土木工程结构试验：第二章 结构模型设计

1、1第二章 结构模型设计 模型试验是仿照原型结构按一定相似关系复制而成的代表物，通过对模型试验所获得数据和结果，可以推算到相应的原型结构上去。通常都是缩尺的，但也有少数是将原型结构按比例放大的。 目前，模型试验方法在流体力学、空气动力学领域应用广泛。2.1 概述 22.1 概述 飞机模型风洞试验 3 目前，模型设计方法在土木工程领域应用还处于初步阶段。这是由于土木工程材料离散性比较大，严格相似很难满足，因此多采用近似相似模型缩尺模型，缩尺模型多采用几何相似模型，按照设计规范的要求设计并制作模型，主要为了验证设计理论、材料或工艺性能或结构设计所需的参数；同时也可以验证有限元模型的正确与否。2.1

2、概述 4模型试验优点1、经济性好 由于模型结构的几何尺寸小，因此试件的制作容易，拆装方便，节省材料、劳力和时间。在荷载方面尤为突出，在一般常用的相似条件下，集中荷载的减少与几何尺寸的缩小成平方关系。若原型结构上作用着100 kN的集中荷载，一个缩尺比为1/20的模型需施加的集中荷载？5 2、针对性强 结构模型试验可以根据试验的目的，突出主要设计因素，简略次要因素，并改变其某些主要因素进行多个模型的对比试验。这对于结构性能的研究，新型结构的设计，结构理论的验证和推动新的计算理论的发展都具有一定的意义。 3、 数据准确 由于试验模型小，一般可在试验技术条件和环境条件均较好的室内进行试验，因此可以严

3、格控制其主要测试参数，避免外界因素的干扰，保证试验结果的准确度。6相似理论是研究自然界相似现象的性质和鉴别相似现象的基本原理。相似理论是模型试验的基础。进行结构模型试验的目的是试图从模型试验的结果分析预测原型结构的性能，相似理论将模型结构和原型结构联系起来 。2.2 模型设计相似理论 7一、 相似常数 在相似系统中，各相同物理量之比称为相似常数，相似系数或相似比。表征结构模型试验的物理量 描述质量分布的 如质量、密度等 描述荷载特征的 集中荷载、线荷载、面荷载、弯矩等 描述几何形状的如长度、面积、截面惯性矩等 几何相似质量相似荷载相似8一、 相似常数描述时间特性的 如时间等 描述物理特性的如应

4、力、应变、泊松比、刚度等 描述边界条件的 如支撑条件、约束情况等 表征结构模型试验的物理量 物理相似时间相似边界条件相似描述初始条件的 如初始位移、速度、加速度等 初始条件相似边界条件相似是模型试验中一个非常重要的相似性要求。在结构试验中，边界条件分为位移边界条件和力边界条件。边界条件相似要求模型结构在边界上受到的位移约束以及支座反力与原型结构相似。9 在国际单位制中，规定了若干物理量单位为基本单位，即长度用米，时间用秒，力用牛顿(质量用千克)，温度用开尔文，电流用安培。在相似模型中，以上5个物理量的相似常数称为基本相似常数。除这5个基本相似常数外，其他相似常数称为导出相似常数。例如，速度的相

5、似常数可用长度相似常数和时间相似常数表示。 结构静力模型涉及长度和力2个基本物理量，结构动力模型涉及长度、力和时间3个基本物理量。一、 相似常数10二、相似指标 使两个系统相似的相似常数之间的关系式称为相似指标。下面以牛顿第二定律为例加以说明原型模型11二、相似指标 原型模型原型与模型必须满足一定相似关系：带入原型牛二方程，得到：12 又称为相似准则或相似判断，是联系相似系统中各物理量的一个无量纲组合。例如，上式得到：上式就表示了一个相似判据。当模型和原型各物理量满足上式时，两个系统相似。在相似定理中，习惯上用希腊字母 表示相似判据，即不变量三、相似准数13 单值条件是指决定一个现象的特性并使

6、它从一群现象中区分出来的哪些条件。在结构模型试验中，主要应加以考虑的单值条件包括结构几何尺寸、边界条件、物理参数、时间、温度、初始条件等。对于常规结构静力模型试验，单值条件相似要求几何相似、边界条件相似、荷载相似和材料特征相似，对于结构动力模型试验，除上述要求外，还要求时间和初始条件相似。考虑温度作用时，还要求温度单值条件相似。四、单值条件14 在结构模型试验中，由于相似条件不能得到完全满足，由模型试验的结果推演原型结构性能时产生的误差称为相似误差。应当指出，在结构试验中，相似误差是很难完全避免的，但应减少相似误差对主要研究的物理现象的影响。五、相似误差15六、相似定理 （一）相似第一定理 相

7、似第一定理的表述为：彼此相似的现象，单值条件相似，相似准数的数值相同。这个定理揭示了相似现象的本质，说明两个相似现象在数量上和空间中的相互关系。不变量此式表示各物理量之间的比例为一常数。相似第一定理中的“相似准数数值相同”，就是指两个系统相似时原型系统的 和模型系统的 相同。16 按照相似第一定理，利用相似准数把相似现象中对应的物理量联系起来，并说明它们之间的关系，这样就便于在结构模型试验中，应用相似理论从描述系统性能的基本方程中寻求所研究现象的相似准数及其具体形式，以便将模型试验的结果正确地转换到原型结构。17 相似第二定理表述为：当一物理现象由n个物理量之间的函数关系来表示，且这些物理量中

8、包含m种基本量纲时，可以表示为(n-m)个相似准数间的函数关系。描述物理现象的函数关系式的一般方程可写成：按照相似第二定理，上式可改写为：六、相似定理 （一）相似第二定理 18 这样，利用相似第二定理，将物理方程转换为相似准数方程。同时，因为现象相似，模型和原型的相似准数都保持相同的 值， 值满足的关系式也应相同：其中：上述过程说明，这个无量纲的关系式可以推广到与其相似的原型结构。由于相似准数习惯上用表示 ，相似第二定理也称为 定理。 19 相似第二定理没有规定从系统的基本方程式如何得到相似准数方程式(即关系式)。实际上，可以有多种途径得到关系式。相似第二定理表明，若两个系统彼此相似，不论采用

9、何种方式得到相似准数，描述物理现象的基本方程均可转化为无量纲的相似准数方程。20下面以简支梁为例加以说明。如图所示，长度为L的简支梁，其上作用集中荷载F和均布荷载q。由材料力学可知，梁的跨中截面边缘应力为：写出无量纲方程： 相似准数为： 由上列分析可知，无量纲方程的各项就是相似准数，因此，各物理量之间的关系方程式，均可写成相似准数方程。21 现象相似的充分和必要条件是：现象单值条件彼此相似，且由单值条件的物理量所组成的相似准数在数值上相等。六、相似定理 （三）相似第三定理 22相似第一定理和相似第二定理是判别相似现象的重要法则，这两个定理确定了相似现象的基本性质，但它们是在假定现象相似的基础上

10、导出的，未给出相似现象的充分条件。而相似第三定理则确定了物理现象相似的必要和充分条件。上述三个相似定理构成相似理论的基础。相似第一定理又称为相似正定理，相似第二定理称为 定理，相似第三定理又称为相似逆定理。在结构模型试验中，完全满足相似定理有时是很困难的，只要能够抓住主要矛盾，正确的运用相似定理，就可以保证模型试验的精度。23相似的充分必要条件：单值条件相似相似准数相等，等价于相似指标等于12.3 相似条件的确定方法 24确定相似条件的方法：方程式分析法：用于物理现象的规律已知，并可以用明确的数学物理方程表示的情况量纲分析法：用于物理现象的规律未知，不能用明确的数学物理方程表示的情况2.3 相

11、似条件的确定方法 25一、方程式分析法例1：如图所示，长度为L的简支梁，其上作用集中荷载F。求梁的跨中截面相似条件。梁跨中截面挠度： 由材料力学，梁跨中截面边缘正应力：FF无量纲化得到： 故原型与模型的两个相似准数为： 26由定理一，系统相似，相似准数应相同：引入相似常数，得到相似指标：27显然，要使模型与原型相似，必须满足： 由模型试验获得的数据按相似条件推算得到原型结构的数据:28 什么是量纲，什么是单位，二者之间有什么区别和联系？ 答：量纲是表示各种物理量的类别；单位是度量各种物理量数值大小的标准。单位和量纲都是关于度量的概念，单位决定量度的数量，而量纲则指量度的性质。 二、量纲分析法2

12、9二、量纲分析法 例如，测量长度时用米、厘米、毫米等不同的单位，但它们都是属于长度这一性质，因此，将长度称为一种量纲，以L表示。时间用年、小时、秒等单位表示，也是一种量纲，以T表示。每一种物理量都对应一种量纲。有些相对物理量是无量纲的，用1表示。选择一组彼此独立的量纲为基本量纲，其他物理量的量纲可由基本量纲导出，称为导出量纲。在结构试验中，取长度、力、时间为基本量纲，组成力量系统或绝对系统；如果取长度、质量、时间为基本量纲，则组成质量系统。30物理量质量系统绝对系统物理量质量系统绝对系统长 度LL应 力ML-1T-2FL-2时 间TT应 变11质 量MFL-1T2比 重ML-2T-2FL-3力

13、MLT-2F密 度ML-3FL-4T2温 度 弹性模量ML-1T-2FL-2速 度LT-1 LT-1力 矩ML2T-2FL加速度 LT-2 LT-2泊松比1131 量纲分析方法提出的根据是什么？ 答：（1）自然界一切物理现象的内在规律，都可以用 完整的物理方法来表示。（2）任何完整物理方程，必须满足量纲和谐性原理。 凡是正确反映客观规律的物理方程，其方程各项的量纲都必须是一致的，这被之为量纲和谐性原理。32 量纲和谐性原理是以被无数事实证明的客观真理。因为只有两个同类型的物理量才能相加减，否则没有物理意义的。而一些经验公式是在没有理论分析的情况下，根据部分实验资料或实测数据统计而得，这类公式经

14、常是量纲是不和谐的。这说明人们对客观事物的认识还不够全面和充分，只能用不完全的经验关系式来表示局部的规律性。这些公式随着人们对物理现象本质的深刻认识，将逐步被修正或被正确完整的公式所替代。 33二、量纲分析法例2：如图所示，长度为L的简支梁，其上作用集中荷载F和均布荷载q。求梁的跨中截面边缘应力的相似条件。（1）确定量纲因素及量纲系统。由材料力学：物理量为 ，共有5个，采用绝对系统（L、T、 F），基本量纲2个，故独立的相似准数为3个 。（2）根据相似第二定理，相似准数方程：34二、量纲分析法（2）根据相似第二定理，相似准数方程： 所有物理量参数组成无量纲形式数的一般形式为：其中， 为待定的指

15、数。根据各物理量的量纲，上式可写为：35二、量纲分析法（3）根据量纲均衡性要求，上式右边的运算结果应为无量纲量，即力、长度量纲的指数均应为零，由此得到下列方程：F 量纲指数： L 量纲指数：36二、量纲分析法2个方程中包含5个待定常数，可将上列方程改为：给定 的值后，可得到 的值。方程变为： 37二、量纲分析法从上式可以看出， 取不同的值，得到不同的 数。由于 这3个待定系数相互之间是完全独立的，3个待定系数独立的取值对应了3个独立的数。因此，取 ， ， ，可以得到3个独立的 数：38二、量纲分析法（4）由第三相似定理，确定相似条件：39 例3 单自由度振动体系的相似条件 （1）确定影响因素及

16、量纲系统 单自由度体系的振动微分方程如下：将上式改写为一般函数形式： 式中，物理量个数n=6，采用绝对系统（L、T、FL-1T2、F），基本量纲数m=3，数目nm3二、量纲分析法（2）根据相似第二定理，相似准数方程：40 所有物理量参数组成无量纲形式数的一般形式为：其中， 为待定的指数。根据各物理量的量纲，上式可写为：（3）根据量纲均衡性要求，上式右边的运算结果应为无量纲量，即力、长度、时间量纲的指数均应为零，由此得到下列方程：F 量纲指数： L 量纲指数：T 量纲指数： 413个方程中包含6个待定常数，可将上列方程改为：由F量纲方程得到: 由L量纲方程得到: 由T量纲方程得到: 给定 的值后

17、，可得到 的值。方程变为： 从上式可以看出， 取不同的值，得到不同的 数。由于 这3个待定系数相互之间是完全独立的，3个待定系数独立的取值对应了3个独立的数。因此，取42（4）由第三相似定理，确定相似条件：可以得到3个独立的 数：43模型设计是结构模型试验的关键环节。一般情况下，结构模型设计的程序为：2.3 结构模型设计 一、结构模型设计程序 (1) 选择模型类型 验证结构的设计计算方法和测试结构动力特性的，一般选择弹性模型；研究结构极限强度和极限变形性能的，选择强度模型44 (2) 确定相似条件： 对研究对象进行理论分析，用分析方程法或量纲分析法得到相似准数，以确定相似条件。 (3) 确定几

18、何相似常数和结构模型主要部位尺寸。选择模型材料。 (4) 根据相似条件确定其它物理量相似常数。 (5) 分析相似误差，对相似常数进行必要的调整。 (6) 形成模型设计技术文件，包括结构模型施工图，测点布置图，加载装置图等。一、结构模型设计程序45 1、 确定与结构静力问题相关的物理量：结构几何尺寸：静荷载：结构效应：材料性能：二、结构静力模型设计2、 结构静力状态用一般函数表示：463、 采用量纲分析法确定模型相似关系：类 型物理量量纲理想模型实用模型材料特性应力FL-2SE1应变11弹性模量FL-2SE1剪切模量FL-2SE1密度FL-4T2SE/ SL21/ SL2泊松比11表2.3 结构

19、静力模型的相似关系47类 型物理量量纲理想模型实用模型几何特性长度LSLSL线位移LSLSL角度11面积L2SL2SL2惯性矩L4SL4SL4荷载特性集中荷载FSE SL2SL2线荷载FL-1SE SLSL面荷载FL-2SE1力矩FLSE SL3SL3表2.3 结构静力模型的相似关系 续48 1、 确定与结构动力问题相关的物理量：结构几何尺寸：作用：结构效应：材料性能：时间：三、结构动力模型设计2、 结构动力状态用一般函数表示：493、 采用量纲分析法确定模型相似关系：类 型物理量量纲理想模型实用模型材料特性应力FL-2SE1应变11弹性模量FL-2SE1密度FL-4T2SE/ SL1/ SL

20、泊松比11几何特性长度LSLSL线位移LSLSL角度11表2.4 结构动力模型的相似关系50类 型物理量量纲理想模型实用模型荷载特性集中荷载FSE SL2SL2线荷载FL-1SE SLSL面荷载FL-2SE1力矩FLSE SL3SL3能量FLSE SL3SL3加速度LT-211速度LT-1SL1/2SL1/2重力加速度LT-211阻尼系数FL-1TSE SL3/2SL3/2时间TSL1/2SL1/2频率T-1SL-1/2SL-1/2表2.4 结构动力模型的相似关系 续51例：如图所示，长度为L的简支梁，其上作用集中荷载F。按缩尺比例设计模型梁跨中截面挠度： 由材料力学，梁跨中截面边缘正应力：F无量纲化得到： （1）确定相似条件：52由定理一，系统相似，相似准数应相同：引入相似常数，得到相似条件：53第一种情况： 要求使模型上反映的挠度、应力和原型一致（2）确定相似常数：第二种情况： 要求使模型材料、应力和原型一致54一、模型材料要求相似要求：满足相似条件测量要求：为便于测量仪表有足够的读数，弹性模量应适当低一些。材料性能稳定，受环境温度、湿度的影响较小加工