居于马线性代数第五章答案

1、第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化答案1.求下列矩阵的特征值和特征向量：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【解析】(1) 令,则矩阵的特征方程为故的特征值为。当时，由，即得其基础解系为，因此，(为非零任意常数)是的对应于的全部特征向量。 当时，由，即得其基础解系为，因此，(为非零任意常数)是的对应于的全部特征向量。(2) 令，则矩阵的特征方程为故的特征值为(二重特征值)。当时，由，即得其基础解系为，因此，(为非零任意常数)是的对应于的全部特征向量。当时，由，即得其基础解系为，因此，(为非零任意常数)是的对应于的全部特征向量。(3) 令，则矩阵的特征方程为故的特征值为(三重特征

2、值)。当时，由，即得其基础解系为，因此，的对应于的全部特征向量为(其中为不全为零的任意常数)。(4) 令，则矩阵的特征方程为故的特征值为(四重特征值)。当时，由，即得其基础解系为，因此，(为非零任意常数)是的对应于的全部特征向量。(5) 令，则矩阵的特征方程为故的特征值为(三重特征值)。当时，由，即得其基础解系为，因此，(为非零任意常数)是的对应于的全部特征向量。(6) 令，则矩阵的特征方程为按沙路法（课本P2），得故的特征值为。当时，由，即得其基础解系为，因此，(为非零任意常数)是的对应于的全部特征向量。当时，由，即得其基础解系为，因此，(为非零任意常数)是的对应于的全部特征向量。当时，由，

3、即得其基础解系为，因此，(为非零任意常数)是的对应于的全部特征向量。2.已知矩阵的特征值(二重),求的值,并求其特征向量.【解析】由特征值的性质知，即，解得，故。当时，由，即得其基础解系为，故矩阵对应于的全部特征向量为(其中为不全为零的任意常数)。当时，由，即得其基础解系为，故矩阵对应于的全部特征向量为(其中为非零任意常数)。3.设是矩阵不同特征值的特征向量，证明不是的一个特征向量。【解析】设分别是矩阵属于特征值的特征向量，且，则。假设是的属于的特征向量，则，故，整理得 。由于属于不同特征值的特征向量线性无关，故，这与矛盾。因此，不是的一个特征向量。4.设是矩阵的不同特征值对应的特征向量，证明

4、不是的特征向量。【解析】反证法。设是的特征向量，对应的特征值为，即,得 。 因为不同特征值对应的特征向量线性无关，所以，即，这与题设矛盾，故不是的特征向量。5.证明对合矩阵()的特征值只能是1或-1.【解析】设是的一个特征值，即，则 ，所以，即的特征值或-1.6.设可逆，讨论与的特征值(特征向量)之间的相互关系。【解析】设的属于特征值的特征向量为，则，上式两边左乘，得。由于可逆，故，且，。因此，上式可整理为。7.若，问：是否成立？【解析】由于，故成立。8.已知，求。【解析】由于，故存在可逆矩阵，使得，因此，。故 。9.已知，求。【解析】由于，故而 ，所以，10.设，是矩阵属于特征值的特征向量。

5、证明：是矩阵的对应其特征值的一个特征向量。【解析】由，得。所以，是矩阵的对应其特征值的一个特征向量。11.设为非奇异矩阵，证明与相似。【解析】由于为非奇异矩阵，即可逆，令，则，即存在可逆矩阵，使得，根据相似的定义知与相似。12.设，证明：.【解析】由，可知存在，使得，所以.13.证明阶矩阵只有零特征值，其特征子空间是的一维子空间，并求它的基。解：由可知，即只有零特征值。 由及，得是对应的特征子空间的基。所以，特征子空间是的一维子空间。14.若可逆，不可逆，那么，关于的特征值能做出怎样的断语？【解析】由于可逆，不可逆，故，即，由此可得：为的特征值，不是。15.若，证明或至少有一个是的特征值。【解

6、析】由于，故，由此可得或，即或，因此或至少有一个是的特征值。16.在第1题中，哪些矩阵可对角化？并对可对角化的矩阵，求矩阵和对角矩阵，使得。【解析】由于(1)中的矩阵为实对称矩阵，而实对称矩阵可以对角化，故(1)中的矩阵可以对角化，并存在可逆矩阵和对角矩阵，使得。根据定理5.9可知(2)、(3)、(4)、(5)均不可对角化，而(6)可以对角化。对于(6)中的矩阵，存在可逆矩阵和对角矩阵，使得。17.主对角元互不相等的上(下)三角形矩阵是否与对角阵相似(说明理由)？【解析】设为上三角矩阵，且，则，故的全部特征值为。而，故有个互不相同的特征值，因此与对角阵相似。同样地，下三角矩阵也与对角阵相似。1

7、8.设阶矩阵的个元素全为1，试求可逆矩阵，使为对角阵，并写出与相似的对角阵。【解析】由于，则的特征方程为故的全部特征值为(重)，。当时，由，即可得线性无关的特征向量。当时，由，即可得线性无关的特征向量。由于的每个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数等于该特征值的重数，根据定理5.9可知可以对角化，且存在可逆矩阵和对角矩阵，使得。19.已知4阶矩阵的特征值(三重)，；对应于的特征向量有，对应于的特征向量为。问：可否对角化？如能对角化，求出及(为正整数)。【解析】对进行初等行变换，得，故，因此，线性无关。由于的每个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数等于该特征值的重数，根据定理5.9可知可以对

8、角化，且存在可逆矩阵和对角矩阵，使得，从而。下面求：故 ，20.设三阶实矩阵有二重特征值，如果都是对应于的特征向量，问可否对角化？【解析】三阶实对称矩阵的特征方程是三次方程，必有一个实根。又是的二重特征值，所以是单根。设对应于的特征向量为。对应的线性无关（不成比例）的特征向量有两个，如（或或或）（注意不可能有多于两个的线性无关的特征向量），不同特征值对应的特征向量线性无关。所以，三阶矩阵有3个线性无关的特征向量，可以对角化。21.已知。若，求。【解析】由，得.由，得的特征值。对应的特征向量分别为：。令，则.于是，即。从而22. 设，求(为正整数)。【解析】令，其中，则。的特征值为，它们对应的特

9、征向量分别为。令，则,不可以对角化，记，其中，则。用二项式展开计算得于是，23.对5.2节例1的矩阵，求正交矩阵，使得为对角阵。【解析】例1中已求出对应于的特征向量为，单位化得。对应于的特征向量为，用施密特正交化方法，先正交化，得：再单位化，得：，。取正交矩阵，则为对角矩阵，且。24.对下列实对称矩阵，求正交矩阵和对角矩阵，使：(1) ； (2) ； (3) ；(4) ； (5) 。【解析】(1) 的特征方程为故的全部特征值为(二重)，。对于，由，即可得其特征向量为。用施密特正交化方法，先正交化得：再将单位化，得： 对于，由，即可得其特征向量为，单位化，得：。取正交矩阵，则。(2) 的特征方程

10、为,故的全部特征值为,，。 对于，由，即可得其特征向量为，单位化，得。 对于，由，即可得其特征向量为，单位化，得。 对于，由，即可得其特征向量为，单位化，得。取正交矩阵，则。(3) 的特征方程为,故的全部特征值为,，。 对于，由，即可得其特征向量为，单位化，得。 对于，由，即可得其特征向量为，单位化，得。 对于，由，即可得其特征向量为，单位化，得。取正交矩阵，则。(4) 的特征方程为故的全部特征值为,，。对于，由，即可得其特征向量为，单位化，得。对于，由，即可得其特征向量为，单位化，得。对于，由，即可得其特征向量为，单位化，得。对于，由，即可得其特征向量为，单位化，得。取正交矩阵，则。(5)

11、的特征方程为故的全部特征值为(三重)，。对于，由，即可得线性无关的特征向量。由于，故相互正交。将单位化，得。对于，由，即可得特征向量，单位化，得。取正交矩阵，则。25.设是阶实对称矩阵，且，证明存在正交矩阵，使得。【解析】设的对应于的特征向量为，则，。又由于，则。因为，所以，故或。由于是阶实对称矩阵，由定理5.12知存在阶正交矩阵，使得。26.设阶实对称矩阵的特征值。证明：存在特征值都是非负数的实对称矩阵，使得。【解析】为实对称矩阵，故存在正交阵，使得。于是。注意：，得，其中实对称矩阵的特征值。27.设为阶实对称幂等矩阵，求。【解析】利用25题结果：(其中1有个)。由，得 。28.设多项式，是

12、矩阵的一个特征值，是对应于的特征向量。证明是的特征值，且仍是对应于的特征向量。【解析】由于是矩阵的一个特征值，是对应于的特征向量，故。由特征值和特征向量的性质可知：是矩阵的一个特征值，即，两边同乘以，得，故，两边同时加上，得，即。由特征值和特征向量的定义可知是的特征值，且仍是对应于的特征向量。29.设,，证明：。【解析】由于，故存在可逆矩阵，使得。而，故即存在可逆矩阵，使得，由相似的定义知。30.设，已知0是的二重特征值，1是的单重特征值，求矩阵的特征多项式。【解析】利用，即，得，所以。31.设阶矩阵的每行元素之和皆为1，问：能否至少求得的一个特征值？【解析】由于的每行元素之和皆为1，令，则即

13、，其中，由此可得为的一个特征值。32.设是矩阵的个特征值。证明：。【解析】由，知于是即 所以，是的特征值，是的迹，即。33.(超纲)34.设都是阶矩阵，有个互不相同的特征值。证明：的充分必要条件是的特征向量也是的特征向量。【解析】必要性：设，则。因是的单重特征值，所以对应于的任意两个向量都成比例，于是，。故也是的对应于特征值的特征向量。充分性：因有个互不相同的特征值，所以有个线性无关的特征向量，故可对角化。记的个线性无关的特征向量为(也是的特征向量)，其对应的和特征值分别为，即。令，则利用对角矩阵与的乘积可交换，得到,上式两边左乘，右乘，即得。35.设都是阶矩阵，的特征多项式。证明：可逆的充要

14、条件为的任一特征值都不是的特征值。【解析】必要性：设的特征值为，即的特征多项式为，于是，。由可逆，即由此可得 。所以，的特征值都不是的特征值。充分性：因为由，即得，所以，可逆。注意：不能把代入中的而去求，这样成了一个数而不是矩阵了。36.证明反对称实矩阵的特征值必是零或纯虚数。【解析】已知，得。设 ， 上式两边取共轭和转置，然后再右乘，将代入，得由于时，所以，。因此，必是零或纯虚数。37.已知是中两个非零的正交向量，证明：矩阵的特征值全为零，且不可对角化。【解析】由正交，知，所以。设为的任意一个特征值，即，则。由于，故，所以的特征值全为零。当时，则.因为为非零向量,故,所以.又故。的基础解系仅

15、含个线性无关的解向量，即没有个线性无关的特征向量，所以不可对角化。38.设，且。试求矩阵的特征值，并求可逆矩阵，使成对角形。【解析】首先求矩阵的特征值。方法一：由于，所以。又由于，所以。 设是属于特征值的特征向量，则。对式两边右乘，得。而，所以，又由于，所以。由于 ，当时，对做初等行变换，得由于，所以，故基础解系中含有个解向量，即对应于的线性无关的特征向量的最大个数为，由定理5.8可知至少是重特征值。又由于，所以是重特征值。方法二：由于，所以。又由于，所以。上式两边同时右乘，得 设是属于特征值的特征向量，则。由特征值和特征向量的性质可知。式两边同时右乘，得。由于，所以(重)。下面求的特征向量。

16、当时，由，即可得特征向量。当时，由，即可得个线性无关的特征向量。取，则存在可逆矩阵，使得。39.已知的一个特征向量。(1) 确定及对应的特征值；(2) 能否相似于对角矩阵？说明理由。【解析】由，即可得：。因此，。 矩阵的特征方程为，由此可得的所有特征值为(三重)。对进行初等行变换，得，故，所以对应于特征值只有个线性无关的特征向量，由定理5.9知不能与对角矩阵相似。40.设，已知，且有一特征值，其特征向量，试求及。【解析】由于有一特征值，其特征向量，故。又由于，故可逆，且。对两边同时左乘，得，即 由此可得。由于，所以，故。41.设，已知有3个线性无关的特征向量，且是其二重特征值，求，使(对角矩阵

17、)。【解析】对作初等行变换，得，故，由定理3.14知：存在基础解系，且基础解系中含个解向量。又由于有3个线性无关的特征向量，且是其二重特征值，所以对应于有2个线性无关的特征向量，故。所以，。由于，故。当时，由，即可得对应于线性无关的特征向量。当时，由，即可得对应于线性无关的特征向量。 取，则存在可逆矩阵，使得.42.设均为非零向量，已知。试求：(1) ；(2) 的特征值与特征向量。【解析】(1)由于，所以，故。(2)设的特征值为，则，两边左乘，得。由于，所以。又由于所以。由于 ，当时，对作初等行变换，得：由于为非零向量，所以，故基础解系中含有个解向量，所以至少是重特征值。由于，即，即。又由于，而，所以。由此可得为重特征值。由于为非零向量，这里不妨设。当时，由，即可得个线性无关的特征向量。 下列43-46题为选择题。43.已知是阶矩阵的个特征值，则行列式( )(A) ； (B) ；(C) ； (D) .【解析】设的特征值为，对应于的特征向量为，则。两边减去，得，故的特征值为，即。而，故，故C正确。44.已知阶矩阵的行列式，为的一个特