半导体物理：第三章 半导体中载流子的统计分布

1、第三章半导体中载流子的统计分布 3.1 状态密度3.2 费米能级和载流子的统计分布3.3 本征半导体的载流子浓度3.4 杂质半导体的载流子浓度3.6简并半导体的载流子浓度载流子的产生：电子从价带跃迁到导带 本征激发 导带中电子从施主能级跃迁到导带 杂质电离 电子n电子从价带跃迁到导带 本征激发 价带中电子从价带跃迁到受主能级 杂质电离 的空穴第三章半导体中载流子的统计分布 在一定的温度下，产生和复合达到热平衡，半导体就有恒定的电子、空穴浓度n，p 温度改变时，建立新的热平衡，就有新的电子、空穴浓度n，p。第三章半导体中载流子的统计分布载流子的复合电子从导带跃迁到价带 减少一对电子空穴电子从导带

2、跃迁到施主能级电子从受主能级跃迁到价带3.1状态密度一、K空间中量子态的分布二、状态密度3.1状态密度 状态密度的定义：在能带中能量E附近，单位能量间隔内的量子态数。 设在能量E到E+dE内有dZ个量子态，则状态密度：3.1状态密度半导体中电子的允许能量状态（即能级）用波矢K标志。但电子的波矢K不能连续取值，K的取值为一、k空间中量子态的分布3.1状态密度 假设为边长为L的立方体。L是半导体晶体的长度， L3=V为立方体的体积， 以波矢K的三个互相正交的分量Kx, Ky, Kz为坐标轴的直角坐标系所描写的空间为K空间。 能量状态密度 g(E)单位能量间隔内的状态数 dZ=g(E)dE: EE+

3、dE能量间隔内的状态数3.1状态密度 先看k空间的状态密度g(k). 在同一能带内，每一个k值就代表一个状态，则在k空间，每单位体积内含的k值的数目就是g(k) (1) 一维简并情况 N总原子数，a原子间距,L=Na为一维晶体的长度3.1状态密度相邻的两个k值的间隔:这相当于每一个状态占有k空间的长度为1/L。或单位k空间长度内包含有个状态即g(k)=Na3.1状态密度(2)三维情况：k有三个方向的取值Nx，Ny，Nz晶体在x，y，z方向原胞数。ax，ay，az原胞在三个方向的原子间距。在每个方向上，相邻的两个k值之间的间隔分别是即每个K值（每个状态）占有K空间的体积为单位K空间的体积内包含的

4、状态数V是晶体的实体积 g(k)在k空间是均匀分布的 为求出能量状态密度g(E)或在EE+dE间隔内的状态数g(E)dE,我们只须求出在此能量间隔内包含的k空间的体积即可，为此必须知道E（k）关系，即能带结构。 普遍的能带结构E（k）是难以确定的，但在带底或带顶等能面可近似为球形等能面。3.1状态密度3.1状态密度二、状态密度的计算导带底附近E(k)与K的关系能量E到E+dE间的量子态数由E(k)与K的关系得：结论：导带底和价带顶附近，单位能量间隔内的量子态数目，随电子的能量增加按抛物线关系增大，即能量越大，状态密度越大。 结论导带态密度价带态密度3.1状态密度3.1状态密度导带和价带的态密度

5、分布图例题1导出能量在Ec和Ec+kT之间时，导带上的有效状态总数（状态数/cm3)的表达式， 是任意常数。3.1状态密度例题当T300k时，确定Si中Ec和Ec+KT之间的能态总数 Si: mn*=1.08m0 mp*=0.56m02.当T300k时，确定Si中Ev和Ev+KT之间的能态总数3. 求出EckT处导带有效密度与EvkT处价带有效密 度的比值3.1状态密度3.2费米能级和载流子的统计分布一、电子的费米分布函数 f（E）二、玻尔兹曼分布函数三、导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度四、载流子浓度的乘积费米分布函数f(E) 根据量子力学，电子为费米子，服从费米分布 EF表示平衡状态的参数

6、称为费米能级 3.2 费米能级和载流子的统计分布3.2 费米能级和载流子的统计分布不同温度下的费米分布函数与能量的关系（1） 当T= 0 时 E EF ， f（E）= 0 E 0 时 E = EF ， f（E）= 1/2 E EF ， f（E） k0T f（E）= 0 E EF f（E） 若E-EF5 k0T f（E）0.007% E-EF0.993% EF 为电子占据状态的分界线3.2 费米能级和载流子的统计分布 费米能级的意义：（1）它是电子热力学系统的化学势，它标志在T=0K时电 子占据和未占据的状态的分界线。即比费米能级高的 量子态，都没有被电子占据，比费米能级低的量子态 都被电子完全

7、占据。（2）处于热平衡状态的系统由统一的费米能级。（3）费米能级与温度、半导体材料的导电类型、杂质的含 量有关3.2 费米能级和载流子的统计分布3.2 费米能级和载流子的统计分布能量为E的状态被空穴占据的几率为1-f(E)被电子占据的概率f(E)与空状态（被空穴占据）的概率1-f(E)例题1 导带边缘Ec被填满的状态几率正好等于价带边缘Ev处空态的几率，求此时费米能级的位置 解：由 f(Ec)=1-f(Ev) 可得： EF=(Ec+Ev)/2 位于禁带中间3.2 费米能级和载流子的统计分布例题2（a)在热平衡条件下，温度T大于0K，电子能量位于费 米能级时，电子态的占有几率是多少？ (b)若E

8、F位于EC，试计算状态在EC+kT时发现电子的几率 。 3.2 费米能级和载流子的统计分布(c)在EC+kT时，若状态被占据的几率等于状态未 被占据的几率。此时费米能级位于何处？由题意得：解之得：3.2 费米能级和载流子的统计分布二、波尔兹曼分布函数 当E-EFkT时， 由于 所以 3.2 费米能级和载流子的统计分布3.2 费米能级和载流子的统计分布费米分布函数波尔兹曼函数当E-EFkT时即电子占据能量为 E的量子态的几率由指数因子决定3.2 费米能级和载流子的统计分布费米分布函数和玻尔兹曼分布函数的比较 玻尔兹曼分布与费米分布的区别 费米统计受泡利不相容原理限制，即不允许 两个相同的粒子占据

9、同一状态。 玻尔兹曼分布（玻色子）允许相同的两个粒子 占据同一状态。 但当f（E） K0T 时，上式分母中的1可以略去，则 3。简并半导体和非简并半导体 简并半导体：掺杂浓度高，对于n型半导体，其费米能级EF接近导带或进入导带中；对于 p型半导体，其费米能级EF接近价带或进入价带中的半导体 非简并半导体：掺杂浓度较低，其费米能级EF在禁带中的半导体 n型半导体p型半导体非简并弱简并简 并3.2 费米能级和载流子的统计分布3.2 费米能级和载流子的统计分布非简并弱简并简并简并弱简并三、导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度 知道f(E),g(E)之后，就可以计算载流子浓度n和p 先讨论导带的电子浓度

10、，然后用类似的方法可计算价带内空穴的浓度 3.2 费米能级和载流子的统计分布（1）导带中的电子浓度在能量E（E+dE）间的电子数dN为把gc(E)和fB (E)代入上式，得或改写成在能量E（E+dE）间单位体积中的电子数dn为3.2 费米能级和载流子的统计分布3.2 费米能级和载流子的统计分布对上式积分，可算得热平衡状态下非简并半导体的导带电子浓度n0为积分上限Ec是导带顶能量。若引入变数x(E-EC)/(K0T),则上式变为（1）导带中的电子浓度（1）导带中的电子浓度式中x(EC-EC)/(K0T)。为求解上式，利用如下积分公式3.2 费米能级和载流子的统计分布（1）导带中的电子浓度电子浓度

11、n0导带的有效状态密度NcNcT3/2简化得3.2 费米能级和载流子的统计分布（2）价带中的空穴浓度热平衡状态下，非简并半导体的价带中空穴浓度p0为与计算导带中电子浓度类似，计算可得令则得 结论电子浓度空穴浓度导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度随着温度T和费米能级Ef的不同而变化，其中温度的影响来自NC、Nv和指数因子。费米能级也与温度及半导体中的杂质情况密切相关，在一定温度下，半导体中所含杂质的类型和数量不同，n0、p0也将随之变化。3.2 费米能级和载流子的统计分布四、载流子浓度的乘积1. 电子与空穴的浓度的乘积与费米能级无关2. 在一定温度下，不同半导体材料，禁带宽 度Eg不同，乘积n0

12、p0也不同。3. 对本征半导体和杂质半导体都成立4. T和Eg一定，处于热平衡态时， n0p0保 持恒定，n0减少， p0增加；反之n0增加， p0 减少3.2 费米能级和载流子的统计分布本节小结载流子的浓度平衡态非平衡态3.3 本征 半导体的载流子浓度1. 本征半导体的载流子浓度2. 本征半导体的费米能级本征载流子浓度： n0=p0=ni n0p0=ni2ni与禁带宽度和温度有关3.3 本征 半导体的载流子浓度本征半导体：没有掺杂的半导体本征载流子：本征半导体中的载流子载流子浓度 电 子 浓 度 n0, 空 穴 浓 度 p0一、本征载流子浓度3.3 本征 半导体的载流子浓度3.3 本征 半导

13、体的载流子浓度二、本征半导体的费米能级取对数后，解得将NC,NV表达式代入上式得3.3 本征 半导体的载流子浓度 对于Si、 Ge 、GaAs，有效质量之比分别为0.55, 0.56, 7.0,室温下k0T=0.026eV,所以本征半导体的费米能级基本上在禁带中线处。3.3 本征 半导体的载流子浓度在一定温度下，要使载流子主要来源于本征激发，杂质含量不能超过一定限度。如室温下，Ge低于10-9cm-3，Si低于10-12cm-3,GaAs低于10-15cm-3300K下锗、硅、砷化镓的本征载流子浓度各项参数Eg(eV)mn*(mdn)mp*(mdp)Nc(cm-3)Nv(cm-3)ni(cm-

14、3)(计算值）ni(cm-3)(测量值）Ge0.670.56m00.37m01.0510195.71018210132.41013Si1.121.08m00.59m02.810191.110197.81091.51010GaAs1.4280.068m00.47m04.510178.110182.31061.11073.3 本征 半导体的载流子浓度3.4 杂质半导体的载流子浓度一、杂质能级上的电子和空穴二、n型半导体的载流子浓度和费米能级三、p型半导体的载流子浓度和费米能级3.4 杂质半导体的载流子浓度在非本征情形: 热平衡时:N型半导体：n大于pP型半导体：p大于n多子：多数载流子n型半导体：

15、电子p型半导体：空穴少子：少数载流子n型半导体：空穴p型半导体：电子3.4 杂质半导体的载流子浓度3.4 杂质半导体的载流子浓度 实际应用的半导体掺杂的非本征半导体，由于杂质的存在载流子的来源为本征激发和杂质电离提供。 n0=施主杂质电离提供的电子价带跃迁到导带的电子 p0=受主杂质电离提供的空穴价带跃迁到导带的空穴 一、电子和空穴在杂质能级上占据的几率 决定电子在某一能级上的占有几率的费米分布是在各能级相互独立的情况下适用，电子某一能级的占据，不影响另一能级的占据，在价带和导带中是如此的 ，每个能级能容纳自旋相反的两个电子，但在施主和受主杂质能级上则不是如此的，相互影响着，一个施主能级要么被

16、自旋向上的电子占据，要么被自旋向下的电子占据，要么空的 ，可以证明：3.4 杂质半导体的载流子浓度空穴占据受主能级的概率是电子占据施主能级的概率是3.4 杂质半导体的载流子浓度（1）施主能级上的电子浓度nD为由于施主浓度ND和受主浓度NA就是杂质的量子态密度，而电子和空穴占据杂质能级的概率分别是fD(E)和fA(E)。所以可以写出如下公式：（2）受主能级上的空穴浓度pA为这也是没有电离的受主浓度。3.4 杂质半导体的载流子浓度（3）电离施主浓度nD 为（4）电离受主浓度pA为3.4 杂质半导体的载流子浓度 杂质能级和费米能级的相对位置明显反映了电子和空穴占据杂质能级的几率，EF远在Ep之下，施

17、主杂质全部电离， EF远在Ep之上，施主杂质几率全部没有电离。3.4 杂质半导体的载流子浓度二 n型半导体的载流子浓度 杂质半导体比本征半导体复杂得多，为简单起见，只考虑含一种旋主杂质的半导体，由于施主的存在，导带电子不仅来源于价带，而且来源于电离施主。3.4 杂质半导体的载流子浓度3.4 杂质半导体的载流子浓度（1）低温弱电离区当温度很低时，大部分施主杂质被电子占据，只有少数杂质电离，使少量电子进入导带，称作低温弱电离。此时本征激发忽略不计，所以n0=nD+费米能级位于导带底和施主能级间的中线处。（2） 中间电离区（95%电离）当温度升高，费米能级下降，当温度升高到EF=ED时，施主杂质有1

18、/3电离3.4 杂质半导体的载流子浓度（3）强电离区 当温度升高到大部分杂质都电离时称为强电离温度越高，费米能级越向本征费米能级Ei靠近，当施主杂质全部电离时，n0=ND. 此时载流子浓度与温度无关，载流子浓度保持等于杂质浓度的这一温度范围称为饱和区。3.4 杂质半导体的载流子浓度杂质电离与温度、杂质浓度和杂质电离能都有关系。所以，杂质达到全部电离的温度不仅决定于电离能，而且也和杂质浓度有关，杂质浓度越高，达到全部电离的温度越高。例如掺P的n型Si，ED=0.044eV,k0T=0.026eV,室温下P杂质全部电离的浓度上限是31017cm-3，室温下Si的本征载流子浓度为1.5 1010cm

19、-3，在室温下，P浓度在（1011- 31017cm-3范围内，可以认为Si是以杂质电离为主，而且处于杂质全部电离的饱和区。3.4 杂质半导体的载流子浓度3.4 杂质半导体的载流子浓度完全电离能带图（a) 施主能态 （b) 受主能态3.4 杂质半导体的载流子浓度n型半导体 补偿型半导体 费米能级3.4 杂质半导体的载流子浓度（4）过渡区n型半导体： 补偿型半导体： 联立解方程求n0，p0费米能级仍用前面的公式（5）高温本征激发区n0= p0=ni EF=Ei费米能级仍用前面的公式得到EF=Ei3.4 杂质半导体的载流子浓度总结：掺杂半导体的载流子浓度和费米能级 由温度和杂质浓度决定3.4 杂质

20、半导体的载流子浓度掺杂半导体内，温度与多数载流子浓度的关系3.4 杂质半导体的载流子浓度各种掺杂浓度下费米能级的位置随温度变化的关系 温度300K时，n型和p型半导体的 费米能级位置与掺杂浓度的关系3.4 杂质半导体的载流子浓度三、p型半导体的载流子浓度和费米能级3.4 杂质半导体的载流子浓度（1）低温弱电离区当温度很低时，大部分受主杂质被电子占据，只有少数杂质电离，使少量空穴进入价带，称作低温弱电离。此时本征激发忽略不计，所以p0=nA-费米能级位于导带底和施主能级间的中线处。3.4 杂质半导体的载流子浓度（2） 中间电离区当温度升高，费米能级上升，但温度升高到EF=EA时，受主杂质有1/3

21、电离3.4 杂质半导体的载流子浓度（3）强电离区 当温度升高到大部分杂质都电离时称为强电离温度越高，费米能级越向本征费米能级Ei靠近，当施主杂质全部电离时， p0=NA. 此时载流子浓度与温度无关，载流子浓度保持等于杂质浓度的这一温度范围称为饱和区。3.4 杂质半导体的载流子浓度杂质电离与温度、杂质浓度和杂质电离能都有关系。所以，杂质达到全部电离的温度不仅决定于电离能，而且也和杂质浓度有关，杂质浓度越高，达到全部电离的温度越高。3.4 杂质半导体的载流子浓度3.4 杂质半导体的载流子浓度p型半导体补偿型半导体 费米能级强电离区（饱和区）3.4 杂质半导体的载流子浓度（4）过渡区p型半导体： 补

22、偿型半导体： 联立解方程求n0，p0费米能级仍用前面的公式 （5）高温本征激发区n0= p0=ni EF=Ei3.4 杂质半导体的载流子浓度3.4 杂质半导体的载流子浓度例题5求在下列条件下，均匀掺杂硅样品中平衡状态的空穴和电子浓度及EF-Ei,并在硅样品的能带图中仔细标出他们的位置（a）T=300K, NA ND, ND=1015/cm3（b）T=300K, ,NA=1016/cm3, NDNA（c）T=300K, NA=91015/cm3, ND=1016/cm3（d）T=450K, NA=0, ND=1014/cm3,（e）T=650K, NA=0, ND=1014/cm3 其中300K Eg=1.12eV, 450K: Eg=1.08eV, 650K:Eg=1.015eV3.4 杂质半导体的载流子浓度(a)(b)(c)3.4 杂质半导体的载流子浓度(d)(e)3.4 杂质半导体的载流子浓度 温度K0T相对于中线下移的值3.4 杂质半导体的载流子浓度3.4 杂质半导体的载流子浓度3.4 杂质半导体的载流子浓度简并化条件当EF接近但还未超过导带低EC时，已经有一些简并化效果。在EF比EC低2k0T时，即ECEFk0T时，n0的值已经开始略有差别了。所以可以把EF与EC的相对位置作为区分简并化的标准。即ECE