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文档简介

1、1.1 变化率与导数陈 琦1第1页，共19页。为什么同样从室温变化到100摄氏度，青蛙却有 不同的反应呢？2第2页，共19页。时间 x(年)200020022006人均GDP y(美元)85611002010这是我国的某年的人均收入：如何判断我国经济发展情况呢？3第3页，共19页。研究丰富多彩的变化率问题 平均变化率 瞬时变化率第4页，共19页。问题一：气球膨胀率增加单位体积，半径的改变量第5页，共19页。问题二：高台跳水第6页，共19页。平均变化率第7页，共19页。 我们把这个式子称为函数 从 到 的 平均变化率（average rate of change). 习惯上用 表示 ，即 ,类似

2、的 .于是，平均变化率可以表示为 .第8页，共19页。平均变化率的几何意义 对任意函数 ，做过其上任意两点的割线.不妨以 为例. （几何画板演示）第9页，共19页。研究丰富多彩的变化率问题 平均变化率 瞬时变化率第10页，共19页。 求t=2s时的瞬时速度，先考察t=2附近的情况.在t=2附近任取一个时刻 .11第11页，共19页。取较小的 值代入计算第12页，共19页。 当 t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 13.1. 从物理的角度看, 时间间隔 |t |无限变小时, 平均速度就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度.

3、因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 13.1m/s.思考：1、任取某一时刻t0，其瞬时速度怎样表示？2、函数f(x)在x0处的瞬时变化率怎样表示？第13页，共19页。一般的，函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作或 , 即 导数的定义:第14页，共19页。 导数的几何意义:（几何画板演示） 函数 在 处的导数就是切线的斜率 ，即第15页，共19页。 例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是和根据导数的定义,所以,同理可得 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以3 / h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5 / h的速率上升.一差二比三极限第16页，共19页。解法一：一差二比三极限解法二：利用导数的几何意义第17页，共19页。课堂小结：平均变化率 从 到 的 平均变化率割线的斜率导数 y = f (x) 在 x = x

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