高中数学题型全面归纳（教师版）：3.2导数的应用15

1、第二节 导数的应用考纲解读1了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数最大值、最小值；3生活中的优化问题，会利用导数解决某些实际问题.命题趋势探究预测2019年高考主要考查导数的简单应用以及综合问题.在综合题中，含参数的导数问题几乎是每年必考的内容；另外，导数与不等式的综合问题也是考试热点.知识点精讲1函数单调性与导函数符号的关系一般地，函数的单调性与其导数正负有以下关系：在某个区间内，如果，那么函数在该区间内单调递增；如果，那么函数

2、在该区间内单调递减.2求可导函数单调区间的一般步骤（1）确定函数的定义域；（2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；（3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；（4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性.注使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，当时，；当时，而显然在上是单调递增函数.若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.

3、当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：单调递增；单调递增；单调递减；单调递减.3函数极值的概念设函数在点处连续且，若在点附近的左侧，右侧，则为函数的极大值点；若在附近的左侧，右侧，则为函数的极小值点.函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大.极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.4求可导函数极值的一般步骤（1）先确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方

4、程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.注可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.是为极值点的既不充分也不必要条件，如，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点.5函数的最大值、最小值若函数在闭区间上的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得.6求函数的最大

5、值、最小值的一般步骤设是定义在区间上的函数，在可导，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.注函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；函数的最值必在极值点或区间端点处取得.题型归纳与思路提示题型42 利用导函数与原函数的关系确定原函数图像思路提示原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增导函

6、数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）；原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）.例3.8 若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间 上的图像可能是（ ）D.C.分析 利用导数的几何意义求解yxOyxOyxOyxOABCD解析 由导数的几何意义为切线的斜率知，函数图像上的切线斜率递增.选项B中，曲线从左到右的点的切线斜率由大到小变化；选项C中，斜率是一个常数；选项D中，曲线从左到右的点的切线斜率先增后减；只有选项A中，曲线从左到右的点的切线斜率是递增的.故选A.变式1 设是的导函数，将和的图像画在同一直角坐标系中，不可能的是（ ）分析 利用导函数与原函数的关

7、系判断，关键是找合适的图像作原函数和导函数。解析 有原函数与导函数的关系：当递增时，；当递减时，；当取到极值时，在选项D中，无论是导函数的图像在上或在下，都应是单调函数，由此可判断选项D不可能，故选D。变式2 已知函数的图像如图3-3所示.（其中是的导函数），下面4个图像中，的图像大致是（ ）解析 由的图像知，结合图像知是函数的极值点，又因为函数在上，；函数在上，因此在上，单调递减。故选C。变式3 设函数，若为函数的一个极值点，则下列图像不可能为的图像的是（ ）解析 设，则。由为函数的一个极值点，得当时，所以，所以，若方程有两根，则，D中图像一定不满足该条件，故选D。变式4 函数在区间上的图像

8、如图3-4所示，则的值可能是（ ）0.51xyO0.5图3-4A B C D解析 令，得或。依题意，得，故选B。题型43 利用导数求函数单调区间思路提示求函数的单调区间的步骤如下：（1）求的定义域（2）求出.（3）令，求出其全部根，把全部的根在轴上标出，穿针引线.（4）在定义域内，令，解出的取值范围，得函数的单调递增区间；令，解出的取值范围，得函数的单调递减区间.若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开.例3.9 求函数的单调区间.分析 利用求函数单调区间的一般步骤求解. 解析 ，令得或.如表3-2所示，的单调增区间为和，单调减区间

9、为.表3-200极大值极小值评注 单调区间的呈现形式，解题过程尽量列表.变式1 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设点在曲线上，若该曲线在点处的切线通过坐标原点，求的方程.解析 （1），令，即，得和；令，即，得和。因此，在区间和上是减函数；在和上是增函数。（2）设点P坐标为，由过原点知，的方程为，因此，即，整理得，解得或，因此切线方程为或。评注 在求函数单调区间时，若导函数比较简单，也可以直接令或，从而解出单调区间，而不必列表。变式2 已知曲线，且是奇函数.（1）求的值； （2）求函数的单调区间. 解析 （1）因为函数为奇函数，所以对任意的，有，即，又。所以，所以，解得。（2）由（1）知，所

10、以，当时，由得，变化时，的变化情况如表3-13所示： 表3-13+00+极大值极小值所以当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，此时在上单调递增。评注 由于题目中的参数未知，所以要对进行分类讨论，针对的不同范围，分别研究函数的单调性，而对分类的标准时看是否又不等实根，即时又不等实根，时无不等实根。变式3 函数的定义域为，对任意，则 的解集为（ ）A B C D解析 令函数，则，所以为上的单调递增函数，又因为，所以当时，也即，故所求的不等式的解集为，故选B。题型44 含参函数的单调性（区间）思路提示第1步求函数定义域；第2步求导函数；第3步以导函数的零点存在性进行讨论；第4步当导函数存在多

11、个零点时，讨论它们的大小关系以及与区间的位置关系；第5步画出导函数的同号函数的草图，从而判断导函数的符号；第6步根据第5步的草图列出，随的变化情况表，并写出函数的单调区间；第7步综合以上讨论的情形，完整写出函数的单调区间.例3.10 设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线.（1）求的值； （2）若函数，讨论的单调性.分析 根据导数的几何意义确定的值，然后求含参数的单调区间的一般步骤进行解答.解析 （1），故，又在处取得极值，故，从而.由曲线在点处的切线与直线垂直可知，该切线斜率为2，即，有，从而.（2）由（1）知，故，导函数 的符号由来确定.当，即当时，在上恒成立，故函数在上为增函数

12、；当，即当时，方程，即有两个不相等的实根，当变化时，的变化情况如表3-3所示.表3-300极大值极小值故的增区间为和，减区间为.综上所述，当时，在上为增函数；当时，在和上为增函数，在上为减函数.评注 本题导函数的符号是由有关含参数的二次函数来确定，导函数在区间上无变号零点则必单调；在区间上有变号零点则必不单调，故当二次函数的时，导函数无变号零点，故为单调函数；当时，此时导函数有变号零点，就是不单调函数，应分具体区间讨论不同的单调性. 变式1 已知函数.（1）若函数在点处的切线为，求实数的值；（2）求函数的单调区间.解析 由的定义域为，可得。因为函数在点处的切线为，所以，解得。（2）令，得。 （

13、*） = 1 * GB3 当，即时，不等式（*）在定义域内恒成立，所以此时函数的单调增区间为和； = 2 * GB3 当，即时，不等式（*）的解为或。又因为，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和。综上所述，当时，的单调区间为和，当时，函数的单调递增区间为和，单调递增区间为和。评注 求解函数的单调区间，不要忽略了定义域。变式2 已知函数，讨论的单调性.解析 函数的定义域为。设，二次函数的判别式。 = 1 * GB3 当时，又，即，对一切都有，此时在上是增函数； = 2 * GB3 当时，又，即，方程有两个不同的实根，且。当变化时，的变化情况如表3-14所示，表3-14+00+极大值极小值此时

14、，在，上单调递增，在上单调递减。评注 含参讨论求解单调区间从导函数是否有根（变号零点）存在的角度，对进行分类讨论。例3.11 求函数的单调区间. 分析 含参函数求解单调区间，讨论的关键在于导函数的零点区间端点的相对大小关系.解析 由已知得函数的定义域为，.（1）当时，.当时，；当时，.所以在区间上为增函数，在区间上为减函数.（2）当时，令，得，.当，即时，当变化时，的变化状态如表3-4所示.表3-4100极大值极小值所以函数在区间，上为增函数，在区间上为减函数.当，即时，所以函数在区间上递增；当，即时，当变化时，的变化状态如表3-5所示.表3-5100极大值极小值所以函数在区间，上递增，在上递

15、减.当，即或时，（i）若时，当变化时，的变化状态如表3-6所示.表3-610极小值所以函数在区间上递减，在区间上递增.（ii）当时，当变化时，的变化状态如表3-7所示.表3-710极大值所以函数在区间上递减，在区间上递增.综上，当时，函数在区间上为增函数，在区间上为减函数；当时，函数在区间，上为增函数，在区间上为减函数；当时，函数在区间上单调递增；当时，函数在区间，为增函数，在上为减函数；当时，函数在区间上为减函数，在区间上为增函数.评注 本题难度较大，在分类中要不重不漏，标准统一，分层不越级.讨论的重点在于比较导函数的零点，及定义域端点值的大小来确定的参数范围，但千万不要以二次项系数的正负作

16、为对的分类的依据！即不要分讨论！易错点：容易忘记当时的情况.当时，二次函数的图像开口方向向下，单调性发生变化.综上，单调性相同的归为一类，但各个区间不能使用“”连接.变式1 求函数的单调区间.解析 函数的定义域为 ，令，得或。 = 1 * GB3 当时，即，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； = 2 * GB3 当，即时，函数在区间上单调递减； = 3 * GB3 当，即时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减。变式2求函数的单调区间.解析 函数的定义域为。 = 1 * GB3 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增。 = 2 * GB3 当时，函数在区间不具有单调性； = 3

17、* GB3 当且时，令，解得或，又。当，即时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减。当，即时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递增。综上，当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，函数在区间上不具单调性；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减。题型45 已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围思路提示（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等.（2）已

18、知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围.（3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.一、已知含参函数在区间上的单调性，求参数的范围例3.12 已知函数.（1）当时，求的极值；（2）若在上是增函数，求的取值范围.分析 函数在区间上是增函数，转化为导函数恒大于零，求参数的范围问题.解析 （1），当时，令，得；令，得，故在区间上单调递减，在区间上单调递增，在处，有极小值.所以是的极小值，无极大值.（2）若在上是增函数，当且仅当，即时在上恒成立.当时，恒成立；当时，为开口向上的抛物线，其对称轴为，在上的最大值为，令得

19、；当时，为开口向下的抛物线，其在上的最大值为，令，得.综上所得，的取值范围是.评注 二次函数模型是在解决导数问题中常用的模型，经常用来类比解决三次函数（其导数为二次函数）以及函数的导数只有一个极值点的函数（类二次函数）的某些问题.若一个三次函数在某区间上单调递增或递减，可相应转化为其导函数（二次函数）在此区间上恒为非负或非正的问题.设，若在区间上恒成立在上的最小值大于0，如图3-5所示.mn图3-5当时，；当时，；当时，.若在区间上恒成立在上最大值小于0，如图3-6所示.mn图3-6，这是因为对于开口向上的抛物线，最大值必在区间的端点处取得.对于开口向下的抛物线，只要结合图像类似讨论即可.变式

20、1 函数在区间内单调递增，求的取值范围.解析 在内恒成立，则在内恒成立，得，所以的取值范围是。变式2 已知函数，其中为常数，且.（1）若，求函数的极值点；（2）若在区间内单调递增，求的取值范围.解析 （1）当时，故，令，得。随的变化情况如表3-15所示。表3-150+0极小值极小值由表3-15可知，是函数的极小值点，是函数的极大值点。（2），由函数在区间上单调递增可知，对任意的恒成立，当时，显然不满足条件；当时，等价于。令，由开口向上的二次函数性质可知，若在上恒有，只要，即，解得，故的取值范围是。评注 对于第（2）问依然利用二次函数的有关结论解题。变式3 已知函数的图像过点，且在点处的切线恰好

21、与直线垂直.（1）求函数的解析式；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.解析 （1）由题意知，且，即，解得。 所以。（2），令得或，所以在区间和上均是增函数。由题意，在区间上单调递增，则或，所以或，故的取值范围是。评注 本题中，函数的解析式不含参数，而区间含有参数，应着眼于与的增区间的关系解题。二、含参函数在区间上不单调，求参数范围例3.13 已知函数.（1）若函数的图像过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；（2）若函数在区间上不单调，求的取值范围.分析 若连续函数在区间上不单调，则在该区间内必有极值点.解析 （1）由函数的图像过原点，得，又，在原点处的切线斜率为，则，解得或，故或

22、.（2）由，得，又在上不单调，则在内有变号零点，即有或，解得或，综上，的取值范围是.评注 若在某区间上不单调，则在此区间有变号零点，可先考虑在整个定义域内根的情况，结合函数的图像和性质找出给定区间有变号零点的充要条件，若不易直接求解极值点，应分离自变量与参变量，转化为函数的值域求解.变式1 已知函数，其中，若函数在区间上不单调，求的取值范围.解析 依题意，因为函数在上不单调，过意导函数在区间上存在变号零点，也即存在变号实根。令，分离自变量与参数变量，则，令，由题意，需在的值域内，令，则由，则的取值范围为。经检验，时，在区间上恒成立，即函数在区间上单调递增，与已知矛盾，故的取值范围为。评注 本题

23、也可以利用补集的思想求解，易知对都不是常量函数，又若在上单调递增，所以，又若在上单调递减，所以，综上，当时，函数在上是单调函数，所以，当属于以上范围的补集时，即时，在上不单调。三、含参函数在区间上存在单调增（或减）区间，求参数范围例3.14 设函数中，若函数在上存在单调递增区间，求的取值范围.分析 函数在给定区间存在单调递增区间，转化为导函数在给定区间上大于零有解.解析 依题意，有解，转化为不等式在区间上有解，则，令，易知在上为增函数，当时最大值为，所以实数的取值范围是.评注 解本类题目的一般思路是：含参函数在区间上存在单调递增（减）区间，则在区间上有解的最大（小）值大（小）于0在区间上成立.

24、变式1 已知函数，且函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围.解析 依题意，知有解等价于有解，令，设。得函数在上单调递减，所以，故，因此，实数m的取值范围为。例3.15 已知函数，其中.（1）求的极值；（2）若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围.分析 将在区间上具有单调性转化为在区间上同正同负.解析 （1）函数的定义域为，.当时，函数在上单调递减，从而没有极大值，也没有极小值.当时，令得，和的情况如表3-8所示.表3-80极小值故的单调递减区间为，单调递增区间为，函数在处取得极小值，没有极大值.（2）的定义域为，且.当时，故函数在上单调递增，由（1）知，当时，函数在上单调递

25、增，符合题意.当时，在上单调递增，在上单调递减，不符合题意；当时，在上单调递减，若存在区间，使得和在区间上有相同的单调性，则，只须，解得，因此存在区间，使得和在区间上单调.递减.综上，的取值范围是.题型46 函数的极值与最值的求解思路提示有关极值问题要从极值存在的充分条件与必要条件上考虑，不仅要注意导数为零点，同时也要注意导数为零附近导数变号情况.例3.16 （2012陕西理7）设函数，则（ ）A为的极大值点 B为的极小值点C为极大值点 D为的极小值点分析 求函数极值点，即求解导函数的变号零点.解析 因为，所以.当时，函数单调递增；当时，函数单调递减.因此时，函数取得极小值.故选D.21-2O

26、yx图3-7变式1 （函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图3-7所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A函数有极大值和极小值B函数有极大值和极小值C函数有极小值和极小值D函数有极大值和极小值解析 利用极值的存在条件判定，当时，得；当时，得；当时，得；当时，得。所以在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，所以函数有极大值和极小值，故选D。变式2 若，且函数在处有极值，则的最大值等于（ ）A2 B3 C6 D9解析 ，因为在处有极值，所以，所以，又，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为9，故选D。例3.17 已知函数，.（1）若曲线与曲线在它们的交点处有公共切线，求的值；（2

27、）当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值.分析 最值是函数的极值或闭区间端点的函数值.解析 （1），因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，所以，且，即且，解得.（2）记，当时，.当的情况如表3-9所示表3-900极大值极小值所以函数的单调增区间为，单调减区间为当时，函数在区间上单调递增，在区间上的最大值为当，即时，函数在区间上递增，在区间上单调递减，在上的最大值为当，即时，函数在上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，又因为，所以在上的最大值为综上，函数在区间上的最大值为评注本题求解在给定区间上的最值，将零点与区间的端点加以比较，分析函数在区间上的单调性，从而求出最值变式已

28、知函数（）当时，求函数的单调区间；（）若函数在上的最小值是，求的值解析 （1）函数的定义域为，因为，所以，函数在其定义域上是单调递增的。令得（分析导函数的零点与区间位置关系） = 1 * GB3 当时，函数在区间上单调递增，其最小值为，这样函数在上的最小值是相矛盾； = 2 * GB3 当时，在上有，函数单调递减，在上有，函数的最小值，由，得，符合条件； = 3 * GB3 当时，在上有，函数单调递减，其最小值为，这与最小值是相矛盾。综上所述，的值为变式已知中函数，其中（）若是的极值点，求的值（）求的单调区间（）若在上的最大值是，求的取值范围解析 （1），依题意，令，解得，经检验，符合题意。（

29、2） = 1 * GB3 当时，故的单调递增区间是，单调递减区间是。令，得。 = 2 * GB3 当，即时，与的情况如表3-16所示。表3-160+0极小值极大值所以，的单调递增区间是，单调递减区间时，。 = 3 * GB3 当，即时，的单调递减区间是。 = 4 * GB3 当，即时，与的情况如表3-17所示。表3-170+0极小值极大值所以，的单调递增区间是，单调递减区间是，。 = 5 * GB3 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是。综上，当时，的单调递增区间是，单调递减区间是，当时，的单调递增区间是，单调递减区间是，。当时，的单调递减区间是，当时，的单调递增区间是，单调递减区间是。（3

30、）由（2）知当时，在上单调递增，由与题意不符，故舍去。当时，在上的最大值为，由知不符合题意。当时，在上单调递减，可得在上的最大值是，符合题意。所以在上的最大值是0时，a的取值范围是。题型方程解（函数零点）的个数问题思路提示研究函数的零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化（）已知含参函数存在零点（即至少一个零点），求参数范围问题，一般可作为代数问题求解即对进行参变分离，得到的形式，则所求的范围就是的值域（）当研究函数的零点个数问题，即方程的实根个数问题时，也常要进行参变分离，得到的形式，然后借助数形结合（几何法）思想求解例设为实数，函数（）求的极值；（）若方程有个实数根，求的取值范围；（）

31、若函数恰好有两个零点，求的值解析（）令，得如表所示，可知在和上单调递减，在上单调递增，极小值为，极大值为00极小值极大值（）若方程有个实数根，则如图（）所示即，得，故的取值范围是（）若方程恰好有两个实数根，则或，如图（），（）所示，即或，解得或，所以当恰好有两个零点时，或xyO-11-11xyO-11-11xyO-11-11-1评注 本类题要结合函数的单调性和极值，体现数形结合的数学思想变式1 已知，且当和时，函数取极值（1）求的解析式（2）若曲线与有两个不同的交点，求实数的取值范围分析 在第（2）问中，可构造，将问题转化为在上有两个不同的根的问题。解析 （1），且和时，取得极值，所以，得，故

32、。（2）令。由题意与在上有2个交点等价于在上有2个不等根，令，得或。如表3-18所示，在处取得极小值，在处取得极大值，此时在上单调递减，在上单调递增。表3-180+0极小值极大值若要在上有两个不同的交点，只需要，即解得，故m的取值范围是。评注 第（2）问构造新函数后，问题转化为在上有两个实根的问题，结合在上的单调性先减后增，只需要在区间的端点处函数值大于等于0并且即可。对于在某个区间只有一个极值点的函数的根的分别情况，可以类比二次函数根的分布模型讨论，二次函数的对称对称轴本质上是极值点，判别式或本质上是极值，极值或极值，所以通过类比二次函数根的分布，可以找到在给定区间上只有一个极值点的类二次函

33、数根的分布的充要条件，这点在解题中很有用处。变式2 已知函数, 在点处的切线方程为（1）求的解析式；（2）若对于区间上任意两个自变量的值，都有，求实数的最小值；（3）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围解析 （1） = 1 * GB3 = 2 * GB3 由 = 1 * GB3 ， = 2 * GB3 得（2）由，令，即，解得，函数在上单调递增，在上单调递减，在上的最大值为，最小值为，故时，所以，即实数c的最小值为4。（3）依题意，设曲线上的切点坐标为，切线方程为，即，又切线过点，则，若过点可以作曲线的三条切线，则方程有三个不等式实根。令，令，解得。函数在和上单调递减，在上单调递增，在和

34、上单调递减，在上单调递增，的极小值的极小值为。所以当时，过点可作曲线的三条曲线。题型48不等式恒成立与存在性问题思路提示在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式在区间D上恒成立不等式在区间D上恒成立例3.19 已知函数（1）求的最小值（2）对所有都有，求实数的取值范围分析 第（2）

35、问可用分离变量的方法求解参数的取值范围解析 函数的定义域是，（1），令，解得，当时，当，时；故在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，函数取得最小值（2）依题意，得在上恒成立，即不等式对于恒成立，即设则，令，得，当时，因为，故在上是增函数，所以在上的最小值是，故的取值范围是评注 对于恒成立问题，其根本思路是转化，而转化只有两种方法1，变量分离法，2，不分离参数法，本例第（）问运用分离变量的方法，使得构造中的函数不含有参数，避免了对参数的分类讨论，对于不等式验证区间端点成立的情形，一般采用不分离参数法（见本例的变式1），同学们应该视不同的情形使用不同的方法变式1 设函数（1）求的单调区间；（2）

36、若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围解析 （1）函数的定义域为，由，故的符号由的符号确定，由得；由得，所以的单调增区间是，单调递减区间是。（2）当时，不等式恒成立等价于。由（1）知在上递减，在上递增，又，且，所以当时，的最大值为，故当时，不等式恒成立。（3）由方程得，记。则，由，得或（舍）；由，得。所以在上单调递减，在上单调递增，为使方程在区间上恰好有两个相异的实根，只需要在和上各有一个实根，如图3-19所示，于是有，解得，所以的范围是。评注 在第（3）问中，在上递减，在上递增，为极小值点，其形式类似于开口向上的二次函数，故在

37、上有两个相异的实根，可类比二次函数根的分布写出所需的充要条件。变式2 （2012湖南22（1）已知函数，其中，若对一切恒成立，求的取值集合解析 ，令，得。当时，函数是上的单调递减，且，故当时，则与题设中对一切，相矛盾，又，故，由得。当时，单调递减；当单调递增；故当时，取最小值，于是对一切恒成立，当且仅当令，则，则。当时，单调递增，当时，单调递减，故当时，取最大值，因此当且仅当，即时式成立，综上所述，的取值集合为。例3.20 设函数（1）证明; 的导数；（2）若对所有，都有，求的取值范围解析 （1），由基本不等式得，故，当且仅当时（2）令，由当时，函数在上单调递增，则，满足题意当时，因为函数在上

38、单调递增，令，得当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递增，因此，当时，不满足在，故不满足题意，舍去综上，的取值范围为评注 对于恒成立问题，其根本思想是 “转化”，而转化有两种方法：分离参数法和不分离参数法，对于不等式试验区间端点值成立的情形，一般采用不分离参数法，相比分离参数法操作上简单，可以视不同情形，选择不同的方法变式1 （2012天津20）已知的最小值为，其中（）求的值；（）若对任意的，均有成立，求实数的最小值解析 （1）函数的定义域为，令，得，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增。则当时，取得最小值为，得。（3）由（1）知，故，满足，故构造函数，由，又当时，恒成立，则，得。当时

39、，使得时，恒成立。函数在上单调递增，故与已知矛盾，故实数的最小值为。变式已知函数（）讨论函数的单调性；（）当时，恒成立，求的取值范围解析 （1）函数的定义域为，。当时，函数在区间上单调递增，当时，令，得，当时，当时，故函数的单调增区间为，单调减区间为。（2）当时，恒成立，即，得。令函数，由，要使得恒成立，则，即，得（是恒成立的必要条件）。当时，令，则，即，因此在上单调递减，故，所以函数在区间上单调递减，故。因此，当时，恒成立。所以，的取值范围是。思路提示（）若函数在区间上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等

40、式在区间D上有解；（）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解不等式在区间D上有解例已知函数（）若，求函数的极值；（）设函数，求函数的单调区间；（）若在上存在一点，使得成立，求的取值范围分析若在区间上存在一点，使得成立，转化为函数在区间上的最小值小于 解析（）当时，函数的定义域为，当时，单调递减；当时，单调递增，的极小值为（），导函数的零点为若，即，则上单调递增；若，即，则上单调递减，在上单调递增（）依题意，只需要，令，讨论的零点与区间的位置关系若时，即单调递增，得；若时，即，上单调递减，在上单调递增，故，令， ，因此，不符，故舍去若时，

41、即，在上单调递减，则，得成立综上，的取值范围为变式设函数，在处取得极值（）求与满足的关系式；（）若，求函数的单调区间；（）若，函数，若存在，使得成立，求的取值范围解析 （1）由，得（2）函数定义域为，令得。 = 1 * GB3 当时，得，函数在上单调递增，在上单调递减； = 2 * GB3 当时，得，函数在上单调递增； = 3 * GB3 当时，得，函数在上单调递增，在上单调递减。（3）当，即时，函数在上为增函数，在上为减函数，所以函数的最大值为，因为函数在上单调递增，所以的最小值为，所以在上恒成立。要存在使得成立，只需要，即，解得，又，所以的取值范围是。评注 本题的问题是不等式存在性问题，假

42、若问题变为对任意的，使得成立，求的取值范围，则可将其转化为的最大值小于1。思路提示（）对于任意的，总存在，使得；（）对于任意的，总存在，使得；（）若存在，对于任意的，使得；（）若存在，对于任意的，使得；（）对于任意的，使得；（）对于任意的，使得；（）若存在，总存在，使得（）若存在，总存在，使得例已知（）当时，讨论的单调性；（）设，当时，若对任意，存在，使求实数的取值范围分析对于任意的，存在，使得成立转化为解析（）函数的定义域为，当时，由，得，由，得当时，（）当时，得，函数在上单调递减（）当时，当变化时，变化情况如表所示表00极小值极大值函数的单调递减区间为和，单调递增区间为（）当时，函数在上单

43、调递减，在上单调递增；综上，当时，函数在的单调递减区间为，递增区间为；当时，函数在，上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减（）依题意，当时，在上递减，在上递增，故当时，则，即（舍）当时，得即或（舍）当时，则，得综上，实数的取值范围是评注对于存在性与任意性的综合问题，不妨先定存在，如本例中对任意的，总存在，使，令，则，设，再分析存在，则，即最终转化为的问题变式已知函数（）求的单调区间；（）设，若对任意的，均存在，使得，求的取值范围解析 （1）函数的定义域为， = 1 * GB3 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； = 2 * GB3 当时，函数在上单调递增； = 3 * GB3 当

44、时，函数在，上递增，在上递增； = 4 * GB3 当时，函数在上单调递增，在上递减； = 5 * GB3 当时，函数在上单调递增，在上单调递减。综上，当时，函数在上单调递增，在单调递减；当时，函数在上单调递增，在上递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在上递增，在上递减。（2）依题意，即，由（1）知，当时，在上递增，则，当时，在上的最大值为，成立。综上，a的取值范围是。评注 对于，使得，转化为，对于，使得，转化为 ，可以这样理解，先定中的一个，不防先定，若，则理解为，存在，不等式成立，再利用反面思考，假如不存在，则，故存在，即为，对于的存在性与恒成立问题先静止一个量是解决问题的关键。变式已

45、知函数，（为常数，）（）若是函数的一个极值点，求的值；（）求证：当时，在上是增函数；（）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围解析 （1），（2）证明：，当，得，所以在上单调递增。（3），由（2）知在上单调递增，由，不等式成立，得，即令，导函数的零点； = 1 * GB3 当时，则，不合题意； = 2 * GB3 当且，即时，在上单调递增，故；当，即时，在上递减，在上递增，不合题意；当，即时，在上递减，不合题意.综上，实数的取值范围是.题型利用导数证明不等式思路提示利用导数证明不等式常用的方法是构造辅助函数，通过构造辅助函数将不等式的证明问题转化为函数的单调性证明或函数的最值问题例

46、设为实数，函数（）求的单调区间与极值；（）求证：当且时分析构造辅助函数，转化为证明函数在上恒大于解析 （1）由知，令得，于是当变化时，的变化如表3-12所示表3-120极小值故的单调减区间是，单调增区间是，在处取得最小值，（）设，于是由（）知当时，的最小值为于是对任意，都有，所以在上单调递增，于是当时，对都有，而，从而，即，故评注一般地，要证，在区间上恒成立，构造辅助函数，通过分析的单调性，从而求出在上的最小值，只要能证明，就可证明变式设（）令，讨论在上的单调性并求极值；（）求证：当时，恒有解析 （1）由得.于是.如表3-19所示，在内是减函数，在内是增函数，所以在处取得极小值.表3-19极小

47、值（2）证明：由知，的极小值，于是由表3-19知，对一切，恒有，从而当时，恒有，故在内单调递增，所以当时，即，故当时，恒有.变式2 已知函数的图象在点处的切线方程为（1）用表示出；（2）若在上恒成立，求的取值范围（3）证明：解析 （1），则有，解得.（2）由（1）知，令，则.当时，即时，若，则，是减函数，所以，即，故在上不恒成立;当时，即时，若，则，是增函数，所以，即，故当时，.综上所述，所求的取值范围为.（3）解法一：由（2）知，当时，有.令，有，且当时，令，有，即.将上述个不等式次相加得：，整理得.解法二：要证明，只需证明：，即，令，故在上单调递增，则，故，即，得，故原不等式得证.评注 本

48、题最后一问的解答依然是根据前面证明的不等式构造出，由第（2）问的结论证明第（3）问，这种题型要多注意.变式3已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.（）求的值；（）求的单调区间；（）设,其中为的导函数.证明：对任意.解析 （1），得，依题意，得.（2）函数的定义域为，令.当时，；当时，；又，所以，当时，当时，.因此，的单调递增区间为，单调递减区间为.（3）因为.令，得在上单调递增，则，故，因此，所以.对任意，恒成立等价于不等式对任意恒成立,有（1）知，令，得，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，故.因此，对任意，.评注 本题利用经典不等式的变形形式进行合理放

49、缩，再利用求导求解最值.题型50 导数在实际问题中的应用思路提示导数在实际问题中的应用主要用于生活中的优化问题，思路是选取适当自变量列函数式求最值，这里根据实际问题存在最值，若只有一个点，即为极值点，也就是所求最值（间峰函数）例3.24 一个圆环直径为，通过铁丝是圆上三个等分点）悬挂在B处，圆环呈水平状态并距天花板，如图39所示（1）设BC的长为，铁丝总长为，试写出关于的函数关系式，并写出函数定义域；（2）当为多长的时，铁丝总长有最小值，并求此最小值解析 （1）由题意知四点构成一个正三棱锥，为该三棱锥的三条侧棱，三棱锥的侧棱，于是有（2）对求导得，令得，解得，当时；当时，故当，即时，取得最小值变式1 某企业拟建造如图3-10所示的容器(不计厚度，长度单位：m)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分建造费用为，半球形部分建造费用为(c3) ，设该容器的建造费用为y千元.图3-10(1)写出y关于的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r.解析 （1）因为容积为，所以，解得，所以定义域为.由，得，所以.（2）由，因为，所以令，即，因为，所以，所以，解得.当，即时，函数在上单调递减，所以当时，函数有最小值;当，即时，函数在上单调递减，在上为增函数，所