沪教版高中一年级奥数《二次函数与方程、不等式》精讲

1、二次函数与方程、不等式 第4讲 二次函数与方程、不等式段意赛热点，考点“知迟点函数，(/=a/+W+c (a WO)称为二次函数，经配方后成/(公= (I+ ；+生二二，它的图像是抛物线.学习二次函数时,要注意其代数 2a 4a形式的变化以及图像的特点，掌握好二次函数的对称性、单调性、最值以及图像 的对称轴、开口、顶点等.二次函数应用广泛，是研究二次三项式、二次方程、二次不等式问题的基础. 二次方程根的分布、二次不等式恒成立等问题又是各类命题中的热点.一元二次方程实根的分布有许多结论：如对于函数/(幻=2 +6z + c (a r0),方程/(%) =0在区间(加，)内有且只有一个实根，且加、

2、都不是 根 /(n)0,等等.借助于图像可以得到这些结论.电螳例髭精诩若函数/(Z) =/+a j；-1 |在10, +8)上单调递增,求实数a的取值范围.解 在1, +8)上，f(G =/+aia单调递增，等价于一告&1,即 乙a2一2.在0, 上，fCr)=-az+a单调递增,等价于即a1, fb-a)=/(3-a2).求/(幻的最小值.1IQ1 /I 2解 如果 46 a = 3 Y ,贝(J。= ( a2 +a + 3) =a) l产生矛盾！所以奶一口73 .2.10由于，(妨一 a) = /(3 ,故横坐标为46 a与3 Y的点关于对称轴彳=对称.于是(4b a) + (3 =2x(

3、一),化简得到奶一/ =-3.所以/（%）的最小值是6卑 =-4. 44若关于1的方程n2 +aa+6 3 = 0 (a, b R)在区间1, 2上有实根，求/+3 4）2的最小值.解 由 /+。力+6-3 = 0知=一/一。% + 3.所以a2 + S 4)2 = / +(_幺 一。1 _ i)2 =a2 +(幺 +i)2 + 2az(/ 十 n 十弓2/ =(x2 + 1)(/ + 1 + 2ax + a2) = (x2 + l)(x4-a)2 +2 + 1.因为 1, 2,所以(6 4)2)/+i2,当1 = 1, a = 1, 6 = 3时,等号成立.o SHU JNG JANG YU

4、 OE SH一所以，a? + S 4）2的最小值为2.已知函数/（x） = x2 2mx +加一l,z0, 4，7h是实常数，求函数/（%）的最大值与最小值.解 /（Z）=（1-771）2 + m 1, % e 0, 4,直线 x = m 是对称轴.（1）当初0时Cr）m=f（4） = 15 7四 /（ = /（0）=771-1 （注: /（Z）a指八工）的最大值J（外晶指fS）的最小值）；(2)当 0Wm&4 时，/(%)11n =/(加)=/+a1, 1rax = max/(0), /(4).若 04M42 时，则 /(%)a = y(4) = 15-7m；若时，则F（z）e = f（。）

5、= m 1；(3)当 m 4 时，/(外的=f(0) = m 1, /(x) = /(4) = 15 Im.说明!这是一个给定区间含参数的二次函数最值问题.类似还有给定对称轴、区间由参数确定的二次函数最值问题，如：求函数/（工）=%2-21，“如32奥数精讲与测试（修订版）.高一年级 第4讲 二次函数与方程、不等式-加+1的最大值与最小值，也需讨论对称轴与区间的关系.用最值还可以解决不 等式在定区间上恒成立问题，如：已知关于7的不等式炉一2的+秋一在 区间0, 4上恒成立，求实数m的取值范围.实际上就是求Hi的范围，使 /(R)max V。(/(x) = x2 27nlz +九一1, 0, 4

6、).是否存在二次函数八公,使得条件(1)当|幻41时，1/(幻I&1;(2) 1/(2) | )7同时成立?解 存在，如于=2/ - 1.易证它满足条件.说明本题 f(%)可以求，设/(%)=历:+c.由 f(l)=a+6+c, /(1)=a = C,得+8-/(-%+22八。)，所以|八2) |= f+F与D2，,4+f一八一1) .2 + 22/(0) =| 3/(1)+/(-!)-3/(0) |3 I /(I) 1+1 /(-I) 1 + 3 1/(0) |7,根据等号成立的条件得/(D =/(-1) =-/(0) = 1或一1,解 得。=2, 6 = 0,。=一1 或。=-2, b =

7、 0, c = 1.所以/Cr)只能是 2z?1 或 一2/+1,进一步可以验证，它们都符合条件.若函数fGr) =&2-4*+1,10, 的最大值是M(a),最小值是根(a),求M(a)一加(a)的表达式.解 /(x) = (X 2a)2 4a + 1, a W 0. a(1)若a VO, Ma) = /(%)皿=/(0) = 1,加(短)=八*).=/(I)=3,所以 M(a) m(a) = 4 ； TOC o 1-5 h z aa(2)若a0,当0V2aWl 即0Va41时，zn(a) =/(x) =/(2a)=一4a + l, M(a) = /(%) 1rax = max/(0), /

8、(l),/(I) /(0) = 3 1 = a1 4a11i.所以当 二时，M(a) = /(I) =3, M(a) m(a) =Pa4aa4a 4；当:时，M(a) = /(0) = 1, M(a) m(a) = 4a；当 2a 1 即 时，M(a) = /(0) = 1, m(a) = /(l) = 3,所，a以 M(a) m(a) = 4.a114, 当 qVO 或 qf 时;a，综上可知，M(a)-mda)= ,+ 4-4,当0 V时； a4114a,当彳0在-2, 3内恒成立；(2)山0时,/(幻=(22+%+1)+3。在-2, 3内恒成立；(3)改o SHU JNG JANG YU

9、 OE SH一设函数fGc) =-yx2 +i+a (常数),问：是否存在实数m、n (n?O).使函数/(力)的定义域和值域分别是区间相，tT和3m, 3tzj?1)=3得方程解 f(.x) =包-1)2+。+ ，若九 1,则 a+ 3,使 a 1，这不可能，所以 YL F3 在国，0,根都在(一8, 1)内，贝岫j g(D = 5 2a 0,解得一2 a V，所以一2 V 1-2z + l,所以4/+(461丘+62_120.又6 一 2z, z 0, 1,所以 6 (- 2)皿=0.方法一：取Z=0得所以61(必要条件).又时,4/ +(必一 1)l+ - 10显然成立，所以是充要条件.

10、方法二：设/(Z) = 42 + (46l)z 加,在0, 1上恒有 r/(o)or/(i)o所以()或0解上面的不等式组，得 I-1.所以 O方法三：由 472 + (46 1)2 + 62-120得62+4*6+4%2Z120,又 b0,所以 62彳 +0, 1,即 6)(一 2力+，7不7)皿，*0, 1J 令 S=-2z +/r + L则 1, S=-2/+ +2= - 2(-7 +2 + 不，所以$皿=1 ( = 1 取到)，所以 61. 、4 /O一、选择题.函数/(工)=/+2父+3在加，0上的最大值为3,最小值为2,实数相 的取值范围是().A. 1, 2 B. (8, -1

11、C. -1, 0 D. 2, 1.函数/(%) = ax +6jr+0)满足/(1 + 2) = /(2x),正确的是（ ）.A. /U-2) = fWfWD. /（0） 0),若 f(m) 5二、填空题o SHU JNG JANG YUCESH-36.关于力的方程h2 1 + 13）%+公一4一2 = 0的两根分别在（0, 1）和 （1, 2）内，实数A的取值范围是.已知函数/（%） = ax2 +6z Cab丰0）,若/（%）=双）（为工工2），则 + g）的值为.函数y = 一 1 的单调递增区间为.J - 4% 5.两条不同的抛物线y =x2 +万+ 1与y = x k经过轴上的同 一

12、点时，实数k的值为.二次函数八外满足了（n 2） =f（一-2）,且图像在轴上的截距为 1,在1轴上截得的线段长为2氏则八力）的解析式为/氏）=.若二次函数 /（%）=%彳2 +6i + q 和 %（）=+仇 +。2,使得奥数精讲与测试（修订版）第4讲 二次函数与方程、不等式 A(x) /2(x)在1, 2上是单调递减函数，在1, 2上有最大值5,最 小值3,请给出一组满足上述条件的函数力(幻=,月(外=三、解答题.已知函数，(%)=/一m%+ 5在区间-1, 1上有最小值屋段)，求 g(加)的解析式.已知定义域为0, H上的函数/Or) = 1 I 1 - 2z I和gG)=一 1凡且FG)

13、=/g型源力If (z)，右/(工) 0 且 6 2 0). 已知八0) | = | /(I) | = | /(-I) |= 1,试求八力的解析式及 /(%)的最小值；已知 |6|4用(0)|11, (一DIWL |&1,当|t|&1 时，求证：I /(x) |4二.4B卷一、填空题.已知二次函数的图像经过三点A弓，千)、B(-l, 3)、C(2, 3),则其 解析式为.已知函数 fCz)=。力2一% 满足-4/(1)(一1, 一1&/(2)45,贝 I 八3)的取值范围是.若不等式0&/ +力2 + 5 4 1恰好有一个实数解，则p的取值范围是6、c满足a2 be - 8a + 7 = 0

14、一 则a的取值范围Zr +庆一6a + 6 = 0,.设实数a、 .已知函数/(幻=/-21+ 2,%, r + 1)的最小值是g(D,那么g()=. a、6都为正实数，方程/ + az + 26 = 0和/ + 2江+。= 0都有实数 根，则a + 6的最小值是.已知a为实数，对于一切实数了，二次函数了 = /-4奴+2a+ 30的值 均为非负数，方程一行=|。-1 |+1的根的取值范围是.a 4-3.已知 -4n+6 = 0的一个根的相反数为/ +4z-。= 0的根，则/ + ba 4 = 0的正根为.设方程|Z2一 = %+。的不相等的实根个数为.4.二次函数/)=。/ + (3。-1)

15、%(10+ 3)(。#0)的图像恒过两 个定点，这两个定点的坐标是.函数/包)满足f(3+z) =f(3 z), zg R,且方程义工)=0恰有三 个不同的实根，这三个实根的和为.抛物线y = x2 bxy y =-x2 +bx与直线y = kx最多能把平面分成 部分.o SHU JNG JANG YU OE SH-二、解答题.已知抛物线/(G =+r+q上有一点M(H0, /()位于Z轴的 下方.(1)求证：已知抛物线必与n轴有两个交点A (为，0)、B(x2, 0),且4 在为、孙之间；(2)若点M为(1, 一2)时,求整数工、&.已知 a、b、c R,函数fO) = axL -rbx-c

16、. g(z) =。+。，当| x &时，()I1.(1)求证：I c |0,当|时,g(z)的最大值为2,求/Cr).设二次函数/(n) = a/ +就+C屹 0),方程/(力=z的两个根与、奥数精讲与测试(修订版)高一年级二次函数与方程、不等式- 以满足0 V V12 Vl.当(0,为)时,证明:/(x) xj ；(2)设函数/(%)的图像关于直线I =与对称,证明： 0恒成立，则实数。的取值 范围是.二、解答题.设函数/(了)= ax2 +8z + 3 (a V 0),对于给定的负数a,有一个最大 的正数2(。)使得在整个区间0, 2(a)上不等式| /(力)| &5都成立. 问：a为何值时Z(a)最大？求出这个最大的Z(a).已知实数a、A c满足江一qc V 0,且由方程a(lgx)2 + 2MgM-Igy) 十C(lg)2 =1所表示的曲线过点(10,专)，求证：对于这条曲线上的任 意一点PCz, y),成立着不等式一一二-WlwCzyX1Mac Vac b.设二次函数/(X)当z = a时取最大值5, a0.而二次函数g(x)的最 小值为2,并且g(a) = 25, f(H)+g(z) = x2 + 16x