4.2三角函数的图象与性质

1、4.2 三角函数的图象与性质考纲解读分析解读三角函数的图象和性质一直是高的热点,往往结合三角公式进行化简和变形来函数的单调性、奇偶性、对称性及最值问题,且常以解答题的形式考查,其考查内容及形式仍是近几年高考对该部分内容考查的重点.分值为 1012 分,属于中低档题.五年高考考点一三角函数的图象及其变换1.(2017 课标,9,5 分)已知曲线C1:y=cosx,C2:y=sin,则下面结论正确的是()把C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个把C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个长度,得到曲线 C2长度,得到曲线

2、C2C.把C1 上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个D.把C1 上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个长度,得到曲线 C2长度,得到曲线 C2D2.(2016,7,5 分)将函数y=sin 图象上的点P 向左平移s(s0)个长度得到点P.若P位于函数y=sin2x的图象上,则()A.t=,s 的最小值为C.t=,s 的最小值为B.t=,s 的最小值为D.t=,s 的最小值为A3.(2015 湖南,9,5 分)将函数 f(x)=sin2x 的图象向右平移 个后得到函数 g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2 的x1,x2,有|

3、x1-x2|min=,则 =(A. B. C. D.)考点内容解读要求高考示例常考题型热度1.三角函数的图象及其变换能画出 y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;了解函数 y=Asin(x+)的物理意义;能画出 y=Asin(x+)的图象,了解参数A, 对函数图象变化的影响掌握2017 课标,9;2016,7;2016 课标,14;2015 湖南,9选择题填空题解答题2.三角函数的性质及其应用理解正弦函数、余弦函数的性质(如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴交点等).理解正切函数的单调性理解2017 课标,6;2016 课标,7;2015 课标,8选择题填空

4、题解答题D4.(2016 课标长度得到.,14,5 分)函数y=sinx-cosx 的图象可由函数y=sinx+cosx 的图象至少向右平移个5.(2017 山东,16,12 分)设函数 f(x)=sin+sin,其中 03.已知 f=0.求 ;将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)在上的最小值.,得本题考查了 y=Asin(x+)的图象和性质.因为 f(x)=sin+sin,所以 f(x)=sinx-cosx-cosx=sinx-cosx=sin.由题设知 f=0,所以-=k,kZ.故 =6k+

5、2,kZ,又 00)个长度后,所得到的图象关于 y轴对称,则m 的最小值是(A. B. C. D.)B12.(2013 山东,5,5 分)将函数y=sin(2x+)的图象沿x 轴向左平移个后,得到一个偶函数的图象,则 的一个可能取值为(A. B. C.0 D.-)B13.(2013,5,5 分)函数 f(x)=2sin(x+)的部分图象,则 , 的值分别是()A.2,-B.2,-C.4,-D.4,A14.(2016 江苏,9,5 分)定义在区间0,3上的函数y=sin2x 的图象与y=cosx 的图象的交点个数是.7,17,11 分)某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin(x+)在某一个

6、周期内的图象时,列表并填入15.(2015了部分数据,如下表:请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f(x)的将 y=f(x)图象上所有点向左平行移动 (0)个中心为,求 的最小值.式;长度,得到 y=g(x)的图象.若 y=g(x)图象的一个对称x+02xAsin(x+)05-50(1)根据表中已知数据,解得 A=5,=2,=-.数据补全如下表:且函数表达式为 f(x)=5sin.(2)由(1)知 f(x)=5sin,得 g(x)=5sin.因为 y=sinx 的对称中心为(k,0),kZ.令 2x+2-=k,解得 x=+-,kZ.由于函数 y=g(x)的图象关于点成中心对称,令+-=,解得

7、 =-,kZ.由 0 可知,当 k=1 时, 取得最小值.考点二三角函数的性质及其应用1.(2017 课标,6,5 分)设函数 f(x)=cos,则下列结论错误的是()A.f(x)的一个周期为-2B.y=f(x)的图象关于直线 x=对称 C.f(x+)的一个零点为 x= D.f(x)在单调递减D2.(2016 课标,7,5 分)若将函数 y=2sin2x 的图象向左平移个长度,则平移后图象的对称轴为()A.x=-(kZ) B.x=+(kZ)C.x=-(kZ) D.x=+(kZ)B3.(2016 浙江,5,5 分)设函数 f(x)=sin2x+bsinx+c,则 f(x)的最小正周期()A.与b

8、 有关,且与 c 有关C.与b 无关,且与 c 无关B.与b 有关,但与 c 无关D.与b 无关,但与 c 有关B4.(2015 课标,8,5 分)函数 f(x)=cos(x+)的部分图象,则 f(x)的单调递减区间为()A.,kZ B.,kZC.,kZ D.,kZx+02xAsin(x+)050-50D5.(2014,14,5 分)设函数 f(x)=Asin(x+)(A, 是常数,A0,0).若 f(x)在区间上具有单调性,且 f=f=-f,则 f(x)的最小正周期为.6.(2017 浙江,18,14 分)已知函数 f(x)=sin2x-cos2x-2sinxcosx(xR).求 f 的值;

9、求 f(x)的最小正周期及单调递增区间.本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识,同时考查运算求解能力.由 sin=,cos=-,f=-2,得 f=2.由 cos2x=cos2x-sin2x 与 sin2x=2sinxcosx 得f(x)=-cos2x-sin2x=-2sin.所以 f(x)的最小正周期是 .由正弦函数的性质得+2k2x+2k,kZ,解得+kx+k,kZ.所以,f(x)的单调递增区间是(kZ).教师(716)7.(2016 山东,7,5 分)函数 f(x)=(sinx+cosx)(cosx-sinx)的最小正周期是()A. B.C. D.2B8.(2014 陕西,2,5 分

10、)函数 f(x)=cos 的最小正周期是()A. B.C.2D.4B,3,5 分)“=”是“曲线 y=sin(2x+)过坐标原点”的(9.(2013)A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件A10.(2013 浙江,4,5 分)已知函数 f(x)=Acos(x+)(A0,0,R),则“f(x)是奇函数”是“=”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件B11.(2015 浙江,11,6 分)函数 f(x)=sin2x+sinxcosx+1 的最小正周期是,单调递减区间是 .;(kZ)12.(2014,1,4 分)函

11、数 y=1-2cos2(2x)的最小正周期是.13.(2016,15,13 分)已知函数 f(x)=4tanxsincos-.求 f(x)的定义域与最小正周期;f(x)在区间上的单调性.(1)f(x)的定义域为.f(x)=4tanxcosxcos-=4sinxcos-=4sinx-=2sinxcosx+2sin2x-=sin2x+(1-cos2x)-=sin2x-cos2x=2sin.所以,f(x)的最小正周期 T=.(2)令 z=2x-,函数 y=2sinz 的单调递增区间是,kZ.由-+2k2x-+2k,得-+kx+k,kZ.设 A=,B=,AB=.所以,当 x时,f(x)在区间上单调递增

12、,在区间上单调递减.14.(2015 重庆,18,12 分)已知函数 f(x)=sinsinx-cos2x.(1)求 f(x)的最小正周期和最大值;(2)f(x)在上的单调性.(1)f(x)=sinsinx-cos2x=cosxsinx-(1+cos2x)=sin2x-cos2x-=sin-,因此 f(x)的最小正周期为 ,最大值为.(2)当 x时,02x-,从而当 02x-,即x时,f(x)单调递增,当2x-,即x时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在上单调递增;在上单调递减.15.(2015 山东,16,12 分)设 f(x)=sinxcosx-cos2.求 f(x)的单调区间;在锐角

13、ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 f=0,a=1,求ABC 面积的最大值.(1)由题意知 f(x)=-=-=sin2x-.由-+2k2x+2k,kZ,由+2k2x+2k,kZ,-+kx+k,kZ;+kx+k,kZ.所以 f(x)的单调递增区间是(kZ);单调递减区间是(kZ). (2)由 f=sinA-=0,得 sinA=,由题意知 A 为锐角,所以 cosA=.由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,1+bc=b2+c22bc,即 bc2+,且当 b=c 时等号成立.因此 bcsinA.所以ABC 面积的最大值为.16.(2013,16,12 分)已知函数 f(

14、x)=4cosxsin(0)的最小正周期为 .(1)求 的值;(2)f(x)在区间上的单调性.(1)f(x)=4cosxsin=2sinxcosx+2cos2x=(sin2x+cos2x)+=2sin+.因为 f(x)的最小正周期为 ,且 0,从而有=,故 =1.(2)由(1)知,f(x)=2sin+.若 0 x,则2x+.当2x+,即 0 x时,f(x)单调递增;当2x+,即x时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.三年模拟A 组20162018 年模拟基础题组考点一1.(2018三角函数的图象及其变换德阳三校联考,5)将函数f(x)=sin2x 图象上的

15、点保持纵坐标不变,将横坐标缩短为原来的,再将图象向右平移个长度后得到 g(x)的图象,则 g(x)的式为()A.g(x)=sin B.g(x)=sinC.g(x)=sin D.g(x)=sinC百校联考,6)已知将函数 f(x)=tan(20,0,|0)的图象向右平移个得到函数y=g(x)的图象,并且函数g(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则实数 的值为(A. B. C.2 D.)C5.(2016 福建龙岩一模,11)已知函数f(x)=Asin(A0,0)的部分图象,EFG 是边长为2 的等边三角形,为了得到g(x)=Asinx 的图象,只需将 f(x)的图象()A.向左平移个C.向左

16、平移个长度长度B.向右平移个D.向右平移个长度长度A二、解答题(共 20 分)6.(2018 江苏常州武进期中,15)如图为函数y=f(x)=Asin(x+)(A0,0,|)图象的一部分,其中点P是图象上的一个最高点,点 Q 是与点P 相邻的与x 轴的一个交点.(1)求函数 f(x)的式;(2)若将函数 f(x)的图象沿 x 轴向右平移个,再把所得图象上每一点的横坐标都缩短为原来的(纵坐标不变),得到函数 y=g(x)的图象,求函数 y=g(x)的单调递增区间.(1)由题图可知 A=2,T=4=4,=,故 f(x)=2sin.又点 P 在函数图象上,2sin=2,即+=+2k(kZ),=-+2

17、k(kZ),又|,=-,故 f(x)=2sin.(2)由(1)得,f(x)=2sin,把函数 f(x)的图象沿 x 轴向右平移个得到 y=2sin 的图象,再把所得图象上每一点的横坐标都缩短为原来的(纵坐标不变),得到 g(x)=2sin 的图象,由 2k-2x-2k+(kZ),得 k-xk+(kZ),故 g(x)的单调递增区间是(kZ).7.(2017 山西临汾一中等五校第二次联考,17)已知函数 f(x)=2sinxcosx-cos2x(xR).若 f()=且 ,求cos2;求曲线 y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;记函数 f(x)在 x上的最大值为 b,且函数 f(x)在a,b(ab)上单调递增,求实数 a 的最小值.(1)f(x)=sin2x-cos2x=2sin.f()=,sin=,又 ,2-,cos