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文档简介

1、第五章 贝塞尔函数本章讨论瞬时状态圆盘上的热传导问题，通过别离变量，导出贝塞尔方程。然后讨论 Bessel 方程的解及解的性质，最后给出在有关问题中的应用.5.1 贝塞尔方程的引出设有半径为 R 的薄圆盘，其侧面绝缘，边界上温度始终保持为零，且初始温度，求圆盘的温度分布规律。这个问题可以归结为求解如下定解问题：令 ，代入方程得 进而得齐次偏微分方程化为两个微分方程:它的解为：(2) 亥姆霍兹方程(Helmholtz) 由边界条件，可知：在极坐标系下，问题可以写成再次别离变量,令代入方程得：特征值问题：特征值：特征函数：n 阶贝塞尔方程. 将 代入另一方程得由条件 以及温度是有限的, 原问题就转

2、化为求贝塞尔方程在条件 下的特征值和特征函数.自然边界条件第一类边界条件做代换 ,并记方程转化为这是 n 阶贝塞尔方程的最常见的形式.用 x 表示自变量, y=y(x) 表示未知函数,那么 n 阶贝塞尔方程为:其中n 为任意实数或者复数, 仅讨论 的情形.5.2 贝塞尔方程的求解Gamma函数代入方程确定系数 和 c ： 比较系数得暂取由于 , 可以得到 , 有代入到 2.代入到 3.，得暂取由于 , 可以得到 , 有代入到 2.代入到 3.，得, 由得选取, 由得选取这样，得到方程的一个特解：称 为 n 阶第一类贝塞尔函数. 取 类似推导可得方程的一个特解：方程的两个特解：当 n 为整数时

3、与 是线性相关的。当 n 为整数时 与 是线性相关的。在级数解法中，总是自然地约定级数解的首项系数不为0，但是现在在导出 时，我们选取了所以方程的通解可以表示为：当 n 不为整数时, 和 线性无关，二阶齐次线性方程n 不为整数如果选取方程的通解也可表示为得到另一个和 线性无关的特解：称 为 n 阶第二类贝塞尔函数或者牛曼函数, n 不为整数 5.3 n为整数时贝塞尔方程的通解此时定义第二类贝塞尔函数为： 不为整数.可以证明 和 线性无关，通解可写为：当 n 为整数时 与 是线性相关的。n 为整数5.4 贝塞尔函数的递推公式首先考虑零阶和一阶贝塞尔函数之间关系.分别令 n=0 及 n=1 得:建立不同阶的贝塞尔函数之间递推公式.n =0,1,2微分 的第 (k + 2) 项是 的 项系数的负值, 所以又有即一般的, 有上面两式左边的导数求出来, 并经过化简,那么得两式相加减分别消去 和 , 可以得到若知道 的值,就可以求出进而得到任意正整数阶贝塞尔函数的值. 贝塞尔函数的递推公式(1)-(6) 式为对于第二类贝塞尔函数, 也有相应的递推公式. 这里微分算子 表示算子 连续作用 m 次的缩写. n 为半奇数, 可以用初等函数来表示: 例例 求不定积分解 由 ，可得例 利用递推公式证明P

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