一轮复习正弦定理和余弦定理PPT课件(PPT 59页)

1、第七节 正弦定理和余弦定理第1页，共59页。第2页，共59页。正弦定理与余弦定理定理正弦定理余弦定理内容 =2R (R是ABC外接圆的半径)在ABC中，有a2= _;b2= _；c2= _b2+c2-2bccos Ac2+a2-2cacos Ba2+b2-2abcos C第3页，共59页。定理正弦定理余弦定理变形公式a=_,b=_, c= _；sin Asin Bsin C =_；sin A= sin B=_, sin C=_；cos A= ; cos B= ;cos C=2Rsin A2Rsin B2Rsin Cabc第4页，共59页。定理正弦定理余弦定理解决的问题已知两角和任一边，求其他边

2、和角已知两边和其中一边的对角，求其他边和角已知三边,求各角已知两边和它们的夹角,求第三边和其他角第5页，共59页。判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)在ABC中，AB必有sin Asin B.( )(2)正弦定理对钝角三角形不成立.( )(3)在ABC中共有三个角、三个边六个量，可以已知三个量求另外三个量.( )(4)余弦定理对任何三角形均成立.( )(5)正弦定理可以实现边角互化，但余弦定理不可以.( )第6页，共59页。【解析】(1)正确.AB,ab,由正弦定理可得又sin B0,sin Asin B.(2)错误.正弦定理对任意三角形均成立.(3)错误.当已知三个角时不能

3、求三边.(4)正确.由余弦定理推导过程可知对任意三角形均适用.(5)错误.余弦定理可以实现角化边，也能实现边化角.答案：(1) (2) (3) (4) (5) 第7页，共59页。1.在ABC中，a=3,A=30,B=60，则b等于( )(A) (B) (C) (D)【解析】选A.由正弦定理得第8页，共59页。2.在ABC中，a=4, C=30，则边c等于( )(A) (B)2 (C) (D)3【解析】选B.由余弦定理得c=2.第9页，共59页。3.ABC满足acos B=bcos A，则ABC的形状为( )(A)直角三角形 (B)等边三角形(C)等腰三角形 (D)等腰直角三角形【解析】选C.由

4、acos B=bcos A及正弦定理得，sin Acos B=sin Bcos A，即sin Acos B-cos Asin B=0,故sin(A-B)=0.A,B为ABC的内角，A-B=0，A=B,所以ABC是等腰三角形.第10页，共59页。4.在ABC中，B30，C120，则abc_.【解析】A1803012030，由正弦定理得，abcsin Asin Bsin C答案：第11页，共59页。5.在ABC中，已知a2b2bcc2，则角A等于_.【解析】由已知得b2c2a2bc，又0A，答案：第12页，共59页。考向 1 正弦定理的应用 【典例1】(1)(2013唐山模拟)在ABC中, a=1

5、,b=则B=( )(A) (B)(C) (D)第13页，共59页。(2)(2013岳阳模拟)如图,在ABC中，点D在BC边上，求sinABD的值;求BD的长.第14页，共59页。【思路点拨】(1)利用正弦定理求解即可.(2)利用ABD=ADC-BAD及两角差的正弦公式求解；利用正弦定理求解.第15页，共59页。【规范解答】(1)选C.由正弦定理可得,又 或第16页，共59页。(2)因为所以sinADC因为所以第17页，共59页。因为ABD=ADC-BAD,所以sinABD=sin(ADC-BAD)=sinADCcosBAD-cosADCsinBAD=在ABD中，由正弦定理，得所以第18页，共5

6、9页。【规律方法】1.三角形解的情况已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已知a,b,A,则有两解、一解、无解三种情况.第19页，共59页。第20页，共59页。2.解三角形中的常用公式和结论(1)A+B+C=.(2)0A，B，C，sin(A+B)=sin C，cos(A+B)=-cos C，tan(A+B)=-tan C.第21页，共59页。(3)三角形中等边对等角,大边对大角,反之亦然;三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.第22页，共59页。【变式训练】在ABC中， 求角A，C和边c.【解析】由正弦定理得,ab,A=60或A=120.当A=60时，C=18

7、0-45-60=75,当A=120时，C=180-45-120=15,第23页，共59页。考向 2 余弦定理的应用 【典例2】(1)(2013台州模拟)在ABC中，(2a-c)cos B=bcos C,则角B等于( )(A) (B) (C) (D)(2)(2013济南模拟)已知ABC中，sin Asin Bsin C=324，则cos C等于( )(A) (B) (C) (D)第24页，共59页。(3)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足 则边a=( )(A) (B) (C) (D)4【思路点拨】(1)利用余弦定理代入整理转化可求.(2)利用已知条件及正弦定理得a,b,c的

8、关系，再利用余弦定理可求.(3)利用已知可得cos A及b，c的值，从而利用余弦定理可求a.第25页，共59页。【规范解答】(1)选C.由(2a-c)cos B=bcos C得得a2+c2-b2=ac,又0B,第26页，共59页。(2)选B.由sin Asin Bsin C=324,及 得abc=324.故设a=3k,则b=2k,c=4k,故第27页，共59页。(3)选C.因为 所以由得bccos A=3，所以bc=5.由bc=5，且b+c=6，解得由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=20,故第28页，共59页。【互动探究】若将本例题(3)中的“ b+c=6”改为“ ”，如何求a?

9、【解析】由 得 故又由 得故 即第29页，共59页。【规律方法】正、余弦定理的相互转化正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化.如a2=b2+c2-2bccos A可以转化为sin2A=sin2B+ sin2C-2sin Bsin Ccos A，利用这些变形可进行等式的化简与证明.第30页，共59页。【加固训练】在ABC中，a,b，c分别是角A，B，C的对边，且(1)求角B的大小.(2)若 a+c=4，求a,c的值.【解析】(1)由余弦定理知：将上式代入 得：第31页，共59页。整理得：a2+c2-b2=-ac.B为三角形的内角,(2)将 代入b2=a2+c2-2acc

10、os B,得b2=(a+c)2-2ac-2accos B,ac=3.第32页，共59页。由故a=1,c=3或a=3,c=1. 第33页，共59页。考向 3 利用正、余弦定理判断三角形的形状 【典例3】(1)(2013哈尔滨模拟)在ABC中，若a=2bcos C，则ABC是( )(A)锐角三角形 (B)等腰三角形(C)钝角三角形 (D)直角三角形(2)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.求A的大小；若sin B+sin C=1，试判断ABC的形状.第34页，共59页。【思路点拨】(1)利用正弦定理边化角，再将sin

11、A转化为sin(B+C)展开整理可解.(2)利用正弦定理角化边转化，再结合余弦定理可解；利用C=-(A+B)转化为关于角B的关系式求解角B可判断.第35页，共59页。【规范解答】(1)选B.由a=2bcos C可得sin A=2sin Bcos C.又sin A=sin(B+C),故sin(B+C)=2sin Bcos C,即sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C,得sin Bcos C-cos Bsin C=0,即sin(B-C)=0.又B，C为ABC的内角,故B-C=0，即B=C，故ABC为等腰三角形.第36页，共59页。(2)由已知，根据正弦定理得2a2=(2

12、b+c)b+(2c+b)c，即a2=b2+c2+bc，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，故 A=120.由得sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C.又sin B+sin C=1，得因为0B90,0C90,故B=C=30,所以ABC是等腰的钝角三角形.第37页，共59页。【互动探究】若将本例题(1)中条件改为“sin B=cos Asin C”，则ABC的形状如何？【解析】由sin B=cos Asin C 得sin(A+C)=cos Asin C,即sin Acos C+cos Asin C=cos Asin C,故sin Acos C=0.又0A,故sin A

13、0,所以cos C=0,故因而ABC是直角三角形.第38页，共59页。【规律方法】1.三角形形状的判断思路(1)边与边的关系主要看是否有等边，是否符合勾股定理等.(2)角与角的关系主要是看是否有等角，有无直角或钝角等.2.判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边,通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断.第39页，共59页。【提醒】在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件.另外,在变形过程中要注意角A，B，C 的范围对三角函数值的影响.第40页，共59页。【加

14、固训练】(1)在ABC中，则ABC的形状为( )(A)直角三角形 (B)等腰三角形(C)等边三角形 (D)等腰直角三角形(2)ABC中，已知a-b=ccos Bccos A，则ABC的形状为( )(A)等腰三角形 (B)直角三角形(C)等腰直角三角形 (D)等腰或直角三角形第41页，共59页。(3)ABC中，若b=asin C,c=acos B,则ABC的形状为( )(A)等腰三角形 (B)直角三角形(C)等腰直角三角形 (D)等腰或直角三角形【解析】(1)选B.方法一：asin Absin B.由正弦定理可得：a2=b2，ab，ABC为等腰三角形.第42页，共59页。方法二：asin Abs

15、in B.由正弦定理可得：2Rsin2A2Rsin2B，即sin Asin B，AB.(AB不合题意舍去)故ABC为等腰三角形.(2)选D.由已知结合余弦定理可得 整理得(a-b)(a2+b2-c2)=0, a=b或a2+b2=c2, ABC为等腰或直角三角形.第43页，共59页。(3)选C.由b=asin C可知 由c=acos B可知 整理得b2+c2=a2，即三角形一定是直角三角形，A=90,sin C=sin B，B=C，ABC为等腰直角三角形.第44页，共59页。【规范解答4】正、余弦定理在三角形中的应用 【典例】(14分)(2013江西高考)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a

16、,b,c,已知cosC+(cosA- sinA)cosB=0.(1)求角B的大小.(2)若a+c=1,求b的取值范围.第45页，共59页。【审题分析信息,形成思路】信息提取思路分析(1)cosC+(cosA- sinA)cosB=0,求角B的大小利用三角形内角和为三角恒等变换角B(2)a+c=1,求b的取值范围角B由余弦定理可得b2关于a的函数a+c=1求a的范围求b的取值范围第46页，共59页。【解题规范步骤，水到渠成】(1)在ABC中，因为ABC，所以-cos(A+B)+cos Acos B- sin Acos B=0，2分即sin Asin B- sin Acos B=0,因为sin A

17、0，所以sin B- cos B=0, 4分cos B0，所以tan B= ,又0B，所以B . 6分1.能力要求：基础.2.建议用时：1分钟1.能力要求：中等.2.建议用时：5分钟第47页，共59页。(2)由余弦定理，有b2=a2+c2-2accos B，因为a+c=1,cos B= ，所以c=1-a，代入上式整理得b2=3(a- )2+ ，10分又因为c=1-a，由0c1得0a0,故cosB= ,所以B=45.第51页，共59页。1.(2013陕西高考)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则ABC的形状为()(A)直角三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)不确定【解析】选A.因为bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,所以sin(B+C)=sin2A,sinA=sin2A,sinA=1,所以三角形ABC是直角三角形.第52页，共59页。2.(2013天津高考)在ABC中, ABC= ,AB= ,BC=3,则sinBAC=( )【解析】选C.在ABC中，由余弦定理得，AC2=AB2+BC2-2ABBCcos =2+9-2 3 =5,所以AC= 由正弦定理得 所以sinBAC=第53页，共59页。3.(2013安徽高考)设ABC的内角A,B,C所对边