安徽省2021-2022学年教学质量检测数学试卷以及解析

1、安徽省 2021-2022 学年教学质量检测数学试题一、选择题1.已知a是公比不为 1 的等比数列，S为a的前 n 项和，若a， a ， a成等差数列，则nnn（ ）398A. S ， S ， S 成等比数列287C. S ， S ， S 成等差数列2872.S ， S ， S 成等比数列278D. S ， S ， S 成等差数列278已知随机变量 X 服从正态分布 N（a，4），且 P（X1）0.5，P（X2）=0.3，则 P（X0）等于（）A0.23.B0.3C0.7D0.8在复平面内，复数 z 满足z ii 2 ，则 z （ ）A. iB.iC.1D.14.二项式2 14的化简结果为（

2、）A.16 8 5.2B.17 82C.16 122D.17 122为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为 100 的调查样本，其中城镇户籍与农民户籍各 50 人；男性 60 人，女性 40 人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾 向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是（）A是否倾向选择生育二胎与户籍有关B是否倾向选择生育二胎与性别无关C倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同 D倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数6.y2已知 P 为椭圆x2 1上一点，若 P 到

3、一个焦点的距离为 1，则 P 到另一个焦点的距离为 （ ）A. 3 7.94B. 5C. 8D. 12设集合 Ax|ylog2（2x），Bx|x23x+20，则 AB（）A（，1） 8.B（，1C（2，+）D2，+）直线 y 2x 与抛物线W ： y2 2 px 交于 A、B 两点，若 AB 5 ，则 A、B 两点到抛物线W 的准线的距离之和为（ ）A.1B.2C.3D.49.ax b函数 f（x）x c2的图象如图所示，则下列结论成立的是（）Aa0，b0，c0 Ca0，b0，c0 10.Ba0，b0，c0 Da0，b0，c0已知实数 a，b，c 成等差数列，则点 P（2， 1）到直线 ax+

4、by+c0 的最大距离是（）A 2 211.C 2D2已知一组数据 1，2，a，b，5，8 的平均数和中位数均为 4，其中 a，bN *，在去掉其中的一个最大数后，该组数据的（）平均数不变12.中位数不变C众数不变D标准差不变已知集合 A x x x 1 2， B x x 1 1，则 AB=（ ）A. 1,0 B. 2,0 C. 0,1D. 0,2二、填空题13.直线l ： mx y 1 0 截圆 x2 y2 4x 6 y 4 0 的弦为 MN，则| MN |的最小值为 ，此时 m 的值为. 14.f x x2 1,x 1f f 1 4a 已知函数15.2xax, x 1，若，则实数 a 等于

5、已知平面向量a ， b ， c 满足 a b 1， c a b a b ，则a c 的取值范围为 .16.，则已知a, b , c 是同一平面内的三个向量，其中a, b 是互相垂直的单位向量，且a c 3b c 1c的最大值为.17.过抛物线 y2 4x 焦点 F 的直线交抛物线于点 A、B，交准线于点 P，交 y 轴于点 Q，若PQ FB ，则弦长AB .三、解答题18.在ABC 中，三内角 A、B、C 对应的边分别为 a、b、c，若 B 为锐角，且sin A 2sin B 3 cos A .求 C；已知a 2， AB BC 8 ，求ABC 的面积. 19.已知a为等差数列，b为等比数列且公

6、比大于 0， a 1， b 2 ，n2a 5a35 a ， 2b43n11 b b .54求an和bn的通项公式；n1 4n1 设c 1 n N *，记数列c 的前 n 项和为 S ，求 S .n20.a abnn1nnnn在ABC 中，角 A，B，C 对边分别为 a、b、c 若2c cos A a cos B b cos A .求角 A；若2a b c ，且ABC 的外接圆半径为 1，求ABC 的面积. 21.如图，在三棱柱 ABCA B C中， ACB C CB 90 ， A AC 60 ，D、E 分别为1 1111A A 和 B C的中点，且 AA AC BC .1111求证： A E

7、/ 平面 BC D ；11求平面 BC D 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值.122.网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了 100 名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图这 100 名市民中，年龄不超过 40 岁的有 65 人，将所抽样本中周平均网购次数不小于 4 次的市民称为网购迷，且已知其中有5 名市民的年龄超过 40 岁根据已知条件完成下面的 22 列联表，能否在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为网购迷与年龄不超过 40 岁有关？网购迷非网购迷合计年龄不超过 40 岁年龄超过 40 岁合计若从网购迷中任意选取 2 名，求其中年龄

8、超过 40 岁的市民人数 的分布列n ad bc2（附： k 2 a bc d a cb d ）；P（K2k ）00.150.100.050.01k02.0722.7063.8416.635安徽省 2021-2022 学年教学质量检测数学试卷答案1.C2.B解：随机变量 服从正态分布 N（a，4），曲线关于 xa 对称，且 P（Xa）0.8， 由 P（X1）0.6， 可 知 a1 P（X2）P（X5）0.3故选：B3. Az 2 i 2i i i ，选A.ii24. D 2 14 2 12 2 3 22 2 17 122 ，选D.5.C解：由不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数

9、比例图，知： 在 A 中，城镇户籍倾向选择生育二胎的比例为40%，是否倾向选择生育二胎与户籍有关，故A 正确； 在 B 中，男性倾向选择生育二胎的比例为60%，是否倾向选择生育二胎与性别无关，故B 正确； 在 C 中，男性倾向选择生育二胎的比例为60%，女性倾向选择生育二胎的比例为 60%，人数为 4060%24 人，倾向选择生育二胎的人员中，男性人数比女性人数多； 在 D 中，倾向选择不生育二胎的人员中，城镇户籍人数为 50（140%）30 人，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 故选：C6.B7.B解：Ax|ylog2（2x）x|x5，Bx|x23x+60 x|1x2

10、， 则 ABx|x1，故选：B8. C由题， y 2x 与抛物线交于0,0 ， 1,2 两点，即抛物线方程为 y2 4x ， 故距离之和为1 11 3 ，选C.9.C10.C解：由 a，b，c 成等差数列，得 a+c2b，所以 c2ba； 则点 P（2，1）到直线 ax+by+c0 的距离是d， 由（a+b）22（a2+b2），即 a2+b2（a+b）2，所以|a+b|当且仅当 ab 时取等号，所以 d，即点 P（2，1）到直线 ax+by+c0 的最大距离是 故选：C11.C解：根据数据 1，2，a，b，5，8 的平均数为 4，得（1+2+a+b+5+8）64，解得 a+b8；由中位数是 4

11、，所以 ab4 或 a3，b5；去掉一个最大数 8 后，该组数据的平均数和标准差都变小，中位数可能是4，也可能是 3， 当 ab4 时，众数与原来相同，都是 4；当 a3，b5 时，众数与原来也相同，都是 5 故选：C12.B【分析】计算 A 2,1， B ,0 2,，再计算交集得到答案.【详解】 A x x x 1 2 2,1， B x x 1 1 ,0 2, ，所以 AB 2,0 .故选：B.【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力. 13.2；114.2【分析】根据分段函数的解析式，代入，计算可得答案.【详解】因为 f 1 2 ，所以 f故答案为：2. 15.2, 5 f 1

12、f 2 4 2a ，由4 2a 4a, a 2 2 16.2 1【分析】根 据 平 面 向 量 运 算 律 和 垂 直 关 系 的 向 量 表 示 可 将 已 知 等 式 化 为2 c cos a 3b, c c 2 1 ， 根 据 向 量 夹 角 所 处 范 围 可 构 造 不 等 式 得 到c 2 2 c 1 c 2 2 c ，解不等式可求得结果.【详解】a b ，a b 0 ， a 3b a 3b 2 1 3 2 ，由得：a c 3b c 1a 3b a 3b c c 2 a 3b c cos a 3b, c c2 2 c cos a 3b, c c 2 1 ，cos a 3b, c 1

13、,1，则c 2 2 c 2 c cos a 3b, c c 2 c 2 2 c ，即 c 2 2 c 1 c 2 2 c ，解得： 2 1 c 2 1 ， c 的最大值为1.2【点睛】本题考查根据平面向量数量积的运算求解模长的最值的问题，涉及到垂直关系的向量表示；关键是能够利用数量积的运算律将已知等式化为关于所求向量模长的形式，利用向量夹角余弦值的范围构造不等关系.17.92【分析】设点 B 、 F 在准线上的射影分别是点 G 、 K ，计算得到2, 22 12PFPBKFGB3 ，得到 B 的坐标为， A 的横坐标为2，计算得到答案.【详解】设点 B 、 F 在准线上的射影分别是点G 、 K

14、 ，根据抛物线的定义可知原点O 是线段 KF 的中点，所以Q 是线段 PF 的中点，KFGBPFPB22PQ QF ，PFPB又 PQ FB ，可得 3 ，所以 3 .因为 KF 2 ，所以 GB 3 ，所以可得点 B 的坐标为 2, 22 （点 B 只能在第一象限），所以直线 AB 的方程为 y 22 x 1，代入 y2 4x ，可求得点 A 的横坐标为1，21339所以 AF 1 ， AB AF BF 3 .22229故答案为： 2 .【点睛】本题考查了抛物线的弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力. 18.（1） C 23；（2） 23【分析】计算得到sin B sin A

15、 ，故 B A ，或 B A ，计算得到答案. 33 3根据题意得到c cos B 4 ，根据正弦定理得到c sin B 23 ，得到面积.c cos B c sin B 3 ，得到312231【详解】（1）由sin A 2sin B 3 cos A ，得sin B cos A sin A ，故22sin B sin A .3所以 B A ，或 B A 即 B 2A .3 33因为 B 为锐角，所以 B A ，即 B A 3 ，故C 2 .33（2）由 AB BC 8 ，得ca cos B 8 ，故ca cos B 8.因为a 2，所以c cos B 4 .a根据正弦定理，c，及 A B ，

16、C 2 ， a 2 ，sin Asin C3333332c 1得sin B ，所以c sin 3 B ，故c cos B c sin B .323322代入，得21 c sin B 3332，所以c sin B 2.11所以 ABC的面积等于ac sin B 2 2 22 2.【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19.2n11 1 n 2n 2 , n 2kk N （1） a 2n 1， b 2n ；（2） S 133 .nnn 2n 2 1 1 1 n2n 12, n 2k 1k N 33 【分析】直角利用已知条件建立等量关系，求出等差数

17、列的公差d ，等比数列的公比q，进而求出通项公式.利用分组求和法和裂项相消法求数列的和.【详解】（1）设等差数列an的公差为d ，等比数列bn的公比为q.由 a 1， 2a13 5a5a ，可得2 a41 2d 5d ，解得d 2 ，所以数列an的通项公式为an 2n 1.由b 2 ， 2b13 b b54，可得q2 q 2 0 ，又q 0 ，解得q2 ，所以数列b 的通项公式为b 2n .nn（2）由（1）可得4n1 4n1 c 1n1 1n1 n aab 2n 1 2n 12n nn1n 1n1 111 n 2n 12n 1 2 111 n记数列1n1 的前n 项和为T，数列 的前n 项和

18、为 P则 S T Pnnn 2n 12n 1 n2 n当 n 2k k N 时T 1 1 1 1 1 1 11 11 112nn3 35 57 2n 32n 1 2n 12n 1 2n 12n 1当 n 2k 1k N 时，T 1 1 1 1 1 1 11 11 112n 2n3 35 57 2n 32n 1 2n 12n 1 2n 12n 1 1 1 1 n11 11 21 n2 2 11 1 n又 P n2 2 2 1 1 33 2 2 2n11 1 n所以 S 2n , n 2kk N 133 2 n 2n 211 1 n 2n , n 2k 1 k N 133 2 20.（1） A 3

19、（2）334【分析】根据正弦定理边化角以及正弦的和角公式化简2c cos A a cos B b cos A 求解即可.根据正弦定理与 ABC的外接圆半径为 1,结合(1)中 A 3可得a 3 ,再根据余弦定理结合2a b c 可得bc 3 ,再根据面积公式求解即可.【详解】解： 1 因2c cos A a cos B b cos A .由正弦定理得2sin C cos A sin Acos B sin B cos A ,从而可得2sin C cos A sin C ,又 C 为三角形的内角,所以sin C 0 ,于是cos A 1 ,2又 A 为三角形内角,因此 A .3（2）设的外接圆半径

20、为 R,则 R 1 , a 2R sin A 3 ,由余弦定理得a2 b2 c2 2b cos3 (b c)2 3bc ,即3 12 3bc ,133所以bc 3 .所以 ABC的面积为： S bc sin A .24【点睛】本题主要考查了正余弦定理以及面积公式在解三角形中的运用,属于中档题. 21.10（1）证明见解析；（2）.4【分析】11先根据 EF /BB 且 EF BB ， A D/BB 且 A D BB可知四边形 A DFE 为平121111211行四边形，由此 A E /DF ，进而得证；1先证明 AO 平面 ABC ，由此可以O 为坐标原点，射线OA、OA11分别为 x 轴、

21、z轴的正半轴，以平行于BC 的直线为 y 轴，建立空间直角坐标系，求出平面BC D 与平面1ABC 的法向量，再利用向量的夹角公式得解.【详解】（1）如图1 ，取线段 BC1的中点 F ，连接 EF 、 DF ，E 为 B C 的中点， EF /BB 且 EF 1 BB ，111211又 D 为 AA的中点， A D/BB且 A D BB ， EF /A D 且 EF A D ，11112111 四边形 A DFE 为平行四边形， A E /DF ，11又 DF 平面 BC D ， A E 平面 BC D ， A E / 平面 BC D ；11111（2）作 AO AC 于点O ，由A AC 60 ，得AAO 30 ，1 AO 12AA 11112 AC ，即O 为 AC 的中点，ACB C CB 90 ， BC AC ， BC CC ，11又 ACCC C ， BC 平面 A ACC ， AO 平面 A ACC ，从而有 BC AO ，1111111又 AO AC ， ACBC C ， AO 平面 ABC ，11故可以点O 为坐标原点，射线OA、OA 1分别为 x 轴、