平面向量高中数学基础知识与典型例题

1、学习必备欢迎下载减法OA+OB=OC记OA=(x1,y1),OB=(x1,y2)OBOA=AB则OAOB=(x1+x2,y1+y2)OA+AB=OB记a=(x,y)量乘积R则a=(x,y)的两个向概量的数念量积则ab=x1x2+y1y2算加法：abba(交换律);(ab)ca(bc)(结合律)两个向量的数量积:ab=ba;(a)b=a(b)=(ab);(a+b)c=ac+bc3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量的相等.两向量a与b相等,记为ab.例如(ab)2=a2abb22数学基础知识与典型例题平面向量平面向量相关知识关系表一、向量的有关概念1.向量:既有

2、大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).2.向量的表示方法:字母表示法:如a,b,c,等.几何表示法:用一条有向线段表示向量.如AB,CD等.坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量OA的起点O为在坐标原点,终点A坐标为x,y,则x,y称为OA的坐标,记为OA=x,y.注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.向量概注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.念4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.及5.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一运个单位向量.算6.共线向量:方向相同

3、或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:0与任一向量共线.注:共线向量又称为平行向量.7.相反向量:长度相等且方向相反的向量.二、向量的运算(一)运算定义向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积,这些运算的定义都是“自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义.其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化.刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标

4、语言。主要内容列表如下：运算图形语言符号语言坐标语言加法与OBOA=（x2-x1,y2-y1）实数与向向量的AB=aababcosa,b记a(x,y),b(x,y)1122及(二)运算律运实数与向量的乘积：(ab)ab;()aaa;(a)()a注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，(三)运算性质及重要结论平面向量基本定理:如果e,e是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这12个平面内任一向量a,有且只有一对实数,使aee，称ee1211221122为e,e的线性组合。12其中e,e叫做表示这一平面内所有向量的基底;

5、12平面内任一向量都可以沿两个不共线向量e,e的方向分解为两个向量的12和,并且这种分解是唯一的.这说明如果aee且aee,那么.112211221122当基底e,e是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此12平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.学习必备欢迎下载即若A(x，y)，则OA=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点例3.设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则AB=(x2-x1,y2-y1)符号语言：a/bab(b0)(ab)c(ca)b=0|a|-|b|0；当a与b异向

6、时,0。|=|a|,的大小由a及b的大小确定。因此,|b|例4.OAB中,OA=a,OB=b,OP=p,若p=t(ab)，tR，则点P在()|a|b|例5.正方形PQRS对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且OP=量当a,b确定时，的符号与大小就确定了.这就是实数乘向量中的几何意念符号语言：abab0及坐标语言：设非零向量ax,y,bx,y，则abxxyy0运a|a|即|a|a(求线段的长度);（0，3），OS=（4，0），则RM=()念小.abab0(垂直的判断);向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，两个向量平行的充要条件1122xx即12,或x1y2-

7、x2y1=0,在这里,实数是唯一存在的,当a与b同向时,y1y2向的义。概两个向量垂直的充要条件11221212算两个向量数量积的重要性质：222(A)-5(B)-1(C)1(D)5真命题是()(A)(B)(C)(D)(A)AOB平分线所在直线上(B)线段AB中垂线上(C)AB边所在直线上(D)AB边的中线上(A)（7,1）(B)（7,1）(C)（7，4）(D)（7,7）222222例6.已知ax,3,b2,4,ab,则实数x=_.向例7.已知ab2,8,ab6,4,则a_,b_,a与b的夹角量的余弦值是_.的例8.已知ABC的三个顶点分别为A3,3,B6,0,C5,3,求ACB的大概及ab(

8、求角度)。AD，求点D和向量AD坐标。注:两向量a,b的数量积运算结果是一个数abcos(其中a,b),这个cosab以上结论可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值.数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关.bcos叫做向量b在a方向上的投影（如图）.运算例9.已知ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC边上的高为例10.在OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使|OM|OA|=13，|ON|OB|=14，设线段AN与BM交于点P，记OA=a，OB=b，用a，b表示向量OP.向量的概念数量积的几何意义是数量积ab等于a的模

9、与b在a方向上的投影的积.如果P(x,y),P(x,y),则PP=(xx,yy),111222122121PP(xx)2(yy)2,这就是平面内两点间的距离公式.122121例1在ABCD中，BCCDBA（）(A)BC(B)DA(C)AB(D)AC算例2.平面内三点A(0,3),B(3,3),C(x,1),若ABBC，则x的值为()及运学习必备欢迎下载的任意一点,则存在一个实数使PPPP,叫做点P分有B(a,b)对称点的坐标是()向线段PP所成的比.(如图)12(A)（m，n）(B)（am，bn）PP(D)（2am，1PP,内分取“+”,外分取“一”.A(5,6),B(3,4)2.PP定比分点

10、坐标公式:设P(x,y)、P(x,y)、P(x,y)，PPPP轴于C点，则3.设曲线C：y=f(x)按a=（h，k）(D)(3,6)注:函数图象平移口诀:左加右减,上点P的坐标由加下减.注意这里是指函数解析式的变化,另外注意顺序性.则C2的方程是1,点C分AB所成则：x1的比为（）yyy1(A)5(B)3xx特殊地，当1时得中点坐标公式：yy1y22另外，注意一下定比分点的向量公式：(C)a,2平线段的定比分点例11.点1.定义:设P、P是直线上的两点,点P是上不同于P、PA(m,n)关于点121212定比分12点P在线段PP上,P为内分点时,0;(C)（a2m，bP在线段PP或PP的延长线上

11、,P为外分点时,0.2n）12212bn）例12设212，直线AB交x11122212xx21124x122245平移，则平移后曲线C对应的解析例14.若将曲式为ykf(xh),当h，k中有一线C1:yf(x)个为零时，就是前面已经研究过的左平移到C2,使右及上下平移.得曲线C1上一(1,0)变为(2,2),()(A)yf(x1)2(B)yf(x1)2(C)yf(x1)2(D)yf(x1)2例15.把函数ysinx的图象按4移后得到的函数解析式为-_.解解斜三角形：三常用的主要结论有：角(1)A+B+C=1800任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.三角形重心公式：(1S12底高=r

12、(abc)(其中r是内切圆半径)2absinCasinC2R(正弦定理)O为平面内任意一点，PPPP1212则OPOPOP(1).有时直接运用它来考虑更简便!3.三角形重心公式及推导（见课本例2）：xxxyyy23,123)33(D)23形等边对等角:abAB;大边对大角:abAB.1ABC21bcsinAsinBF，我们把这一过程叫做图形的平移。a3,6平移向量ah,k平移到Px,y则xxh标表示为()yyk其中ah,k叫做平移向量.(B)(4,-11)例16.在VABC中,B45,c52,b5,则a等于()角(A)52(B)53平1.图形平移：设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的例13

13、.设向量移点按照同一方向移动同样长度(即按向量a平移)，得到图形AB(7,5),则将AB按2.平移公式：点Px,y按得到AB的坐（新=旧+移）(A)(0,1)(C)(7,-5)a2b2c22bccosA,b2(余弦定理)解三(C)5(D)10形例17.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为300,600,则塔高为()(A)400米(B)4003米(C)2003米(D)200米3333学习必备欢迎下载例18在ABC中，ax,b2,，B45,若这个三角形有两解，则x的取值范围是（）(A)x2(B)x2(C)2x22(D)2x23数学基础知识与典型例题(第5章平面向量)答案例1A、例2.C、例3.D、例4.A、例5.A、例6.6、例7.(2,6),(4,2),210、例8.120例9.解:(用解方程组思想)设D（x，y），则AD=（x-2，y+1）BC=（-6，-3），ADBC=0,-6(x-2)-3(y+1)=0，即2x+y-3=0BD=(x-3，y-2)，BCBD,-6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y+1=0例10.解:B、P、M共线记BP=sPMx1由得：,D（1，1）,AD=（-1，2）y1OPOBOMOBOAba1s1s1s