线性代数(经管类)串讲资料

1、（经管类）串讲资料第四部分考点串讲（按标准试卷题序串讲）一、单项选择题：1、行列式的计算本题型为历年必考题型，其有两种形式一种直接解答，考查其运算能力，其次是考查如何利用性质求行列式解，应掌握这两种方法：1）利用传统的计算方法直接计算；2）利用性质巧计算，主要性质有：行列式和它的转置行列式相等；行列式可以按行列提出公因数；互换行列式中的任意两行（列），行列式的值改变符号；如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零行列式或以按行（列）拆开把行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上去，所得行列式值不变。2、字母型行列式计算本题型主要考查考生利用

2、矩阵行列式公式能力，主要涉及公式有：|KA|=K n |A|AB | | A| B | |A|=|B|AT | | A|4)|A1|A*|A|A* | |A|n 13、考查方阵的性质及公式，主要是会灵活运用公式，主要有以下公式：(A 1) 1 A(KA) 11 A 1k111(AB) 1 B 1A 1(AT) 1 (A 1)T(Ak) 1 (A 1)k4、考查伴随矩阵的求法1)求件随机矩阵先求出各元素的代数佘子式，再把每行对应的代数佘子代换成对应的例。2)根据公式：A1A*|A|A* | A| A 15、求方阵的逆距阵：求方阵的逆矩阵也有两种方法，根据实际情况选定：1)根据公式：1 A*A 先

3、求出 A*|A|2)利用初等行变换求逆矩阵6、向量组线性相关和线性无关的考查这种题型有两种考法1)利用线性相关这一已知条件可实数：如若向量组a1(1,t 1,0)a2 (1,2,0)a3 (0,0,t2 1)线性相关，则实数 t 为多少？解：因为已知向量组线性相关所以有110t120020 0t 1t12)根据线性相关和线性无关性质关断某些推断的正确和否如：已知量组A: 1 , 2, 3, 4,中2, 3, 4线性相关，那么A: 1, 2, 3, 4线性无关，B、1, 2, 3, 4线性相关C、1可由 2, 3, 4线性表示D、3，4线性无关根据线性相关组的扩充向量组必为相关组，所以造B7)考

4、查A 和 B 相似性质：设立 A 和 B 是两个 n 阶方阵，如果存在某个n 阶可逆矩阵P 使得B P 1 AP 则称 A 和 B 是相似的，记为A BA 和 B 相似有：trA=trB8、考查线性方程组的解法：1）齐次线性方程组的解：若 1. 2是齐次线性方程组Ax 0的解，则12也是Ax 0的解若 是齐次线性方程组Ax 0 的解，k 是任意实数，则k 也是 Ax 0 的解。2）非齐次线性方程组的解：如果y1 .y2是非齐次线性方程组Ax b 的解，则y1 y2是它的导出组Ax 0 的解。如果 y 是非齐次线方程组Ax b 的解， 是它导出组Ax 0 的解，则y 必是 Ax b 的解。9、考

5、查正交向量性质：设 （ 1, 2, n）（b1,b2,bn ） Rn如果（ . ） 0则称 和正交，记为 TOC o 1-5 h z 例：下列向量中和=（ 1、 1、 -1）正交的向量是（）A、1=（1、1、1）B、2=（-1、1、 1）C、3=（1、-1、1）D、4=（0、1、1）跟据性质不难得出D 为正确答案10、本题一般考察由所给的二次型转化为对称矩阵或由对称矩阵转化为对应的二次型， P164本题型简单应该必得则必有 |A|=0则必有 |A|=011、本题仍然考查行列式的计算性质如 | kA| kn | A|等相关公式的运用例，设 A 为三阵方阵且|A|=3，则 |2A|=23|A|=8

6、 3=2412、本题主要考查矩阵的性质及相关运算1)矩阵的乘法利用基本的矩法运算法则进行运算2)求伴随矩阵利用最基本的概念求伴随矩阵3)求可逆矩阵1 A*利用公式A求方阵的逆矩阵|A|利用矩阵的初等变换求伴随矩阵4)转置运算律(AT ) T A( A+B ) =AT+B T(kA)T KAT k为实(AB)T BTAT(AA2 Ak)TAkTKk 1T5)方阵行列式的性质 | AT | A| |kA| kn | A| AB | | A | B | (行列式乘法规则)6)可逆矩阵的基本性质：设 A, B 为同阶的可逆方阵，常数k 0则 ：A 1 为可逆矩阵、且(A1) 1 AAB 为可逆矩阵、且

7、(AB) 1 B 1 A 1111kA 为可逆矩阵、且(kA) AkAT为可逆矩阵、且(AT ) 1 (A 1)T可逆矩阵可以从矩阵等式的周侧消去，即当P 为可逆矩阵地有：PA PBA BAP BPA B设 A 是 n 阶可逆矩阵我们记A0 E 并定义 A k (A1)k其中 k 是任意正整数则有：Ak AAk ,(Ak )Ak这里， k 和 a 为任意整数(包括负整数、零和正整数)13、考查齐次方程Ax 0 的基础解系所含向量的个数：设 A 为 m n 矩阵， r (A) r, 则 Ax 0 的基础解系中解向量个数为n-r14、考查齐次线性方程组Ax 0 有非零解的条件：者齐次线性方程组有非

8、零解，15、考查矩阵秩的求法：1）给出了已知矩阵求法矩阵的秩利用矩阵的初等行变化求秩，秩即为矩阵非零行个数，2）给出了几个向量最后间向量组成向量组的秩，其解法是相同的1112121t3 1 的秩为 21则数 t=-21 1t 11 t 11 t解： 12 103 1 t 03 1 t2 1 10 3 1 2t 0 0 2 t因秩为2， 则 t 216、考查解方程解的性质17、考查方阵特征值的求法1）根据特征值的和等于方阵的迹，求方阵的特征值 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark204 o Current Document 022例：已知0 为矩阵 A 222 的

9、 2 重特征值，则A222。解：根据特征值的和等于方阵的迹，得：123022342）根据特征值之积等于|A|的值。例：设三阶方阵A 的三个特征值为1、 2、 3 则 |A+E|=解：三阶方阵的特征值为1、 2、 3 则 A+E 的特征值为2、 3、 4|A E | 2 3 4 2418、由二次型转化为标准型，或由标准型转化为二次型19、利用二次型正定的性质，求R 的取值范围 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark154 o Current Document 222例：二次型f (x1,x2,x3) (k 1)x1(k 1)x2(k 2)x3 正定则数k 的取值范解

10、：第一次先将二次型转化为标准型 HYPERLINK l bookmark107 o Current Document k1000k10 HYPERLINK l bookmark148 o Current Document 00k2第二次列式k10 HYPERLINK l bookmark113 o Current Document (k 1)(k 1) 0k 2(k 2)(k 1)(k 1) 020、一般考查向量内积的性质：向量内积有以下基本性质：对于TE 取的 k,2 R, , ,r Rn有：1)对称性( , ) ( , )2)线性性(k , ) ( ,k ) k( , )(,r) ( ,r

11、) ( r)它们可以合并为(k ,r) k( ,r)( ,r) TOC o 1-5 h z 例：设 和 的内积( ( , ) 2,| | 2则内积(2a,)8)解： (2a,)(2a,)(,)2(a,)(,)2(a,)(,)2248三、计算题：21、本题主要考查行列式值的求法；知识点一常规解法知识点二利用行列式的性质求解22、求方阵的可逆矩阵知识点一利用公式A1 A*求可逆矩阵| A|知识点二利用矩阵的初等变化求A 123、考查知阵的运算其中包括可逆矩阵，转置矩阵性质及运算律的考查24、求向量组的极大线性无关组知识点利用矩阵的初等行变化求极大线性无关组，25、解方程组的解：知识点一解齐次线性方

12、程组的解知识点二解非齐次线性方程组的解26、求对角矩阵（3 1 6）15（3 1 6）15本大题主要考查线性相关和线性无关及其相关知识，例：设向量组1 , 2线性无关，证明向量组1 a1 a2 ,2 a1 a2也线性无关。其次考查矩阵的性质：如例：设 n 阶矩阵 A 满足A2=A 证明E-2A 可逆；且（E-2A） -1=E-2A第五部分必考题型分析一、求行列式的值近年来此题型为计算题第一题，历年必考，一般多以技巧性解题为主，充分利用性质解答。例：计算四阶行列式1002210100201201解：通过观察，行列式的每列之和皆为3 得：100221010020120112010020001333

13、3200120012111131 0112010011021100213131本题即充分利用性质解题，而非常规硬算，那样计算量太大很难正确，利用性质计算量大大下降，且正确率也必然上升二、求方阵的可逆矩阵可逆适阵的求法是楞年必考题，多以计算大题形式出现，解此种类型题，主要是通过矩阵的初等交换求方阵的可逆矩阵0011例：设矩阵A 0 1 1 ， 则 A111001解： 0 1 1111 HYPERLINK l bookmark137 o Current Document 100111010011 HYPERLINK l bookmark127 o Current Document 00100100

14、1010100100011001 HYPERLINK l bookmark133 o Current Document 011100 HYPERLINK l bookmark198 o Current Document 01 0010 HYPERLINK l bookmark105 o Current Document 10 0001011110100 HYPERLINK l bookmark176 o Current Document 011A111 0 HYPERLINK l bookmark178 o Current Document 100分析把原矩阵化为单位矩阵，同时单位矩阵按照其同

15、样的初等变化转化为A本题型也为历年必考题型，多以大题出现，难度不大，但容易出错，在解管过程25例：已知A 1 312 B4321 C12X 满足 AX B C求 X解： AX B CAX C BA 1AX A 1(C B )13512CB142 1251111X A 1(C B)351112112813在本题中要特别留意Ax C B A 1Ax A 1(C B) 其中A -1是左乘、位置一求向量组的极大线性无关组其实和求向量组或矩阵的秩是同一个过程，都是首先1例：求向量组231的极大无关组并将其余向量由极大无关组线性表示解：以1 、2 、3、4为列向量的矩作初等行变换有：则，所以 1 、2、3

16、 为极大无关组并且五、解非齐次线性方程组：设 y 是 Ax b 的任意一个解，0121221, 2, n r是导出组Ax 0 的一个基础解系，y y* k1 1 k2 2kn r n r就是 Ax b 的通解。求法：对（ A、 b）进行初等行变换化简化成行阶梯形矩阵对写出原方程组同解的方程组，确定自由未知量设自由未知量为零，可得到Ax b 的特解 y*再写出和原方程组的导出组同解的方程组，确定自由未知量令自由未知量为单位向量组，可得到导出组Ax 0 的基础解系1 , 2 , n r写出 Ax b 的能解y y* k1 1 k2 2 kn r n r,（k1 k2kn r为任意实数）例：为何值时

17、，线性方程组 TOC o 1-5 h z x1x2x2x1x2x31x1x2x31有解，并求解解：1111112( A, b )1 110 11121110011时 , r ( A,b) r ( A) 3 方程组有唯一解，此时11( A,b) 0 100111101101100110201020110011所以解为：x11x22x311时 ，r (A,b) r(A) 1 3方程组有无穷多解，此时 HYPERLINK l bookmark131 o Current Document 1111, b)0 0 000000得到同解的线性方程组为x1x2x30即：x1=1- x2x3k1 1,k2 2

18、,km m 0k1 1,k2 2,km m 0令 | E A|=0得 11, 235 即为 A 的全部特征值分别令可求得基础解系为11y11 和 y20 所以通解为01实数）六、特征值和特征向量的求法：定义：设A= （ aij ）为n 阶实方阵，如果存在某个数和某个 n 维非零列向量P满足， AP= P则称 是的一个特征值，P 是 A 的属于这个特征值的一个特征向量。2、求法：（ 1 ）写出特征多项式| E A | 求出特征方程| E A | =0 的所有根，这些根就是A 的全部特征值。2）对特征值0， 求出齐次线性方程组的所有非零解，这些就是A 属于这个特征值的特征向量( 3)例题50 0求

19、 A 0 32 的特征值和特征向量0 23解： TOC o 1-5 h z 500 HYPERLINK l bookmark166 o Current Document | E A| 03 2(5)2(1)023E-A） x=0对应于1 =1 ，解齐次线性方程组（4 0 0 x1x10得： 02 2x20 即 1令x31得基础解系为1100所以 k 1（k 0） 是 A的属于特征值1 的全部特征向量1对于 23 5解齐次线性方程组（2 E-A） x=0 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark46 o Current Document 0 0 0 x1 HYPERL

20、INK l bookmark172 o Current Document 即： 0 2 2x20 即x2x3 HYPERLINK l bookmark99 o Current Document 0 2 2x310所以k1 0 k2 1 （k1,k2不全为零）01即为对应235的全部特征向量七、线性相关和线性无关及有关知识1、定义对向量组1, 2, m，若存在不全为零的数k1, k2,km使得，则称 1 , 2, m线性相关k1, k2,km为相关系数，否则利2 , m线性无关。2、结论：（ 1 ）单个向量线性相关0单个向量线性无关0（ 2）两个向量和线性相关和成比例两个向量和线性无关和不成比例

21、（ 3）含有零向量的向量组线性相关（ 4）单位向量组线性无关例：设1 , 2, 3 是齐次方程组Ax 0的基础解系证明： 1 , 12，123 也是 Ax 0的基础解系证明：1, 2 , 3是 Ax 0的1, 12，123是方程组Ax 0的解又令 k11k2 (12 )k3(123)0得(k1k2k3 )1 (k1k2)2k3301 , 12，123线性无关1 , 12，123是 Ax 0 的一个基础解系0例 5 解非齐次线性方程组例 1 计算行列式411223124134解：10例 2 求矩阵解：利用初等行变换求(A, E)第六部分必考经典例题101011111000100001110110

22、0100100010101010-110A 的逆矩阵；时（A、 E）作初等行变换100100001010 HYPERLINK l bookmark158 o Current Document 011000 11000 100011100011010010001100000010010010010001601000100010001010 HYPERLINK l bookmark189 o Current Document 01100011000 111111000010000100001000100110110 HYPERLINK l bookmark152 o Current Documen

23、t 1100所以 A 11127 | A|例 4 求向量组12，1，3， 1)，2 ( 3, 1,2,0) ,3 (1,3,4 2)001 TOC o 1-5 h z 011 HYPERLINK l bookmark206 o Current Document 11011001*例 3 设 A为 3阶方阵且|A|= ,() 1*;| |解：1A1由于 A,因此A* | A|,A A ,所以 HYPERLINK l bookmark6 o Current Document |A|3( 3A) 1 2A* 1 A 1 2 A 11 A 133311131|B| A1|()3|A1|334(4, 3

24、,1,1) 的一个极大无关组并将其余向量用该极大无关系表示出来 解：231 41 13 3()T( 1 , 2, 3, 4)1 13 3324110 212314324110 2111330 55100 5510 HYPERLINK l bookmark215 o Current Document 01121133011200 0 000 0 01021011 200 0 000 0 0极大无关组为21, 2 ，且 3 =2 124 =12 2x2 3x3 x4 1 TOC o 1-5 h z 3x1 x2 3x3 4x44x1 5 x2 9 x3 8 x4 0解：1131111311( A,b)3 134 40 467115980