已知三棱台的六个顶点都在球O的球面上，和分别是边长为和的正三角形，则球O的体积为（）ABCD设点，分别是正，的中心，球的半径为，且，三点共线，正三棱台的高为，在等边中，由，由正弦定理可得： ，得，在等边中，由，由正弦定理可得： ，得，如下图，过点作，则在三角形中 ，所以，所以正三棱台的高为3，在中，即，在中，即，

8、两式解得：，所以球O的体积为：. 故选：B.三侧棱垂直于底面5（德阳二诊）已知是球面上的四个点，平面，则该球的表面积为（）ABCD因为平面，所以，又，所以，又，所以平面；同理平面，则两两互相垂直，将三棱锥补形成以为长宽高的长方体，如下图所示，又是球面上的四个点，所以球的直径为该长方体的体对角线，又，所以该长方体的体对角线长为，即球的直径，其中是球的半径；所以球的表面积为.故选:B.6（保定一模）已知三棱锥，其中平面，则该三棱锥外接球的表面积为（）ABCD解析：根据题意设底面的外心为，O为球心，所以平面，因为平面，所以，设是中点，因为，所以，因为平面，平面，所以，因此，因此四边形是平行四边形，故，由余弦定理，得，由正弦定理，得，所以该外接球的半径满足，故选：C四最值问题3（眉山三模）已知是边长为3的等边三角形，三棱锥全部顶点都在表面积为的球O的球面上，则三棱锥的体积的最大值为（）ABCD球O的半径为R，则，解得：，由已知可得：，其中球心O到平面ABC的距离为，故三棱锥的高的最大值为3，体积最大值为故选：C4三棱锥的顶点都在以PC为直径的球M的球面上，若球M的表面积为，