9.1二元函数的基本概念教案

1、9.1二元函数的基本概念教案9.1二元函数的基本概念教案9.1二元函数的基本概念教案山东理工职业学院教案首页 学年 第 学期课程名称 高等数学任课教师授课班级授课时间第 周第 周第 周第 周第 周第 周星期星期星期星期星期星期第 节第 节第 节第 节第 节第 节 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日授课课题9.1二元函数的基本概念教学目的 1理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2了解二元函数的极限与连续性的概念，会求二元函数极限。教学重点1.二元函数的极限与连续教学难点1.二元函数与一元函数在概念上的区别教学用具备 注 引入新课新授课前面我们已经讨论了只限于一个变量的函数，

2、也就是一元函数的微积分学，但是在很多实际问题中，我们遇到的函数却可能依赖两个或更多个变量，即多元函数.多元函数微积分是一元函数微积分的推广，它具有一元函数的许多性质，但也存在本质上的差别.本章我们探讨二元函数，即有两个变量函数的微分与积分.知识准备1.平面区域 定义：由平面上的一条或者几条曲线所围成的一部分平面或者整个平面，称为平面的平面区域，简称区域.围成区域的曲线成为区域的边界，边界上的点称为边界点.分类：若区域可以延伸到平面的无限远处，则称为无界区域；若区域可以包围在一个以原点为中心，以适当大的长为半径的圆内，则称为有界区域.包括边界在内的区域称为闭区域；不包括边界在内的区域称为开区域.

3、平面区域一般用表示，例如：表示整个坐标平面，是无界区域；表示圆心在原点，半径为1的圆面(不包括边界)，是有界开区域(图9-1)；表示以直线为界的上半平面，包括直线，是无界闭区域(图9-2). 图9-1 图9-22.邻域定义：在平面上，以点为中心，为半径的开区域，称为点的邻域.它可以表示为：，或者简记为： .二、二元函数基本概念我们知道：矩形的面积、与矩形的长、宽之间有公式：.当、取定一组值时，矩形面积就确定了.一定质量的理想气体的压强P、体积V和绝对温度T之间有关系式：，其中R为常数.可知当V、T取定一组值时，压强P就有一个确定的值与之对应. 在现实生活中，我们也会遇到这样的例子：某部门需要购

4、买2种商品，单价(单位：元)分别为、，购买数量(单位：件)分别为、，则购买需要的费用，当购买数量、给定一对值时，费用P就有一个确定的值与之对应. 以上各例具有共同点：两个变量每取定一对值时，按照确定的对应关系可以确定另外一个变量的取值，这就是二元函数.二元函数定义： 设是三个变量，是一个给定的非空数对集，若对于每一数对，按照某一确定的对应发则，变量总有唯一确定的数值与之对应，则称是的函数，记作：，其中称为自变量，称为因变量，数对集称为该函数的定义域. 对照一元函数概念，若取有序数组时，则称该函数在有定义；与对应的的数值称为函数在点的函数值，记作或.当取遍数对集中的所有数对时，对应的函数值全体构

5、成的数集称为函数的值域.从几何上看，二元函数的定义域就是平面上的平面区域.例如，二元函数的定义域是整个平面；二元函数的定义域是平面上的一个有界区域，如图9-3中的阴影部分. 图9-3类似的可以定义三元函数以及三元以上的函数.二元函数及二元以上函数统称为多元函数.例1 求函数的定义域.解：显然当根式内的表达式非负时才有确定的值，所以定义域为在平面上，表示以原点为圆心，以为半径的圆以及圆的内部全部点构成的闭区域.二元函数在几何上通常表示空间曲面.设点是二元函数的定义域内的任一点，则相应的函数值是，于是，有序数组确定了空间一点.当点在内变动时，对应的点在空间的轨迹形成的曲面即为二元函数的图像，其定义

6、域就是空间曲面在面的投影(图9-4).图9-42.二元函数的极限与连续对于一元函数，“时函数的极限”就是讨论当自变量无限接近时，函数的变化趋势.类似的，二元函数的极限问题，就是讨论当自变量，无限接近，时，即，时，该函数的变化趋势.（1）二元函数极限定义： 设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外)，如果当点以任意方式无限趋向于点时，对应的函数值趋向于一个确定的常数，则称为函数当时的极限.记为 或 与一元函数的极限不同的是二元函数极限要求点以任何方式趋向于点时，函数值都趋向于同一个确定的常数.因此，如果当沿着两条不同的路径趋向于时，函数趋向于不同的值，那么可以断定函数极限一定不存在.例2 讨论函

7、数在点的极限.解：当时，由于且，根据无穷小量的性质之“无穷小量与有界函数的乘积还是无穷小量”，可知的极限存在，且.例3 讨论函数，当时的极限.解：令点沿趋向于点时，显然取不同的值时，也不同，所以函数的极限不存在.（2）二元函数连续性定义： 设函数在点的某个邻域内有定义，如果当点趋向于点时，函数的极限存在，且等于它在点处的函数值， 即 ，则称函数在点处连续，称点为函数的连续点.若函数在点不满足连续的定义，则称这一点是函数的不连续点或间断点.例如，函数当时函数无定义，所以直线和上的点都是它的间断点.若函数在区域内的每一点都连续，则称函数在区域内连续，或称为上的连续函数.与一元函数类似，二元连续函数的和、差、积、商(分母不等于零)仍为连续函数；二元函数的复合函数也是连续函数，因此，二元初等函数在其定义域内是连续的.计算二元函数在其定义域内一点的极限，只要求他在这点的函数值即可，即.例如，函数在点的极限为.三课堂练习四小