【七年级】半角模型

1、半角模型、90 +45 模型.问题描述：如图，正方形 ABCD中，E、F分别在BC、CD上，且/ EAF=45 ,连接EF.结论 1: EF=BE+DF.证明：延长CD至点G使彳导DG = BE【补短】在 ABE和 ADG中，AB ADABE ADGBE DGABEA ADG (SAS).AE=AG, / BAE=Z DAG,. /EAF=45 , . BAE + Z DAF =45 ,/ GAF = / GAD + / DAF = / BAE+ / DAF =45 , 在 AEF和 AGF中，AF AFFAE FAGAE AGAFEA AFG (SAS).EF = GF. GF = Z DF

2、 + Z DG=Z DF + BE, .EF = BE+DF .G结论2: EA平分/ BEF; FA平分/ DFE .证明：. ABEA ADG,./ AEB=/ G, aefa agf,./ AEF=/ G,./ AEB=/AEF,EA 平分/ BEF; aefa agf,./ AFE=/AFG,FA 平分/ DFE .结论3:过点A作AHEF交EF于点H,则： ABEAAHE; AHFA ADF; AH=AB=AD.证明：在 ABE和AHE中,ABE AHEAEB AEHAE AE.ABEA AHE (AAS)同理可证： AHFAADF ;.AB=AH=AD.结论变式：若 E、F分别在C

3、B、DC延长线上时，求证： EF=DF-BE.证明:在DF边上取点G使得DG = BE,在 ABE和 ADG中，AB ADABE ADGBE DGABEA ADG (SAS).AE=AG, BE=DG, Z BAE=Z DAG ,. /BAE+/BAF=45 , ./DAG + /BAF=45 ,，/GAF=45 ,在 EAF和 GAF中，AE AG EAF GAFAF AFAEFA AGF (SAS) .EF = GF, ,.GF=DF-DG=DF-BE, EF DF BE.【小结】截长、补短只是形式，关键点在于已知半角的情况下，构造相应的另一个半角.此 处通过旋转，想要将一个图形毫无违和地

4、旋转到另一位置，需要：邻边相等，对角互补.正 方形可满足一切你所想.条件变式(1)如图，在正方形 ABCD中，E、F分别在BC、CD上，连接 EF ,若EF=BE+DF .求证：/ EAF=45 .(2)如图，在正方形 ABCD中，E、F分别在BC、CD上，连接EF ,若EA平分/ BEF .求证：/ EAF=45 .(3)如图，在正方形 ABCD中，E、F分别在BC、CD上，连接EF,过点A作AH，EF交EF 于点 H,若 AH=AB,求证：/ EAF =45 .Aisr D/F二、120+60 模型1.问题描述：如图， ABC是等边三角形， BD=CD且/ BDC=120, E、F在直线

5、AB、AC 上且/ EDF=60.求证：EF=BE+CF.证明：延长 AC至点G使得CG=BE,易证： DBE0DCG (SAS) 一 DE=DG , / FDG = / FDE =60易证： DFEDFG (SAS) 一 EF=GF综上：EF=GF=GC + CF=BE+CF.(2)若点E、F分别在BA、AC的延长线上，EF、BE、CF之间又有何数量关系?解：结论是EF BE CF .在BA上取点G使得BG=CF,易证DCFDBG, DC=DG , /CDF=/BDG;易证EDG0EDF, EG=EF, EG=EB-BG=EB-CF, EF BE CF .三、半角模型总结通过以上例子不难发现

6、， 常见的半角模型均通过构造旋转改变图形位置，再由一组对称型全等解决问题，首先考虑的是如何构造旋转？需要满足以下条件：(1)角含半角：通过旋转可得一组相等角；(2)邻边相等：如果邻边不相等，旋转之后便不能正好重合；(3)对角互补：保证旋转之后得到共线.1【例】如图，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上点，且 EAF - BAD , AB=AD, 2/B+/D=180 ,求证：EF=BE+DF.1DAF BAD ,2-1EAG - BAD EAF , 2证明：延长 CD至点G使彳导BG = DF,. /ABC+/ABG=180 , / D + ZABC=180 , . . / ABG=

7、/D,在 ABG和 ADF中，AB ADABG ADFBG DF ABGA ADF (SAS)AG=AF, / BAG=Z DAF,1 EAF BAD , . BAE 2.1rr-BAG BAE - BAD ,即 2在 EAG和 EAF中，AE AEEAG EAFAG AFAEGA AEF (SAS)B ECBE DF . EF EG BE BG BE DF , . . EF结论2:连接AD,与AE、AF分别交于 M、N,则：MN2 BM 2 DN2 .证明：造 ADMABM - AM=AM, /MAN = /MAN, BM = DM易证： AMNAMN (SAS) 一 MN=MN易证：MDN 是直角三角形 一 MN2 MD2 DN2 一 MN2 BM2 DN2 .【拓展篇】1结论1：右BE 1BC ,则点F是CD边中点.反之亦然.3结论2: A、B、E、N四点共圆,F、M四点共圆.A、D、证明：/ EAN=Z EBN=45 , . A、B、E、N四点共圆.同理可证 A、D、F、M四点共圆.另外还可得：连接 EN、MF,可得 AEN、AAMF是等腰直角三角形.NFMEFE结论3: M、N、F、E四点共圆.证明：. / MEF = /MFN , M、N、F、E四点共圆.FE 4 y结论 4: AMNsAFE.且 _AL